多波长明渠非恒定流传播特性研究

古宇翔，杨胜发，黄 岱，胡 江

(1.重庆交通大学河海学院，重庆 400074；2.国家内河航道整治工程技术研究中心，重庆 400074；3.北海道大学大学院工学研究院，日本 北海道 060-8628)

非恒定流是指水流的运动要素随时间过程而变化的流体运动。在现实情况中，河道水库溃坝、洪水演进、船闸充排水、水电站泄洪日调节等[1-7]均为典型的非恒定流问题。而大多数明渠非恒定流以多波长的形式进行传递。

多波长明渠非恒定流传播的一维数值模拟是以圣维南方程组为基础，通过有限差分法对方程组离散化处理。从20世纪90年代开始，学者们主要采用显式差分法和Preissmann隐式差分法对明渠非恒定流进行数值模拟。吴至维等[8]用显式扩散差分格式对模拟情况进行求解，并讨论了权因子的取值。蒋艳等[9]用Preissmann四点偏心隐格式对长江江苏段内水流进行了计算。Freitag[10]讨论了Preissmann四点偏心隐格式在计算跨临界流中会不稳定的情况，以改进后的Thomas追赶法解Preissmann四点偏心隐格式。上述研究均取得了较好的成果，但传统差分方法计算仍然存在一定的局限性。因此本文提出了一种新型的隐式迭代法，对多波长明渠非恒定流进行数值模拟及水槽试验验证，并以长距离水槽模拟的方式对多波长明渠非恒定流的传播特性进行深入研究。

1 一维非恒定流数学模型的建立

1.1 传统差分方法的比较

有限差分法分为显式差分法和隐式差分法。显式差分法计算方便，但对于明渠计算区域过长的情况，其计算的稳定性不高，计算结果会出现较大误差。隐式差分法选定合适的权因子后，可达到无条件稳定，但隐式差分法适用于水流变化较为缓慢的工况，且需要同时具备上下游边界条件，否则无法进行准确的计算。针对传统有限差分方法的计算缺点，本文提出了一种优化的隐式迭代计算方法。

1.2 隐式迭代法的计算步骤

将圣维南方程组转化为以下形式：

(1)

(2)

其中 ∂x为断面间距;∂t为时间步长;Q为流量;A为横断面面积;h为水深;g为重力加速度;z为水位;K为流量模数。

当R=0时，满足圣维南方程组的求解。采用Preissmann隐格式的四点网格布置，取权系数θ=1，可得到:

(3)

(4)

2 一维非恒定流数学模型的验证

在水槽一维非恒定流数学模型的验证中，参照胡江[11]的研究成果，对相应工况进行验证。试验在 28 m×0.56 m×0.7 m的玻璃水槽中进行，糙率取0.015。水槽配备水泵、变频器与流量计组成的水循环系统，并沿程布置了8个超声水位计探头，实时测量沿程水位(水槽构造见图1所示)。

图1 28 m玻璃水槽构造示意

试验将对水槽典型断面的水位、流量和波形特征进行验证。取水流波形相对稳定，距离水槽进口19.05 m处的6#超声水位计所在断面为典型验证断面。

2.1 水位、流量验证

采用进口流量变化为15～40 L的工况，变化周期分别为10 s、20 s、50 s和100 s，波形为正弦波，以波谷出现时为0 s起点。对应的计算模型时间步长Δt分别为0.2 s，0.4 s，1 s和2 s，断面间距Δx分别为0.06 m，0.12 m，0.3 m和0.6 m。典型断面的水位、流量计算结果验证见图2。

由图2(a)可知，典型断面波峰水位的计算值与实测值的误差很小，最大误差在周期为100 s处的波谷处，为0.002 78 m，误差百分比为4%。由图2(b)可知，试验与计算波峰流量误差值最大为0.769 L/s，最大误差百分比为2.3%；试验与计算波谷流量误差值最大为0.8 L/s，最大误差百分比为4.6%。计算结果基本满足误差要求。

(a)水位验证

(b)流量验证

2.2 波形特征验证

采用进口流量变化为15～40 L的工况，变化周期为10 s。计算模型时间步长Δt为0.2 s，断面间距Δx为0.06 m。典型断面的波形特征验证结果见图3。

由图3可知，试验水位波峰出现时间为3.4 s，计算水位波峰出现时间为3.5 s，误差为2.9%。波形吻合良好，计算结果基本满足误差要求。

图3 典型断面波形特征验证

3 多波长非恒定流的水槽模拟

在第2节中，通过水槽试验对隐式迭代法的数值模拟结果进行了验证，效果良好。为了更好地研究多波长明渠非恒定流的传播特性，本节模拟了矩形水槽中的非恒定流的传播，并从非恒定流的传播速度和衰减特性两方面来讨论非恒定流的传播特征。

3.1 模拟工况的设定

计算模型的输入条件为初始断面(水槽进口断面)的流量—水位过程。在初始断面，当水位h和过水断面宽度B满足h

Q=1/n·Bh5/3J1/2

(5)

其中Q为流量，n为糙率，J为比降。由初始断面流量过程，可得到初始断面水位过程。计算开始之前，默认各断面初始时刻的流量和水位相同，即为恒定流。

在模拟水槽中，水槽宽度B=1 m，糙率n=0.035。计算模型的时间间隔Δt始终满足Δt=T/50(即为1个变化周期的1/50)，且与断面间距Δx满足数值关系Δx=0.3Δt。模拟水槽长度为2 000Δx，程序运行周期为13T。比降与进口流量变化的数值将作为非恒定流传播特性的影响因素。

