在数学“规矩”下解题

张羽　于世章

高考数学的考试时间是两个小时，规定时间内，考生要完成22个必做题（8个单选，4个多选，4个填空，其中一个是一题2空，6个解答题）的解答，这对每一位考生来说都是不小的挑战.面对满分150分，平均每4分钟对应分值为5分的高考试卷，仅有“速算竞赛”一样的心态是远远不够的，面对突然出现的“熟题”与“生题”，必须有解决数学问题的“硬功夫”，“硬功夫”指什么呢？就是数学“规矩”.如认真审题、规范书写、清晰表述、卷面整洁、叙述条理、格式完整等都是数学“规矩”.笔者据多年教学经验，就数学的“硬功夫”怎么炼成，怎么在数学“规矩”下解题，谈谈自己的看法.

规矩1 解题过程要讲“规矩”

数学和语文一样，应在规矩下讲话.数学解题过程，其实就是数学“规矩”的呈现过程，也就是数学解题过程要求的格式.如：例1 函数f（x）=x2-32xemx在区间（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围.分析 按数学“规矩”来说，解决此类问题，就这样几句话几个步骤：因为函数f（x）=x2-32xemx在区间（1，+∞）上是增函数，所以f′（x）=mx2-32m-2x-32emx≥0在区间（1，+∞）上恒成立，即mx2-32m-2x-32≥0在区间（1，+∞）上恒成立，然后按部就班的求解即可，这就是数学“规矩”，该要的步骤，该讲的“规矩”是不能省略的.

解 因为函数f（x）=x2-32xemx在区间（1，+∞）上是增函数，所以f′（x）=mx2-32m-2x-32emx≥0在区间（1，+∞）上恒成立，

即mx2-32m-2x-32≥0在区间（1，+∞）上恒成立.

当m=0时，f（x）=x2-32x=x-342-916，显然在区间（1，+∞）上单调增，所以m=0适合题意.

当m≠0时，m>0，m-32m+2-32≥0，

所以m>0，m≤1，所以0

综合以上两种情况，实数m的取值范围为0≤m≤1.

这是高考常涉及的题型.常用的解题方法：一是分离参数，二是转化成常见的二次函数.无论采用什么方法求解，解题的规范性时刻不能忘记，该讲的“规矩”还是要讲.

规矩2 胸中有“数”，“形”中化难

高中数学《课程标准》中提到的核心素养就有数形结合，解题过程中怎样才能做到“数”和“形”的结合呢？想明白之后你会顿悟，就是两种语言的相互翻译，把符号语言用图形语言直观表现出来，然后再把图形语言翻译后用符合语言表述出来，从而完成解题的整个过程，这就是数学“规矩”.举例来说：

例2 m取何值时，方程x2-32xex+x2-2x-m=0有两个根？一个根？无根？

分析 咋看上去题目有一定难度，让人一下无从下手，找不到问题解决的突破口在哪里.若将原方程变形为x2-32xex=-x2+2x+m，问题就简单了许多.本是方程问题，转化一下，就成为函数问题.

在一同坐标系中，画出函数y=x2-32xex和y=-x2+2x+m的图象，根据图象不难得出结论.

解 f′（x）=x2+12x-32ex，令f′（x）=0，解得x1=-32，x2=1，当x变化时，f′（x）和f（x）变化状态如下：

在同一坐标系中画出函数y=-x2+2x+m的图象（略），得到结论：

当m+1>-e2，即m>-1-e2时，方程有两个实数根;

当m+1=-e2，即m=-1-e2时，方程有1个实数根;

当m+1<-e2，即m<-1-e2时，方程没有实数根.

