基于两阶段Stackelberg博弈的实时电价分布式优化

李雷　王波　饶建萍　阚雅兰

摘 要：以降低峰均比即平衡负载时序为目标，采用用户用电计划和效用函数两个指标对家电进行分类，在提出的效用最大化用户目标函数基础上设计两阶段Stackelberg博弈模型，通过用户的个体优化行为实现对实时电价的分布式优化，最终达到博弈均衡。仿真结果显示，其系统负载下降了14%，峰均比下降了47%，且新机制下的负载时序和电价时序相较原负载时序与电价时序实现了明显的平衡效果，表明该模型能够有效降低峰均比并平衡负载时序，提高电力系统负载稳定性。

关键词：智能电网;实时电价;负载平衡;两阶段Stackelberg博弈

DOI：10. 11907/rjdk. 192301

中图分类号：TP301   文献标识码：A                文章编号：1672-7800（2020）003-0010-06

Distributed Optimal Real-time Pricing Based on a

Two-stage Stackelberg Game-theoretic Approach

LI Lei， WANG Bo， RAO Jian-ping， KAN Ya-lan

（School of Management， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In order to reduce the peak-to-average ratio， this paper classifies household appliances by two indicators： users power planning and utility function. A two-stage Stackelberg game is designed based on the proposed objective function. The equilibrium is obtained through simultaneously distributed optimizing users energy schedules and lowering the peak-to-average power ratio in the system. The simulation results show that the load of the power system has decreased by 14% and the peak-to-average ratio has decreased by 47%. Besides， the load time series and electricity price time series under the new mechanism have obvious balance effect compared with the original load time series and electricity price time series. The results show that this model could effectively reduce peak-to-average ratio and balance load time series. At the same time， it could improve the stability of power system load.

Key Words： smart grid; real-time pricing; load balancing; two-stage Stackelberg game-theoretic

0 引言

2015年3月出台的《关于进一步深化电力体制改革的若干意见》提出“放开两头”的重要举措，在原有售电主体基础上引入新的售电主体参与市场竞争[1]。目前我国电改面临的突出问题是没有建立电力市场机制，由于电价传导机制不健全，导致其不能反映发电成本与供求关系，市场难以发挥资源配置作用。我国电力系统已基本实现总体供需平衡，但高峰负载持续攀升，峰谷负载水平差距较大并呈日益扩大趋势，严重影响了电力系统的稳定运行[2]。

传统电网要保持作为非可存储能源的电力供需平衡，通常的做法是通过预测未来需求以控制供给侧，而智能电网则通过实时双向通信系统提出需求侧管理的概念[3]。其中，需求响应作为需求侧管理的间接方法，提供了市场信息，特别是价格信号，用户可据此调整可延迟负载[4]。此举不仅可以降低用户用电成本，还可以削峰填谷，充分利用发电与输配电设备，节约供电成本，并且减少为满足尖峰用电需求而进行的基础设施建设，避免闲置浪费[5]。作为需求响应的一种动态定价机制，实时电价更新周期可以小于1小时，从而使零售侧价格与电力批发市场出清价格之间实现联动，进而精确反映每天各时段供电成本变化，有效传递电价信号[6]。

