黑洞的面积量子化

曹兴伟

一、黑洞

在上个世纪，量子引力理论的必要性已得到广泛的认可。然而，在一系列问题的解释上我们依然缺少一个完整的量子引力理论。但我们坚信，在试图阐明引力的量子理论上黑洞扮演着重要角色，就好比在量子力学早期发展中原子所扮演的角色一样。

黑洞是广义相对论所预言的一种特殊天体，根据爱因斯坦的引力场方程，一团足够致密的物质或能量能够将时空弯曲到撕裂的极端程度，這时就形成了黑洞。然而，最早的黑洞思想却萌发于经典力学。法国大数学家拉普拉斯和英国约翰·米歇尔对黑洞做出了最早的预言。拉普拉斯曾写道：“一个密度像地球，直径为太阳250倍的发光星体，在其引力的作用下，将不允许任何光线到达我们这儿。由于这个原因，宇宙中最亮的天体，对于我们来说可能是不可见的”。[1]从经典力学的角度来说，宇宙中可能存在质量足够大且足够致密的天体，它们产生强大的引力场，就连光线都逃不了多远就被它们的引力场吸收回去，以至于我们无法观测到它们，并把它们称为“暗星”。

1912年，爱因斯坦发表广义相对论后不久，德国物理学家卡尔·史瓦西就得出一个静态球对称的物体周围真空中引力场的解。这个解的两个奇异区从时空间隔[1]

（2）可以看出：出现奇点（rg 称为引力半径或史瓦西半径）。在相对论没有产生的时代，拉普拉斯根据牛顿理论也得到与之一样的结果。他认为光子的动能为：，光子势能为：。故可以考虑到当时，得到“暗星”产生的条件为：。这是由于拉普拉斯的计算中有两个错误相互抵消的结果，一是光子的动能为：Ek=mc2而不是，二是引力场应该由广义相对论来描述，而不是牛顿的万有引力定律。

二、黑洞面积谱的提出

黑洞视界面面积的量子化也是一个由来已久的问题，率先研究黑洞量子化问题的是贝肯斯坦，早在他的开创性工作中就提出了黑洞的量子化。他通过对非极端黑洞的大量观察和分析，发现黑洞的视界面相当于一个经典的绝热不变量。所谓绝热不变量[3]，是指系统的哈密顿量在随时间周期缓慢变化时保持不变的量。例如，在经典力学中，对于一个一维势阱，其中是随时间t做缓慢变化的参数，考虑一个在势阱中周期性运动的粒子，由于与时间相关，显然能量不守恒

但E与的组合量A（近似）保持不变

其中，且哈密顿量：。对于一般情况，艾伦菲斯特指出，对于形如的运动积分都是绝热不变量，同时根据Bohr-Sommerfeld量子化条件，任何经典绝热不变量对应于有分立谱的量子实体，即

贝肯斯坦根据艾伦菲斯特原理[6]，任何经典的绝热量对应于有离散谱的量子实体这一规律，他推测，非极端黑洞的视界面面积有分立的本征值，同时他还进一步猜想相邻本征值间的间隔为一定值。

贝肯斯坦和Hod对黑洞量子化条件的分析类似于我们所熟知的氢原子基态能量下限的半经典半量子的求法。首先，利用赫利斯托祖的可逆过程的半经典理论有益于我们的研究。赫利斯托祖研究表明：非极端黑洞在同化一个中性点的粒子时，把粒子放在它运动的转折处和黑洞的视界处是可逆的，在这样的情景下黑洞的视界面积不会发生改变。然而，正如贝肯斯坦在他的开创性工作中指出的质点在量子理论中是不合理的。换而言之，粒子不能同时在运动的转折处和黑洞的视界上，因为这违背了海森堡的量子不确定原理。

在量子力学中，由于经典的点粒子不再适用，作为量子理论的让步，贝肯斯坦假设粒子的半径为一个有限值 b ，根据艾伦菲斯特定理，粒子的质心遵循经典轨迹。贝肯斯坦还得出，黑洞对一个有限大小的中性粒子的同化不可避免地导致视界面面积的增加。当粒子运动到质心距离视界面 b 处时，黑洞捕获这一粒子导致黑洞视界面面积增加有最小值[2]：

其中A 是黑洞视界面面积，μ是粒子静止质量。对于一个质点半径为 b = 0，人们发现ΔAmin  =  0。作为一个可逆过程，这是赫利斯托祖的结果。然而，粒子受到量子不确定性的约束，相对论粒子的半径必须不小于它的康普顿波长，即。于是，对于非极端不带电黑洞，吸收一个中性粒子而导致黑洞视界面积增加的最小值为：

是普朗克长度（一般取G = c = 1）。赫利斯托祖的可逆过程及贝肯斯坦的公式（7）只适用于非极端黑洞。并且公式（7）也只是适用于中性粒子，所以对于非极端黑洞我们得找出一个更加普遍的黑洞视界面积增加的下限。最近Hod在分析一个黑洞对带电粒子的捕获时，发现了类似的黑洞视界面积增加的下限。黑洞对带电粒子的同化引起的视界面积增加的下限为[4]：

我们已知道，对于中性粒子贝肯斯坦根据海森堡的不确定原理推翻了赫利斯托祖的可逆过程，而对于带点粒子必须是另外一种物理机制，还要用到真空极化效应。值得我们关注的是，即使他们的结果来源于不同的物理机制和思想，但有的方面却是统一的，比如得出黑洞视界面积增加的下限都与黑洞的参数（质量、电荷、角动量）没有关系。也就是说黑洞对粒子的同化而引起的视界面面积的增加可以表示为：

它是普适的，（ΔA）min可以被认为是视界面面积本征值之间的间距。因此，得出结论，认为黑洞的视界面面积量子化条件应该是这样的形式的：

其中是一个无量纲常数。

三、从经典的角度对黑洞面积量子化的思考

对于黑洞面积量子化有：

α为无量纲常数。角动量量子化条件：

从角动量量子化得到黑洞面积量子化必须满足：

这里我们的假设是基于黑洞面积量子化的。考虑到引力的形式由：

给出。结合（19）式，我们发现：

很明显，引力与m成反比，与r成正比。所以这种尝试是不正确的。

参考文献：

[1]J. D. Bekenstein， Phys. Rev. D 7， 2333 （1973）.

[2]俞允强.广义相对论引论[M]. 第二版.北京大学出版社，2002，84.