由此可见，问题的解决过程，就是数学“规矩”的再次呈现过程，因为讲了数学“规矩”，才能把看似有难度的题目解决掉.规矩3 难化易 大化小 生化熟

数学中讲究等价转化，实际上就是把难题转化为容易题，大题转化为小题，生分的题目转化为熟悉的题目来解决，这就是数学的“规矩”，许多看似一筹莫展的题目，在数学的“规矩”下就能迎刃而解.如例2就是把不熟悉的问题，转化成两个熟悉的函数问题得以解决，下面再举一例：

例3 设函数f（x）=alnx+x-1x+1，其中a为常数，讨论函数f（x）的单调性.

分析 这是导数中常见问题，也是高考中常考题型，解决起来有一定难度.但若讲数学“规矩”，在“规矩”下把难化易、大化小、生化熟，求解起来就方便很多.不仿先求导函数，然后寻求突破：

f′（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2，考虑到函数的定义域，导函数的分母是恒正的，只需围绕分子上的函数

g（x）=ax2+（2a+2）x+a来解答问题即可.就是在这样的数学“规矩”下，完成了难化易、大化小、生化熟的转化过程，从而使问题得解.

解 函数f（x）定义域是（0，+∞），f′（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2.当a≥0时，f′（x）>0，函数在（0，+∞）上单调递增;当a<0时，令g（x）=ax2+（2a+2）x+a，由于Δ=（2a+2）2-4a2=4（2a+1）.

①当a=-12时，Δ=0，f′（x）=-12（x-1）2x（x+1）2≤0，函数在（0，+∞）上單调递减;

②当a<-12时，Δ<0，g（x）<0，f′（x）<0，函数在（0，+∞）上单调递减;

③当-120，设x1，x2（x1

由x1=a+1-2a+1-a =a2+2a+1-2a+1-a>0，所以x∈（0，x1）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）单调递减;x∈（x1，x2）时，g（x）>0，f′（x）>0，函数f（x）单调递增;x∈（x2，+∞）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）单调递减.综上可知，当a≥0时，f′（x）>0，函数在（0，+∞）上单调递增;

当a≤-12时，函数在（0，+∞）上单调递减;

当-12

高考中的导数问题，往往就是通过这种途径解决.所以，讲数学“规矩”对解题是很有帮助的.

规矩4 由抽象到具体

有时，数学问题解决起来颇感不易，主要是数学的抽象性所致，若能把抽象的问题变成具体的问题，解决起来会容易很多. 这就是数学“规矩”.

例4 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）>12，则不等式f（x2）

A.（-∞，-1） B.（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪[1，+∞）D.（-1，1）

分析 题目属于抽象函数问题.而与抽象函数有关的不等式，又是高三学生比较头疼的问题.关键在于如何把抽象问题具体化，让学生切实看得见摸得着，从而化解难点解决问题.这就需要讲“规矩”：已知条件f′（x）>12是怎么来的呢？能找满足条件的具体函数吗？

解 设F（x）=f（x）-12x，F′（x）=f′（x）-12，

因為f′（x）>12，所以F′（x）=f′（x）-12>0，所以F（x）在R上单调递增，因为f（x2）

解决数学问题，确实需要讲数学“规矩”，把抽象问题具体化，是数学“规矩”下重要的解题策略.

数学的“规矩”还有很多，真心希望同学们能在数学的“规矩”下，锻造成“出色的解题者”.

作者简介 于世章（1962—），男，山东定陶人，中学数学正高级教师.全国模范教师，山东省特级教师，山东省首批正高级教师，省优秀教师，省教师出版基金杯2013年度创新人物（教师系列）提名奖，省课程团队专家;青岛市专业技术拔尖人才，青岛市名师主持人，“国培计划”专家库成员，全国数学科学方法论数学哲学研究委员会副秘书长，青岛市中小学教师培训专家讲师团成员，青岛大学数学与统计学院专业学位研究生校外导师，第一届全国全日制教育硕士学科教学（数学）专业技能大赛（决赛）评委，发表论文40余篇，专著《在学生的心灵中旅行》第一辑由中国书籍出版社出版，第二辑由中国海洋大学出版社出版.