国外对实时电价机制的研究大多集中在实时电价定价模型、用户响应情况和动态电价对负载影响等方面。如Wang[7]以在美国运营至2010年的智能电网试点项目为研究对象，研究参与者用电行为，涉及的定价模式有根据用电时间定价、关键高峰定价以及尖峰用电回扣等。用户根据电价手动制定用电计划，电力公司根据对市场波动和尖峰负载的预测更新电价;Mohsenian-Rad等[9]探讨自动更新用户用电计划的实时电价机制，并且指出当前实时电价的限制因素，一是用户端缺乏有效的自动控制系统，二是用户难以对实时电价作出反应，同时也指出智能定价的可能性;Samadi等[13]引入用户效用函數，供应商可以获得用户用电偏好，并据此制定合适的电价以引导用户用电行为，并提出针对不同用户的定价方案，但难免造成用户心理不平衡;Tarasak[10]根据上述定价方案提出负载不确定性的概念，试图弥补这一不足;Mohsenian-Rad [11]等从博弈角度考察用户用电计划的制定，一个用户与其他用户通过一个分布式算法进行博弈，不断更新各自的用电计划直至均衡。但考虑到隐私问题，引入用户间沟通是不必要的;Samadi[15]参考用户用电偏好引入社会福利函数，以及针对用户用电计划的集中控制机制，但其文献中的论证非常朴素，对用户用电效用和用电成本的度量未统一量纲，也未说明效用函数的选择原因和电价激励因素引入规则。另外，国内外有些学者提出基于用户、零售商与电厂之间博弈的集中控制机制[16-17]，但并不以负载平衡为目标，也未涉及用户用电计划制定。

峰均比（Peak-to-Average Ratio）即全天负载最大值与平均值的比值，可以度量日用电负载的不平衡性[15]。因此，本文用峰均比描述平衡负载的有效性。Bu[16]研究智能电网示范区用户的用电行为后指出，大约90%的用户将电价折扣视为参与该活动的主要原因。因此，本文将电价作为用户修改用电计划的主要激励因素。

本文在竞争性售电的背景下，基于智能电网系统提出新的目标函数与基于博弈的实时电价机制，目标为通过用户优化个人用电计划，实现实时电价的分布式优化，以达到平衡负载时序，即降低峰均比的目标。供应商首先对所有用户初始用电计划进行筛选，然后对用户进行轮询调度（Round Robin Scheduling）[14]，向其提供电价和当前用电总量向量，然后用户根据所提供的信息优化自己的用电计划并反馈给供应商，供应商则在调度下一个用户之前更新电价和用電总量向量。通过两阶段Stackelberg博弈模型对供应商与用户之间的互动进行建模，并据此设计新的实时电价机制。最后通过仿真验证本文提出的实时电价机制的合理性与有效性。

本文主要创新点在于：按照用户用电计划和效用函数两个指标对家电进行分类，提出新的效用最大化用户目标函数，在此基础上设计新的实时电价博弈模型，通过用户优化各自的用电计划实现实时电价的分布式优化。

1 系统模型

本文以Fouda M M智能电网基础设施模型为蓝本[18-19]，设计了改进的系统模型。其中包含一个供应商（零售商或电厂）和多个用户，供应商到用户有单向的输电线路和双向的通信线路相连，如图1所示。

用户均配备智能电表，智能电表包含EMC（Energy Management Controller）模块。假设EMC可以存储并更新用户用电计划，用户均接入供应商的集中控制台CCC（Central Control Console），双方可以通过通信线路交流信息。因此，集中控制台和EMC分别作为供应商和用户的代理，以下便不加区分。进一步地，假设EMC可以监控与收集用户接入电网的家用电器数据，并且可以开启这些家电，选择家电功率和运行时间以及关闭家电。

相关符号说明：

[N]为用户集合，其中[n∈N]，表示第[n]个用户。

[T]为时段集合，其中[t∈T]，表示第[t]时段。

[An]为第[n]个用户的家电集合，其中[an∈An]，表示该用户第[a]种家电;为简化符号，以[A]、[a]分别表示某用户家电集合与该集合包含的家电元素。

[ltn，a]表示第[n]个用户第[a]种家电在第[t]时段的用电量，以[ln，a=t∈Tltn，a]表示第[n]个用户第[a]种家电在全部时段[T]的用电总量，[ltn=a∈Altn，a]表示第[n]个用户在第[t]时段全部家电[A]的用电总量。

[ln=t∈Tltn=a∈Aln，a]表示第[n]个用户全部家电[A]在全部时段[T]的用电总量，[lt=n∈Nltn]表示全部用户[N]全部家电[A]在第[t]时段的用电总量，[l=n∈Nln=t∈Tlt]表示全部用户[N]全部家电[A]在全部时段[T]的用电总量。

