浅析线面积分的三个重要公式及其应用

杨付贵

摘  要：格林公式，高斯公式和斯托克斯公式是高等数学多元函数积分学中的三个重要的计算公式，在多元函数积分学中占有十分重要的地位，这三个重要的公式主要揭示了线面积分与重积分的内在联系，并且有着极其广泛的应用。本文主要阐述如何使用格林公式，高斯公式和斯托克斯公式，它们之间的区别与联系，以及在高等数学中的一些应用。

关键词：高斯公式;斯托克斯;曲线积分

一.三个重要的公式

1.格林公式

设闭区域D是由光滑或分段光滑的曲线L所围成，函数 及 在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式 其中 L是D的取正向的边界曲线.

2.高斯公式

设空间闭区域 是由光滑或分片光滑曲面S所围成的单连通区域（不含有洞的区域）， 在 上具有连续的偏导数，则有高斯公式

3.斯托克斯公式

二.三个重要公式的区别与联系

在高等数学中，我们知道，我们把定積分的积分区间推广到平面或空间上的某一区域，得到了重积分，再把定积分的积分区间推广到平面或空间上的一条曲线或一片曲面，我们就得到了曲线积分和曲面积分，那么，重积分和曲线积分之间有无联系呢？重积分和曲面积分

之间有无联系呢？同样，曲线积分和曲面积分之间有无联系呢？

格林公式，高斯公式和斯托克斯公式的主要区别是：它们分别给出了重积分和曲线积分，重积分和曲面积分以及曲线积分和曲面积分之间的联系。具体的说，格林公式揭示了在平面区域D上的二重积分与沿其D边界L上的曲线积分的内在联系，而高斯公式揭示了在空间区域 上的三重积分与其围成 的光滑或分片光滑的边界曲面S上的曲面积分的内在联系。至于斯托克斯公式则是揭示了在空间曲面S上的曲面积分与其沿着S的光滑或分片光滑边界闭曲线L的曲线积分的内在联系。

这三个重要公式的主要联系是：高斯公式和斯托克斯公式是格林公式的推广，而格林公式是高斯公式和斯托克斯公式的特例。由于这三个重要公式揭示了曲线积分、曲面积分和重积分三者的关系，因此在解题中可依此三个重要公式将问题进行转化，但务必需要注意转化的条件。

参考文献

[1]  陈晋.王丹. 格林公式应用中有关问题的分析[J]. 高等函授学报（自然科学版），2012.09（66）.

[2]  李波. 利用格林公式计算积分[J]. 重庆与世界，2011.07（92）.