双盘球式自动平衡装置动态特性分析

郭文军， 张小龙， 张 凯， 李 涵

(西安建筑科技大学机电工程学院，西安 710055)

由于回转体不平衡的存在，产生强迫振动，且处于临界转速附近振动幅值增加。尤其对于高速旋转机械，如离心机、汽车车轮[1]等，每次转轴转动时不平衡力大小随机变化。对此旋转机械也只能在运行时才能取得平衡。然而采用高精度的静动平衡方法存在很大局限性，对于转子质量可能随时发生改变的回转机械，严重影响转轴运行轨迹[2]。

旋转机械中刚性转子通过改变平面校正质量对主轴进行重新校准[3]。然而，诸如材料腐蚀以及热变形的影响可能导致转子质量分布改变，并且在这种情况下必须重复平衡过程，会让生产加工产生间断性。这种限制促使人们开始对自动平衡装置进行深入研究，重新分配转子自身质量以消除任何不平衡。自动平衡装置能够在转子系统不停止工作的条件下，对转子系统实现自动平衡。在现实生活中，球式自动平衡装置已经应用在离心分离机、光盘驱动器等[4]许多领域。随着对平衡装置深入研究以及其实用价值的体现，应用推广将会被人们更加认可。

该装置结构简单，可行性强，使用价值较高，对此中外专家进行了许多理论与实验验证。为了消除转子系统产生的有害强迫振动，将滚球加入在回转体的圆盘来平衡转子系统。当转子转速达到临界速度，离心力带动滚球运动消除静不平衡，达到减振目的，并证明了在第一临界频率以上时，转子在该转速下存在的稳态机。Rodrigues等[5-7]对双盘球式自动平衡装置的稳定性和分岔理论进行了分析与研究。张小龙等[8-9]运用了谐波平衡法解释单、双滚珠转子系统在临界转速附近平面振动的动态特性，对比研究了单滚球与双滚球平衡制振效果并进行数值计算与理论说明。通过理论解析与数值模拟,研究了两滚珠平衡制振时转子系统的1/2次分数谐波振动的响应特性及滚珠质量对振动响应大小的影响规律等。罗建等[10]利用病态性探测，得出了球式自动平衡装置对作非平面运动的转子减振效果显著，平面振动与空间振动都得到了有效控制。谭青等[11]对球式自动平衡装置进行了虚拟实验研究，建立了虚拟实验平台，通过可视化实验分析滚球平衡过程。目前研究主要以单盘球式自动平衡装置为主，而实际上双盘球式自动平衡装置的应用也在不断增加。

针对Jeffcott转子系统，在转轴上固定两个转盘，在转盘中各加入两个滚球，通过理论说明与数值模拟，研究了双盘球式自动平衡装置的制振特性及盘中滚球运动规律。

1 数学模型简要说明

在工程实际与生产应用中，高速转动转子在不平衡力矩作用下，转轴的运动范围不仅仅在单一平面内，整个系统会在非平面运动，产生空间上的力与位移。双盘球式自动平衡装置更加与实际贴合，该装置的力学模型如图1所示。在无质量弹性轴的两端(假设弯曲刚度为k)安装有质量为M1和M2的圆盘(Jeffcott转子)，运动阻尼为C，每个圆盘内有半径为R的凹槽，凹槽内质量均为m(m≪M1、M2)的两个滚球，滚球的半径为r，沿轨道半径R的凹槽作圆周运动。

双盘球式自动平衡装置中一个圆盘的模型如图2所示，设圆盘形心为O1(X,Y)、两个平衡滚球角位置φi1和φi2，i=1,2。图中白色圆代表滚球位置，黑色圆表示回转体重心的位置。

图1 双盘球式自动平衡装置力学模型Fig.1 Mechanical model of double-ball automatic balancing device

图2 圆盘中滚球转动模型Fig.2 Rolling ball rotation model in the disc

采用的符号如下(如未加特殊说明,单位均采用国际标准单位)：

O0-XYZ:静止坐标系，且与O1-X1Y1Z1平行。

O1εηξ为旋转轴的动坐标系。

O0O1为圆盘中心静止时和运动时的位置。

O1为Ⅰ圆盘与旋转轴的交点。

M1、M2、M为Ⅰ圆盘质量、Ⅱ圆盘质量、系统总质量。

ω为转子角速度。

L1、L2为Ⅰ圆盘、Ⅱ圆盘中重心偏移位置。

m、Ib、r为球的质量、转动惯量、半径。

Iθ、Iψ为系统η、ξ轴上的转动惯量。

φij为i圆盘j球的转角(i=1,2；j=1,2)。

kr、Cr为转轴的刚度、阻尼。

C0、C1为球的滚动摩擦系数，黏性阻尼系数。

R为球的公转半径。

Θ、Ψ为转动轴角变化。

Ir为转动轴的转动惯量。

由图1、图2可知，双盘球式自动平衡装置可利用拉格朗日建立运动方程为

(1)

式(1)中：T为系统的总动能之和，包括圆盘Ⅰ、Ⅱ的动能，滚球的动能；qα为系统广义坐标；V为系统的总势能；Qα代表广义外力；s为坐标数。由此推出双盘球式自动平衡装置运动方程为

(2)

2 定常解计算

对运动方程(2)进行无量纲化，得：

(3)

则方程(2)得到的系统方程式为

i=1,2；j=1,2

(4)

用平均法进行数值解析，式(4)的周期响应为

(5)

(6)

(7)

式(7)中：

(8)

式(8)中：ν=p的定常解如下。

5.1 稳定解

滚球相对静止，振幅为零。

(9)

