点穴破阵 妙法解题

文陈正亮

在战争中，将帅经常通过排兵布阵来迷惑对手，以最小的代价换取最大的杀伤力。但作为对手方，如何找到此阵法的弱点即突破口，应该是最重要的事情了。数学解题过程中，命题人“绞尽脑汁”设下的局，而同学们该怎样才能拨开重重迷雾，找到线索，一举拿下呢？在此老师举一例，希望同学们细细品味。

例 （1）【操作与发现】如图1，在△MNQ中，MQ≠NQ。请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法。

（2）【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，求证：CD=AB。

解：（1）如图1，以N为圆心，以MQ为半径画圆弧；以M为圆心，以NQ为半径画圆弧；两弧的交点为点P。△NMP即为所画的三角形。根据“SSS”可以判断△NMP与△MNQ全等。

【分析】（2）观察条件∠ACB+∠CAD=180°，两个角是内错角，分别位于两个三角形中。联系曾经学过的知识点，涉及两个角互补的问题，常见的思路有：邻补角的定义；两直线平行，同旁内角互补；当然还有圆的内接四边形内对角互补。千万不能小看自己冒出的思维火花，用好以上的这些知识点就相当于获取了解题的法宝。

解法一：如图4，延长BC至E，使得CE=AD，连接AE。

在△EAC和△DCA中，

解法二：如图5，与解法一类似，延长DA到点E，使得AE=BC，连接EC。同学们可以参照解法一自行完成。

解法三：如图6，过点C作AD的平行线，在平行线上截取CE=CB，连接

AE。

在△EAC和△BAC中，

解法四：如图7，过点A作CB的平行线，在平行线上截取AF=AD，连接CF。同学们可以参照解法三自行完成。

本题的难点在于构造全等三角形，然后转化相应的线段和角。点穴破阵的关键在于如何转化两个互补角这个条件，然后选择属于你的好方法，剩下的就是你大胆发挥的空间了。