高二数学测试

一、选择题(本题每小题5分,计60分)

1.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a、b的值分别等于( )

(A)3,-2 (B)3,2

(C)3,-3 (D)-1,4

2.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为( )

(A)(1,3) (B)(-1,3)

(C)(1,3)和(-1,3) (D)(1,-3)

3.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( )

(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4

4.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是( )

5.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )

(A)(-1,2) (B)(-∞,-3)∪(6,+∞)

(C)(-3,6) (D)(-∞,-1)∪(2,+∞)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(A)(1,2] (B)(4,+∞]

(C)[-∞,2) (D)(0,3]

8.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则该点满足的方程( )

(A)(x+1)2+y2=1

(B)(x-1)2+y2=1

(C)x2+(y-1)2=1

(D)x2+(y+1)2=1

(A)[-5,0) (B)(-5,0)

(C)[-3,0) (D)(-3,0)

10.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )

(A)-1 (B)-2e-3

(C)5e-3(D)1

11.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( )

(A)3 (B)4 (C)6 (D)5

12.已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如下表:

x-10234 f(x)12020

f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.当1

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题(本题每小题5分，计20分)

三、解答题(本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知曲线

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.

18.(本小题满分10分)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6).

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

(1)求实数m的值；

(2)求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值：ln 6=1.8)

20.(本小题满分10分)已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

21.(本小题满分14分)设a为实数，函数

f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

(1)求f(x)的极值；

(2)求证：当a>ln 2-1且x>0时，有

ex>x2-2ax+1.

22.(本小题满分14分)已知函数

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设m>0,求f(x)在区间[m,2m]上的最大值.

参考答案

一、选择题

1.A；2.C;3.D;4.C;5.B;6.A;

7.A;8.C;9.C;10.A;11.A;12.D.

二、填空题

16.(-∞,-1)∪(1,+∞).

三、解答题

17.(1)4x-y-4=0.(过程略)

故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.

令f′(x)=0,解得x=2或x=3.当03时，f′(x)>0;当2

令f′(x)=0，得x=12.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x(4,12)12(12,22)f ′(x)+0-f(x)↗极大值↘

所以函数在x=12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时.

答：(1)实数m的值为12；(2)每天空气质量指数最高的时刻为12时.

当a≤0时，显然f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调增.

下面给出证明.

当a≥1时，a≥g(x)max=1,方程a=g(x)至多一解，不合题意；当a≤0时，方程a=g(x)至多一解，不合题意.

综上，所求a的取值范围点(0,1).

21.(1)f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,可得x=ln 2.

易见f(x)在(-∞,ln 2)单调减，在(ln 2,+∞)单调增.故f(x)在x=ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)=2-2ln 2+2a.

(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a.由(1)知当a>ln 2-1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是有g′(x)>0，g(x)在R内单调增，从而g(x)>g(0)=0.

从而对任意x∈(0,+∞)，ex-x2+2ax-1>0,即ex>x2-2ax+1.得证.