以[Ln，a=l1n，a，l2n，a，？，lTn，a]表示第[n]个用户第[a]种家电在全部时段[T]的用电量构成的向量，[Ln=（l1n，l2n，？，lTn）]表示第[n]个用户全部家电[A]在全部时段[T]的用电量构成的向量，[L=（l1，l2，？，lT）]表示全部用户[N]全部家电[A]在全部时段[T]用电量构成的向量。[lp=maxt∈Tlt]表示在全部时段[T]中的最高负载，[l=lT]表示在全部时段[T]中的平均负载，则峰均比[PAR=lpl][8]。

1.1 用电计划

EMC的工作为制定并优化用户用电计划，用电计划即确定各个家电开始运行时间、运行时长、运行功率以及结束运行时间[15]。

对于[a∈A]，设可选择的运作时段为[Tsn，a]，其上下限分别表示该家电最早开始时点和最晚结束时点。实际选择的运作时段为[Tn，a]，其上下限分别表示该家电实际运行的开始时点和结束时点。[Tn，a]满足条件[Tn，a∈Tsn，a∈T]。

以时段为单位的可选择功率区间为[pn，a]，其上下限分别表示该家电每时段的最大功率和最小功率。[ltn，a]满足条件[ltn，a∈Pn，a（t∈Tn，a）]，[ltn，a=0（t∈T＼Tn，a）]。

全部时段[T]的用电总量限制区间为[Wn，a]，其上下限分别表示该家电在全部时段[T]用电总量的最大值和最小值，这一限制条件旨在引导用户在避开用电高峰的同时，能够节约用电。[ln，a]满足条件[ln，a∈Wn，a]。

第[n]个用户制定第[a]种家电的用电计划，即确定该家电运作时段[Tn，a]、每时段运作功率[ltn，a]以及用电总量[ln，a]。第[a]种家电用电计划制定完成后，对应于唯一的[Ln，a]。所有家电[A]的用电计划制定完成后，对应于唯一的[Ln=a∈Aln，a]。为方便记述，以下[Ln]也代指用电量向量为[Ln]的所有家电[A]的用电计划。

设第[n]个用户可行的用电计划集合为[Sn]，则[Sn]为：

1.2 家电分类

本文按照用电计划和效用函数两个指标对家电进行分类。

1.2.1 按用电计划分类

在Vardakas等[24]的工作基础上对家电按照延迟程度和减载程度进行分类。前者指家电可以延后时间运作的程度，后者指家电运作过程中可以降低功率的程度。

（1）延迟家电集合为[A1]，包含可延迟与不可延迟的家电。不可延迟的家电，如冰箱等;可延迟的家电，如热水器、洗衣机等。

（2）减载家电集合为[A2]，包含可减载与不可减载的家电。可减载的家电，如空调等;不可减载的家电，如微波炉等。满足[A=A1？A2]，[A1？A2=？]。

当[a∈A2]时，功率应反比于对应时段的电价，即[ltn，a=][a1pt+a2（t∈Tn，a）]，[a1<0]。

1.2.2 按效用函数分类

（1）拟线性偏好家电集合为[A]，用户对这类家电的使用边际效用递增，设其效用函数如下：

其中，[l'n]表示该类家电用电量，[w']为该类家电所占权重。

（2）凸偏好家电集合为[A'']，用户对这类家电的使用边际效用递减，设其效用函数如下：

其中，[l''n]表示该类家电用电量，[ln]表示该类家电由用户定义的最佳用电量，[w''>0]，为用户对[ln-l'']的评价系数，[ln-l'']即用户实际用电相较[ln]的不满足程度。

（3）无价格弹性家电集合为[A''']，[l'''n]表示该类家电用电量，这类家电的使用缺乏价格弹性，比如冰箱。

按照两个指标对家电进行划分，没有遗漏，也不会造成矛盾，因为第一类指标的分类进入用电计划制定，而第二类指标的分类进入用户效用函数评价，二者通过用户用电量而非具体家电联系在一起。

