高考中直线参数方程的应用

张晓莹

摘 要：在高考选考内容—极坐标系与参数方程中，经常会遇到直线与圆锥曲线相交问题，若利用解析几何中学过的方法求解，过程复杂，计算量大;若借助直线的额参数方程标准式中参数t的几何意义进行求解，将起到事半功倍的效果.

关键词：直线的参数方程;t的几何意义;距离

极坐标系与参数方程是高考中选考部分中很重要的内容，题型以直线的参数方程与曲线的参数方程或者极坐标方程为主，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长，或是求一点到某点的距离、求弦的中点等有关问题。一方面，我们可以利用解析几何中学过的方法，根据根与系数的关系求解，但经常过程复杂，计算量大，对学生的逻辑推理、计算能力要求比较高。另一方面，随着选修4系列的学习，引入了直线的参数方程，在解题中也能利用直线的参数方程标准式中参数t的几何意义进行求解，但这种方法学生不熟练，对直线参数方程中t的几何意义理解不透。本文通过几道高考真题，研究如何借助直线参数方程解决相关问题。

一、 直线的参数方程标准式中t的几何意义

经过点P（x0，y0）、倾斜角为α的直线的参数方程的标准式为x=x0+tcosα

y=y0=tsinα（t为参数）

t的几何意义：

设M（x，y）为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，当t>0时，点M在点P的上方;当t<0时，点M在点P的下方;当t=0时，点M与点P重合。

二、 直线参数方程的应用

（一）求与距离相关的问题

【例1】 （2018江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6-θ=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长。

分析：根据直线l的极坐标方程，写出直角坐标方程，进而写出参数方程，联立直线l的参数方程与曲线C的标准方程，得到关于t的一元二次方程。结合t的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系可直接求解。

解：直線l的普通方程为x-3y-4=0，直线l的参数方程为x=4+32t

y=12t①，椭圆C的普通方程为（x-2）2+y2=4②，将①代入②得：2+32t2+12t2=4，化简得t2+23t=0，所以t=0或-23，所以|AB|=|t1-t2|=|0-（-23）|=23。

点评：直线参数方程应为标准形式，这样t就具有一定的几何意义，求直线被圆锥曲线所截弦长就可直接借助公式|AB|=|t1-t2|求解。

（二）有关弦的中点问题

【例2】 （2018全国2）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθ

y=4sinθ（θ为参数），已知直线l的参数方程为x=1+tcosα

y=2+tsinα（t为参数），

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程;

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求直线l的斜率。

分析：（1）消参可直接求出C，l的直角坐标方程;（2）若点A对应的参数为t1，点B对应的参数为t2，则AB中点所对应的参数为t1+t22，结合t的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系可直接求解。

解：（1）曲线C的普通方程为x24+y216=1。

当cosα≠0时，直线l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα;

当cosα=0时，直线l的直角坐标方程为x=1。

（2）将l的参数方程代入C的方程，整理得关于t的方程（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0 ①，设t1，t2为方程①的两个解，所以t1+t2=0，即-4（2cosα+sinα）1+3cos2α=0，所以2cosα+sinα=0，

故直线l的斜率为-2。

点评：若直接求解需要分类讨论，并且在cosα≠0时，得到关于x的一元二次方程形式也较复杂;而如果利用参数t的几何意义进行计算，很明显可以简化计算。

通过这几道高考真题的求解，很明显可以感觉到利用直线参数方程标准式中t的几何意义解题，会比直接利用根与系数的关系要简单，但一定得确保直线参数方程为标准形式。在今后的学习研究中，要选择适当、简洁的方法解决相关问题。

参考文献：

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[5]邹生书.例析直线参数方程在解题中的应用[J].高中数学教与学，2016（21）.

[6]武增明.深层理解简解题：关注直线参数方程中参数的几何意义[J].高中数学教与学，2015（15）.

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