一个切线不等式的应用

曲线y=lnx（x>0）在点（1，0）处的切线方程是：y=x-1，由曲线与切线的相对位置（如下图），得到一个不等式：

lnx≤x-1，当且仅当x=1时 “=”成立，为了方便记忆和应用，把它称为“切线不等式”.这样一个看似不起眼的结论，却成为了数学学习中不等式试题的生长点.本文先对这个不等式进行证明，然后就它的变式应用做些分析，旨在诱发新的解题线索，提供高效而实用的解题方案.

由上面的例题可知，切线不等式“lnx≤x-1（x>0）”及其变式在数学中的应用是广泛而重要的，灵活地運用这些结论对快速高效地解决一些难以入手、且常规方法不能解决的不等式试题意义深远.另外，通过分析这些试题，我们也可以得到一个结论：看似纷繁芜杂的试题中其实蕴含着某些规律，只要勤于思考，就会使很多复杂的不等式问题可以采用统一的证明方法.遵循本文给出的解题线索，你一定能拥有针对性极强的解题意识，快速占领“制高点”，求得这类问题的答案.

作者简介

张彩霞（1969—），女，甘肃高台人，西北师范大学数学教育专业毕业，本科学历，中学数学高级教师，在国家、省级正规CN刊物上发表教育教学论文20多篇，并在论文评比、教学比赛和指导学习竞赛方面多次获奖.