2 Stackelberg博弈

2.1 用户侧分析

2.1.1 用电效用函数

参照Bu[16]的工作，用电效用函数应满足条件：[U（x）M]，[M>0];[dU（x）dx>0];[dU2（x）dx2<0]。负指数效用函数[U（x）=-e-wx（w>0）]满足上述条件，本文采用该效用函数。以下关于用户目标函数的讨论均针对第[n]个用户。

其中，[w]表示用戶对削减用电的耐受程度。

本文将效用值标准化到[（0，1）]，为下述价值函数作准备。

2.1.2 用电价值函数

[l]表示用户最大用电量;[α]表示平均，这一价格与单一用户的用电量无关，也与用电时段以及该时段用电总量无关，具体在下一节展开。

[β=u（l'n）u（l''n）]为调整系数，表示[A']家电和[A'']家电用电效用比例对总效用的调整。其中，[u（l'n）]可视为[A']家电带来的奖励项，[u（l''n）]可视为[A'']家电使用不足的惩罚项。

用电价值函数把用户对用电量的效用转化为通过货币衡量的价值，这就与后面的用电成本函数统一了量纲。其中，[U（ln）]标准化到[（0，1）]，可视为实际用电量对最大用电量的占比;[lU（ln）]表示用户实际用电量;[βlU（ln）]用于衡量用户经[β]调整后的用电量;[V（ln）=αβlU（ln）]表示用户调整后用电量的价值。

这也表明用户对于自己用电量价值的衡量不会超过其对自己最大用电量的平均电价支付。

2.1.3 用电成本函数

本文重新设计了用户的用电成本函数，目的是实现用户用电成本与供应商供给成本的联动。

下面首先引入供应商的供给成本函数。供应商供给成本函数是用电总量的递增函数，并且严格向上凸[21]，即满足：

Samadi等[15]、Wood等[23]使用二次多项式形式的成本函数，电价对用电量的反应过于剧烈;Fouda等[19]指出成本函数选择应当考虑到用户对电价的反应，电价波动以不超过3倍为宜。

假设电价每时段变动正比于该时段用电总量[14]，本文设供应商成本函数正比于[ltlog（lt+1）]，并据此设计一个权重向量：

[W]各分量表示各时段用电量在成本视角下用电总量计量中的相对重要程度，[Ln]表示第[n]个用户在全部时段[T]的用电总量向量，[W？Ln]表示该用户在成本视角下的用电总量。

用电成本函数为：

其中，第[t]时段电价为[c（lt）=pltlog（lt+1）]，本质是一个拟线性成本函数;[pW]为全部时段[T]下的电价向量;[p]为电价参数，供应商可通过操控该值改变用电成本以引导用户用电行为，从而进一步改变用户用电量。

2.1.4 用电福利函数

根据上述用电价值函数和用电成本函数，可得到用户用电福利函数如下：

用户策略即为：

2.2 供应商策略

2.2.1 电价决定规则

供应商通过操控电价参数[p]，改变电价向量[pW]以引导用户用电行为，用户观察到电价变动而更新自己的用电计划。

本文中供应商并不能全权定价，而是通过电价参数[p]对电价进行引导。权重向量[W=L？logL]，本质为全部用户[N]的用电总量向量[L]。所有用户按照某规则更新各自的用电计划（本文称之为“自治”），将改变[L]。因此，电价向量[pW]的影响因素包含供应商控制的电价参数[p]和用户自治的用电总量向量[L]。

假设供应商在实时电价下对用电总量收取的总费用与固定电价下相同用电总量的总费用相等[19]，这里的固定电价即上述平均电价[α]。

供应商据此计算电价参数[p]。

潘敬东等[12]、Fouda等[19]采用集中的凸优化策略，但由于优化参数过多，随着用户数量的增加，该方法也显现出耗时长、难收敛的弊端。因为假设供应商在实时电价下对用电总量收取的总费用等于固定电价下相同用电总量的总费用，供应商的利润最大化即转化为供给成本最小化。