3.2 不同条件下明渠非恒定流的传播速度

本研究中模拟了不同比降和不同流量下明渠非恒定流的传播速度，计算工况如下：

不同比降：流量过程为15～40 L/s，周期为50 s，比降J为0.5‰，1‰，2‰和3‰。共统计8个周期。

不同流量：考虑到在模拟条件中，水深h和过水断面宽度B满足h

对速度沿波长数k的衰减进行拟合。由图4可知，非恒定流的传播速度趋势是和流速是一致的。比降越大，流速越大，则非恒定流的传播速度越快。同理，流量越大，流速越大，非恒定流的传播速度也会加快。

在波峰均值较大的第一个周期，传播速度更快，随着波峰沿程降低，传播速度逐渐变慢平稳，并趋近于一个定值。波速可视为由变幅波速和基础波速组成。变幅波速受到本身的变幅影响，随着非恒定流衰减而减小；基础波速则取决于整体流动，整体流速越快，基础波速越大，其在非恒定流的传播中起主导作用。

(a)不同比降

(b)不同流量过程

3.3 不同条件下明渠非恒定流的流量变幅衰减特性

非恒定流的流量变幅是指在一个计算周期内最大流量与最小流量的差值。为了研究非恒定流流量的衰减特性，需要保持初始条件的流量变幅相同，即ΔQ相同。

采取了以下工况：

工况1：流量过程为15～40 L/s，周期为50 s，比降为0.5‰，1‰，2‰和3‰。

工况2：流量过程为5～30 L/s，15～40 L/s和25～50 L/s，周期为50 s，比降为1‰。

由图5可以得到结论：比降越大，沿程流量变幅衰减越慢；比降越小，沿程流量变幅衰减越快。同理，平均流量越大，沿程流量变幅衰减越慢；平均流量越小，沿程流量变幅衰减越快。根据图5还能推测得出：比降较小或者平均流量较小的情况下，流量沿程衰减较快是因为其非恒定流的传播速度较慢，相应的波长较短，导致非恒定流传播过相同距离时，传播速度较慢的非恒定流需要更多的周期数。同时，由于在固定周期内流量变幅基本相同，所以在相同距离内，传播速度较慢的非恒定流会较传播速度较快的非恒定流衰减较多的次数，所以会造成非恒定流沿程衰减较快。

(a)不同比降

(b)不同流量过程

由图6(a)可知，相同波长内的变幅差值百分比最大不超过1%，差异一般在0.5%之内。图6(b)中，对于主要体现非恒定流波动性质的前端(第一波长到第四波长)，误差百分比最大值为3.3%。可以得出结论：非恒定流随周期衰减的特性和比降以及平均流量关系不大。

(a)不同比降

(b)不同流量过程

此外本文对图6中的计算数据点进行了拟合，得到了水深变幅的指数型拟合曲线：

ΔQn=ΔQ0·e-0.45k

(6)

综上所述，在初始断面流量变幅相同的情况下，流速越快则流量变幅沿程衰减越慢，但在一个波长内，流量变幅的衰减是几乎相同的。

3.4 不同条件下明渠非恒定流的水深变幅衰减特性

在3.3节的工况下，由于比降和平均流量的差异，会导致水深整体抬高或降低，这样并不利于水深变幅的比较，故统计了各断面相对初始断面的水深变幅衰减百分比，即Δhj/Δh1×100%。采用与3.3节相似的方法统计水深变幅的衰减特性。

由图7～8可以得出，水深变幅与流量变幅有着较好的一致性，即：比降越大，沿程水深变幅衰减越小，比降越小的情况下水深变幅会越快趋近于平稳；平均流量越大，沿程水深变幅衰减越小，平均流量越小的情况下水深变幅会越快趋近于平稳。

(a)不同比降

(b)不同流量过程

(a)不同比降

(b)不同流量过程

同样，以非恒定流传播周期为参照单位时，各种工况下水深变幅基本相等。在不同比降下，相同波长内的水深变幅百分比差异一般在1%之内，最大差异出现在尾部第九周期，为1.2%。在不同平均流量下，对于主要体现非恒定流波动性质的前端(第一波长到第四波长)，误差百分比最大值为6.1%。拟合曲线为：

Δhn=Δh0·e-0.45k

(7)

其中hn为第k个波长处的水深变幅的衰减百分比；h0=1。

综上所述，在初始断面流量变幅相同的情况下，水深变幅的衰减和流量变幅的衰减具有一致性，流速越快则水深变幅沿程衰减越慢，在一个波长内，水深变幅的衰减几乎相同。

4 结语

本文针对传统有限差分法的局限性，提出了适用于多波长明渠非恒定流数值模拟的新型隐式迭代法。通过水槽试验验证：新型的隐式迭代法计算结果精度高，与实测结果相比误差小，能够很好地适应多波长明渠非恒定流的数值模拟。

通过对多波长明渠非恒定流过程的水槽模拟以及对不同比降和平均流量的工况对比，得出了多波长明渠非恒定流有以下传播特性：

1)明渠非恒定流的传播速度和流量、水深变幅，会随着传播而沿程衰减，且衰减幅度会逐渐减小，最终趋于稳定。

2)对于进口流量变幅相同的工况，流量和水深变幅的衰减百分比在相同波长内几乎完全一样。

3)非恒定流的传播速度主要取决于流速大小，流速越大传播越快，流速越小传播越慢，且其传播速度会在第一个波长到第二个波长内迅速衰减。

4)不同比降和不同平均流量对非恒定流沿程衰减的主要影响是通过影响其传播速度从而改变其沿程衰减的情况。在高比降、大平均流量的情况下，非恒定流沿程传播速度较快，通过相同的距离时所需的周期数较少，导致衰减较慢；在低比降、小平均流量的情况下，非恒定流沿程传播速度较慢，通过相同的距离时所需的周期数较多，导致衰减较快。