Bell多项式法构造二维kortewegdevries方程的双线性变换和Backlund变换

翟文研

摘  要：在本文中，基于双线性交换公式，我们提出了一种在孤子系统中构造Backlund的方法，用Bell多项式方法，通过符号计算，构造了非線性 kortewegde vries（kdv）方程的双线性方程以及Backlund变换. 该模型是基于Lax对，推导出了带有一个辅助变量的Bell多项式，并将其转化为了双线性形式. 根据主域和副域之间的耦合双场条件，构造了Bell多项式型的Backlund变换，并将其转化为双线性形式. 通过求解双线性方程和Backlund变化方程，可得出孤子解. 对进一步研究其他二维非线性系统以及高维系统有一定的参考价值。

关键词：Bell多项式;Backlund变换;双线性方程;

引言

在处理数学物理的非线性模型当中，会用到数值和解析方法. Bell多项式方法是一种直接的系统方法，其求解过程主要包括以下步骤：（1）利用原始的非线性模型在比例变换下的不变性，推导出其Bell多项式的表达式;（2）在主域和副域之间分解齐次约束，来构造合适的Bell多项式型Backlund变换. 通常用Bell多项式及其导数的线性组合表示;（3）通过HopfCole变换将多项式线性化，以确定相应的lax对. Bell多项式与Hirota双线性方法之间有着密切的联系. 一般来说，Bell多项式可以推广到原来的双线性方程和双线性Backlund变换. 目前应用此方法，已经得到了一批广义双线性算子，并且探讨了线性叠加原理何时可以应用于重构广义双线性微分方程. 由此得到的双线性微分方程具有特殊的多项式和线性叠加原理，并可应用于它们的线性子空间解的结构中。此外，通过引入三线性微分算子并将其应用于三线性微分方程的构造，将叠加原理应用于构造指数波的共振解，而由此得到的三线性微分算子和方程是Bell多项式的特有属性.  在Bell多项式操作的框架内，已经讨论了一些非线性模型，如 burgershopf模型、潜在的 kortewegde vries（kdv）模型、modied kdv 模型、潜在的 sawadakotera 模型、sinegordon 模型、boussinesq 模型和 ablowitzkaupnewellsegur模型. 注意对于其他一些非线性模型，在Bell多项式处理中可引入一个或多个辅助自变量，如浅水波动方程，二维kdvequation，（2 +1）-和（3 + 1）-维破裂孤子方程，sinegordonton 方程，以及 boussinesq方程. 本文利用Bell多项式和双线性方法研究了二维 kdv 模型的双线性表示、Backlund变换：

3.小结

本文主要给出了Bell多项式法求解非线性KDV方程的双线性以及对应的Backlund变换. 将带有辅助自变量的Bell多项式推广到其他类型的偏微分方程中，如变系数微分方程，高维方程以及耦合方程.可以有效得到不同方程的双线性形式和Backlund变换，对于进一步求解有一定的参考价值.

参考文献

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