Korteweg-de Vries方程的守恒紧致有限差分格式

何育宇,王晓峰,陆 东,邓雅清

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是描述单向运动的浅水波偏微分方程,是非线性色散方程的典型代表,但是对于求解非线性KdV 方程的特解是非常困难的.对于非线性KdV 方程的有限差分方法的研究目前已经有了许多的工作.盛秀兰[1]和王爽[2]基于Crank-Nicolson方法对周期边界问题建立一种两层线性化隐式差分格式,在时间和空间步长上均是二阶的;李家永[3]对定界问题构造了二阶三层的差分格式,并对非线性项进行线性化;王文洽[4]和曲富丽[5]提出一种新的非对称差分公式,结合对称的Crank-Nicolson 方法设计出一类并行交替分段差分格式,由Kellogg 引理知是此差分格式绝对稳定的;Jan 等[6]提出一类基于Chebyshev 多项式的配点法,数值结果验证了Chebyshev 方法的有效性,但稳定性的证明较为困难;Zhu[7]提出了一类无条件线性稳定的高阶不变分格式,其截断误差O(τ + h2).

考虑一维三阶的非线性KdV方程

其中α 和β 是任意实数,-xL≫0 和xR≫0,u0(x)是已知的光滑函数.首先利用紧致算子建立三层线性紧致差分格式, 在时间和空间上分别是二阶和四阶的;第二节证明所建立的紧致差分格式的守恒性;第三节利用Von Neumann 稳定性分析法证明差分格式是绝对稳定的;最后给出了数值例子,数值结果验证了理论分析的可靠性.

1 紧致差分格式的构造

引入4阶紧致差分算子[8]：

则有

此外设方程(1)-(3)在节点(xj,tn)处的精确解为Unj= u(xj,tn),数值解为unj≈u(xj,tn).

应用Taylor展开及作用上述的紧致差分算子,可以建立如下紧致差分格式.

格式(4)-(8)可以利用以下计算步骤求解.

Step 1:结合式(7)和式(8),式(4)可展开为一个五对角矩阵的线性方程组，式(4)可以用以下矩阵-向量的形式求解，

其中

Step 2:结合式(7)和式(8),式(5)可展开为N-1 个五对角矩阵线性方程组,式(5)可以用以下矩阵-向量的形式求解,

Step 3:所得数值解和精确解计算误差和格式精度,并验证格式的守恒性和稳定性.

2 差分格式的守恒性

令En= ||un||2,对式(17)的n作递推,可得En= En-1= …= E0.

3 差分格式的稳定性

定理2 式(4)～(8)是无条件稳定的.

证明由定理1可知存在一常数C,使得||un||≤C.对式(5)同时作用算子A,B可得

因此,式(4)～(8)是无条件稳定的.

4 数值实验

为验证式(4)～(8)的守恒性和稳定性,选取以下模型问题.

初始条件为

已知式(22)～(23)精确解为

设

取xL= -20,xR= 60,T = 30,h = 0.5,τ = h2对格式(4)～(8)进行计算,不同时刻数值孤波解和误差的绝对值见图1; 分别取h = 0.25 和h = 0.125, τ = h2时式(13)的数值模拟见表1; 分别取h = 0.5, τ = h2和h = τ =0.25,在同一时刻里不同步长下的误差和格式精度的计算结果见表2和表3.

从图1可以看出,式(4)～(8)的数值解与精确解具有很好的吻合,表1验证了格式的质量和能量的守恒性,表2和表3验证了格式在空间上具有4阶、在时间上具有2阶的收敛精度.以上结果均表明所提的式(4)～(8)是可靠的.

图1 不同时刻的数值解(a)和绝对误差(b)Fig.1 Numerical solutions(a)and absolute error(b)at different time

表1 不同步长下的守恒量(13)的数值模拟Tab.1 Numerical simulations of the conserved quantities(13)with step sizes

表2 不同步长下空间的格式误差和收敛阶Tab.2 Errors and convergence orders of the scheme in space with different step sizes

表3 不同步长下时间的格式误差和收敛阶Tab.3 Errors and convergence orders of the scheme in time with different step sizes