此解仅存在0<δi≤2时，βi=cos-1(-δi/2)，各个圆盘及滚珠的位置如图3所示。

当ν=p，δi=0时，此时由式(9)得φi2-φi1=π，A=B=C=D=0，同样振幅为零。此时δi=0，各个圆盘及滚珠的位置如图4所示。

图3 定常解的滚球位置Fig.3 Position of balls in the steady state solutions

图4 定常解的滚球位置Fig.4 Position of balls in the steady state solutions

(2)不稳定解。滚球相对静止，振幅不为零。

ν=p,φi1=φi2=φi(i=1,2)，此时A、B、C、D都不为零，即振幅不为零，系统不稳定。如图5所示。

图5 定常解的滚球位置Fig.5 Position of balls in the steady state solutions

3 模型的数值仿真

3.1 数值计算原理

在求解常微分方程时，通常将高阶方程降阶求解。采用ode45对模型进行数值仿真。求解过程将运动方程的二阶量变为一阶，符合龙格库塔计算的具体要求。在这里方程式(3)中的μθ非常小，可以假设为零，仅仅研究响应y及滚球的位置φ11、φ12、φ21、φ22。则方程(4)的具体形式可以表示为

(10)

为了确定上述定常解精确度，研究滚球出现的运动规律，对方程(10)数值计算。略去公式中高阶小量O(ε2),选取合适仿真参数应用于ode45,编写仿真程序。对系统降阶处理，去高阶小量，得到系统的一阶方程如下：

[S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10]；

(11)

3.2 滚球碰撞调整

球式自动平衡装置中研究的核心部分是滚球，滚球运动时尽量避免互相接触与碰撞，这样可能影响运动轨迹，研究中需检查确定滚球位置是否发生干涉，干涉严重且产生误导性理论研究，须对滚球作碰撞处理。

滚道中的两滚球之间的夹角φ大于夹角σ，此时σ表示两滚球已经相互接触，两滚球碰撞视为完全非弹性碰撞，即指滚球碰撞结束，在一瞬间内两物体运动状况完全相同，获得相等的速度，如图6所示。

(12)

图6 滚球碰撞调整Fig.6 Rolling ball bollision adjustment

3.3 数值仿真结果

基于MATLAB软件利用龙格库塔法对系统进行数值计算，仿真的角速度分布于高速区和低速区，在p=0.758 8、p=0.999 5、p=2.222 5时，出现的仿真结果与定常解的数值相对应。

图7 数值模拟结果(p=0.758 8)Fig.7 Numerical simulation (p=0.758 8)

角速度p=0.758 8时，响应y及滚球的位置φ11、φ12、φ21、φ22如图7所示。由于转速p小于1，转速较小，各个圆盘上的两滚球相对于回转体相对静止，图7(a)与图7(b)所示，φ11=φ12≈27°，φ21=φ22≈27°(图中稳定时φ大约0.5 rad)。转子y方向以角频率p作单频简谐振动，且转子振幅y方向的响应并不收敛于零，如图7(c)所示,在低速侧，转子振动幅值为-0.75～0.75，幅值较大，平衡效果不理想。

当p=0.999 5，几乎接近于临界转速1时，响应如图8所示，两圆盘上的滚球各自收敛于同一位置，图8(a)与图8(b)中，φ11=φ12≈27°，φ21=φ22≈300°，相对于回转体静止不动，转子y方向以角频率p作单频简谐振动，但y方向的振动明显增大，如图8(c)所示，幅值为-1.8～1.8，导致振幅在定常解附近发生变化，产生强烈振动。

图8 数值模拟结果(p=0.999 5)Fig.8 Numerical simulation (p=0.999 5)

在p=2.222 5，远超过1时，响应如图9所示，滚球在回转体圆盘内对称分布，图9(a)与图9(b)所示φ11=φ21≈120°，φ12=φ22≈-120°，转速明显增大，每个圆盘中两滚球在偏心质量反方向布置，如图9(c)所示,转子的振幅y逐渐趋于零，此时滚球位置验证了式(9)求得定常稳定解的准确性，起到了平衡效果。

图9 数值模拟结果(p=2.222 5)Fig.9 Numerical simulation (p=2.222 5)

仿真结果可以看出，在转轴转速较小时，或者接近于临界转速，每个圆盘内的两个滚球都会相对静止，不会分开，且起不到减小振动的效果。只有在转速远远大于临界转速时，圆盘中的滚球才会分布于偏心质量相对面，起到平衡制振效果。

4 实验验证

为了验证双盘球式自动平衡装置的有效性，设计了图10所示的实验平台，着重研究稳态时该装置的减振效果以及滚球的位置。

改变电机的转速来控制转轴转速，在不同转速条件下，通过对比发现，仿真结果与实验结果减振的趋势基本一致，当回转速度较高时，自动平衡装置的振幅将会变小，此时滚球的位置如图11所示。

图10 实验平台Fig.10 Experimental platform

图11 滚球位置Fig.11 Ball position

实验表明，工作转速接近临界转速时，振动的幅值明显增大。双盘球式自动平衡装置在超过临界转速时具有很好的平衡制振性能。

5 结论

对双盘球式自动平衡装置主共振振动响应进行了研究，结论如下。

(1)双盘球式自动平衡装置的运动特性和滚球运动规律是，当转速接近临界转速时，转子的振幅明显增大。

(2)在转速较低时，双盘球式自动平衡装置转子振幅增大，平衡恶化。转速较高时，发生稳态振动，定常解始终有振幅为零的周期解，即该装置在高速运转时，可以自动消除不平衡。