基于灰色理论的沥青路面使用性能衰变预测研究

严世涛 唐忠国 邹一强

摘要：文章对标准衰变方程进行了讨论，分析了双参数取值对应的养护模式，给出了参数的确定方法，结合灰色理论，建立了衰变预测模型，提出了误差分析及收敛性评价标准，将预测模型应用于工程实例，并与标准衰变模型进行对比。结果表明，该方法具有精度高、稳定性好等优点，对科学养护决策具有一定的指导意义。

关键词：灰色理论;沥青路面;使用性能;衰变预测

0 引言

路面预防性养护是保持公路性能长期处于良好状态的关键，是涵盖了选择养护对象、判断养护时机、实施预防性养护措施的综合养护体系[1]。养护时机的准确判断需通过对路面使用性能进行分析、预测得出。如何通过已有的实测数据预测其随时间的变化发展趋势，获得准确的预测值，进而做出科学的养护决策，已成为公路运营管理者关心的问题。国内学者围绕路面性能预测开展了大量的研究工作，形成了以回归分析为基础的确定性模型及以数理统计为基础的概率性模型。孙立军[2]分析了路面使用性能的四类基本衰变模式，提出了标准衰变方程。刘伯莹[3]从概率分布的角度出发，提出了基于马尔科夫过程的沥青路面性能预测理论。王艳丽[4]等基于人工神经网络，考虑了自然因素的影响，建立了非线性的预估模型。以上理论在实际工程的实现均建立在大量数据的回归分析或概率统计的基础上。

针对国内公路沥青路面工况复杂、变化性大、统计数据较匮乏的特点，本文将灰色系统理论引入标准衰变方程的应用中，建立沥青路面使用性能衰变的灰色预测模型。该方法以较少的实测数据作为分析对象，将复杂的工况影响因素作为模型的灰色信息，具有与实际工况符合好、预测精度高等优点。

1 路面使用性能的标准衰变模型

针对路面性能的衰变情况受到复杂多因素耦合影响的特点，文献[1]提出了通用的路面使用性能的标准衰变方程：

式（1）中，PPI（指PCI、RDI、SCI等）为t时刻的使用性能指数，t的单位一般以年计;PPI0为初始时刻使用性能指数，可根据问题的初值直接给定，也可与a、b一起作为未知量拟合得出;a、b为与路面综合工况相关的系数，可通过式（2）的函数表示，其中自变量θ1，θ2，…，θn分别表示结构组合状况、结构强度、交通量、气候条件、材料特性等。通过对系数a、b合理取值，可得到路面使用性能的标准衰变模型：

在实际应用上不需要给出f1、f2的显示表达式，而是通过将在以上自变量θ1，θ2…θn作用下得到的路面使用性能的实测值进行回归分析，得到针对特定路段的衰变模型。这样得到的衰变模型具有特异性，有利于工程应用，也不失可移植性。

图1给出了标准衰变方程曲线的基本形式，实际工程中，通过合理的养护措施，路面性能会呈现类似图中理想预防性养护曲线的变化规律。图2～4分别讨论了参数a、b的变化对曲线形状的影响。图2表明，当b>1时，图形为凸形曲线，即路面初期养护较好，衰变速率较慢，随着年限增加，使用性能逐步衰退，衰变速率呈增快趋势。图3表明，当b<1时，图形为凹形曲线，即对路面初期养护工作不重视，衰变幅度较大，衰变速率较快，在较短时间内路面使用性能下降了较大幅度后，由于下降的空间减小，衰变速率减缓。可以看出，系数b代表路面寿命期内的服役历史。当b一定时，衰变曲线的形状具有相似性，a越小，在相同时间区间内路面性能衰变幅度越明显。系数a的物理意义可考察式（1）得出，取t=a时：

即系数a表征了PPI值衰变到初始值的63.2%所需要的时间。

图4给出了当a固定时，衰变曲线形状随b取值变化的情况。当b=0.8～1.2时，衰变曲线较平缓，接近于直线。根据以上分析，可以得到应用式（1）分析路面性能演化时参数选取的方法。

参数a、b的选取决定了衰变方程曲线的具体形式，因此标准衰变方程也被称为双参数衰变方程。a、b的取值不同，曲线形式的差异有可能会很大。在实际操作中常根据实测路面性能指标通过最小二乘法拟合得到衰变方程。通过拟合得到的方程曲线，并不是严格地经过每一个实测值，而是通过控制拟合值和真实值在离散点t上误差的平方和最小值来得到：

这里，PPI[TX-]为实测值，PPI为拟合值。由此得到的衰变曲线取决于拟合数据的项数及参数a、b在拟合过程中初值的选择。本文将对这一方法带来的误差影响进行探讨，并提出相应的解决方案。

2 基于灰色理论的预测模型

2.1 GM（1，1）预测模型

较多的拟合數据可提高曲线拟合的精度，然而人们通常需要在实测数据较少的情况下开展路面使用性能分析和预测的工作，将面临建模偏差甚至失真的问题。为解决这一矛盾，本文尝试将灰色理论引入沥青路面使用性能衰变模型中。

灰色理论由邓聚龙教授于1982年[5]提出，是一种有效分析事物（问题）内部各影响因素间联系的微分模型，被广泛应用于国民经济各个领域的分析预测上。GM（1，1）模型是其中最简明且最具有代表性的一种预测模型，通过对分析变量建立微分方程组求解得到。设待求变量为x，含有m个元素，在本文问题中，变量x指代待预测路面性能指数PPI：

式（5）中上标（0）代表原始数据，演算次数为0次。对x（0）做1次累加演算，得到1次累加生成数列x（1）[上标（1）表示经过1次累加演算]为：

2.2 收敛性及误差分析

式（4）定义的误差最小二乘平方和J作为在求解域内的评价指标，反映了拟合模型的总体精度，但这一指标无法针对其在各离散时间节点上的精度及收敛性进行评价。为此，本文引入了误差标准差σ及小误差概率p，作为预测模型的补充评判指标：

式中，e=（PPI-PPI[TX-]）;N为实测（拟合）数据项数;D（PPI[TX-]）代表实测值的方差。σ愈小，则表示拟合函数在各离散时间节点上的误差分布愈均匀，反之则各点误差震荡较大。p愈大，则表示拟合函数在各点的拟合值接近实测值的概率愈大。p取得最大值1时，表示拟合函数在各离散点误差小于式（17）中的限定值，为可接受的小误差。

3 工程实例

3.1 工程背景

南宁至友谊关高速公路是广西第一条沥青路面高等级公路，2006年通车以来，由于采取预防性养护措施得当，该路段PCI保持较高水平（见下页表1），通车至今未进行大修。主要养护措施及养护历史为：

（1）重视疏导排水、路面封缝、坑槽修补等日常预防性养护工作。

（2）对抗滑指标衰减较快的路段采取雾封层、微表处等处置措施。

（3）2014年起分阶段完成了加铺超薄磨耗层罩面预防性养护。

（4）对车辙病害较严重的路段采取铣刨重铺养护措施。

将表1数据绘制于图5内，并与理想预防性养护模式曲线进行对比，可知该路段的养护工作符合预防性养护规律。t=8时刻对应于2014年，加铺薄层的预防性养护措施使道路使用状况指标得到了提升。

3.2 预测模型的建立

将该路段的服役期分为两个时段，第一时段为t=1～8，主要用于验证本文方法、建立预测模型;第二时段为t=9～N，将形成的预测模型用于实现路面使用性能指标的预测。

针对第一时段的建模，分别采用t=1～3、t=1～4、t=1～6的实测数据直接通过式（1）进行回归拟合，获取对应的衰变函数，分别以F1、F2、F3表示;同时考虑采用本文提出的引入灰色理论预测值作为拟合值的方案，首先以t=1～4的实测值为初始值，通过GM（1，1）灰色理论预测，得到t=1～8的灰色理论预测值，以灰色理论预测值通过式（1）进行拟合，得到对应的衰变函数，以FGM表示。F1、F2、F3、FGM计算结果如表2所示，以上函数曲线及其相对误差如图6及图7所示。最后分别计算各预测函数对应的最小二乘误差J、相对误差标准值σ及小误差概率p，作为评价各拟合方案收敛性的依据，结果列于表3。

图6及图7表明，拟合函数的形式受拟合数据的影响较大，采用不同项数的初始数据进行拟合，得到的曲线差别较大。F1由于用于拟合的初始数据较少，建模过程中未能充分考虑后期养护措施带来的影响，在t=1～3时间区段内与实测数据吻合较好，但后期预测结果与实测值存在较大偏差。F3使用了较多实测数据进行拟合，在t=1～6时间区段内与实测数据吻合较好，但由于预测点已接近区间边界，受到边界效应的影响，因此对后期预测结果干扰较大。F2、FGM均采用t=1～4期间的数据作为初始值，既对路面性能衰变的规律进行了充分模拟，又减小了边界效应的影响，因此结果更接近于实测值。

进一步对表3进行分析得知，FGM由于先形成了数据的灰色预测值，得以将衰变规律延伸至边界处，因此相比F2而言精度有所提高。

3.3 预测模型的应用

将3.2节建立的灰色衰变预测模型FGM用于南宁至友谊关高速公路后期路面使用性能预测中，以第9年实测值作为初值代入模型，预测结果如表4所示，衰变曲线如图8所示。

根据预测结果，本文建议于t=14～16期间针对路面病害发展情况采取专项预防性养护措施，保持路面处于良好的周期性预防性养护状态下，有助于提升路面使用性能指数水平。

4 结语

（1）本文对标准衰变方程的参数进行了讨论，分析了不同取值组合时对应的衰变模式，给出了结合路面服役历史，应用标准衰变方程预测路面使用性能时确定模型参数的方案。

（2）本文将灰色理论GM（1，1）预测模型引入路面使用性能衰变预测中，建立GM（1，1）衰变预测模型，弥补了由于拟合初始数据数量变化导致标准衰变模型不稳定的不足，并给出相应的误差分析及收敛性评价标准。

（3）結合实际工程，分别采用标准衰变模型与GM（1，1）衰变模型进行预测对比。分析结果表明，本文提出的GM（1，1）衰变预测模型建立在实测数据基础上，将交通量、结构组合、气候条件等复杂工况作为包含在模型内的灰色信息处理，不需建立复杂函数关系，具有预测精度高、稳定性好、对边界有较强适应性等优点，预测结果对运营管理单位制定科学合理的养护决策具有一定的指导意义。

参考文献：

[1]姚玉玲，任 勇，陈拴发.沥青路面的预防性养护时机[J].长安大学学报（自然科学版），2006（6）：34-38.

[2]孙立军，刘喜平.路面使用性能的标准衰变方程[J].同济大学学报（自然科学版），1995（5）：512-518.

[3]刘伯莹，姚祖康.沥青路面使用性能预测[J].中国公路学报，1991（2）：5-15，33.

[4]王艳丽，王秉纲.应用人工神经网络预测路面使用性能[J].西安公路交通大学学报，2001（1）：42-45.

[5]邓聚龙.灰色控制系统[J].华中工学院学报，1982（3）：9-18.

作者简介：严世涛（1986—），工程师，从事高速公路养护管理及研究工作。