本文用于用户端优化的福利函数本质上包含用户福利最大化和供应商供给成本最小化两个优化问题，二者通过[Ln]联系起来。这将原本集中的多重目标优化问题转化为用户端的单一目标优化问题，本质上是一种分布式优化。

2.2.2 平均电价[α]

根据用户历史用电数据最高负载确定一个基准最高负载[μ]，本文引入修正系数[γ]。

其中，[lp]为全部时段[T]中的负载最高峰。[γ]以基准最高负载[μ]为标准，衡量预期最高用电量[lp]对基准最高负载[μ]的偏离程度。[γ∈Γ]，[Γ]为供应商可接受的用户用电量偏离基准最高负载程度的规则集合。如果[γ？Γ]，可能是初始最高负载过高，过低则属异常。

给出基准最高负载[μ]对应的平均成本[c]，平均电价[α]根据以下规则进行计算。根据符合规则[γ∈Γ]的[γ]计算的[α]即为符合规则的[α]。

引入平均电价[α]，一方面向用户传递下一个[T]的基准电价信息，另一方面对用户用电计划进行初步筛选，以利于后续快速优化。

3 基于博弈模型的实时电价机制

本部分的核心是优化用户各时段用电量的二阶段博弈模型，目标是通过优化用户用电计划以降低峰均比。本文构造的Stackelberg博弈包含两个阶段：

（1）用户通过公式（6）最大化自己的用电福利。

（2）供应商根据用户更新的用电计划，通过公式（8）调整电价参数。

在下一个用电计费日[T]开始前，首先算法1、算法2确定符合规则的[α]，然后算法1、算法2确定均衡的[p]与[Ln]，最后下一个用电计费日[T]开始。具体地，确定符合规则的[α]的过程是集中控制台不断向EMC发送初始化通知，EMC不断初始化用户用电计划，计算[Ln]并提交给CCC，后者跟据其计算[α]直至符合规则[Γ]。这是对用户用电计划进行初步筛选，对后续快速优化是有利的;在符合规则的[α]下，集中控制台通过轮询调度确定均衡的[p]和[L]，即集中控制台随机选择第[n]个用户，向其发送[p]和[L];该用户的EMC根据其优化自己用电计划并反馈变化的[Ln]，集中控制台随之更新[p]和[L]。用户[n]不会被再次选中，直到所有用户均被选中过;如此循环，直至博弈达到均衡，用户与供应商都不会再改变各自的策略。此时，电价参数、系统负载均不再变化，用户用电计划已达到最优。

需要指出的是，用户并非完全按照优化的用电计划用电，个别临时用电需求是被允许的，因为按照第2部分的分析，个别用户用电行为的改变对系统整体的影响可以忽略。如果用户临时用电行为累积使得系统偏离均衡，根据上述实时电价规则，新的均衡很快就会达到，这可由第4部分仿真算法进行检验。如果用户临时用电行为累积导致系统远离均衡，那么必然发生紧急事件使得用户违背系统用电契约，则涉及到电网应急机制的问题，已脱离本文讨论范围。

最后，EMC仅向集中控制台反馈用户全天分时用电负载而非用户具体用电计划，而且用户间并没有信息流动，从而保证用户隐私不受侵犯。

4 仿真及结果分析

本文仿真采用R语言完成。[N]包含80个用户，[T]以分钟分时段，共1 440个时段。用户无差别，[w=10-3]，[u=240kwh]，[c=1]，[Γ]设定为不大于6%。

参照文献[22]，本文选择以下代表性家电（已列出可变功率和可变运行时长），如表1所示。

对这些代表性家电作如下划分：

按照第一个指标：

[A1]={冰箱， 热水器， 洗衣机， 洗碗机};[A2]={空调， 微波炉}。

其中，对于可延迟的家电，[Tsn，a=T];对于可减载的家电，[Tsn，a]包含早7点和晚8点两个用电高峰（见图2的初始负载时序）。

按照第二类指标：

[Pn，a]、[Wn，a]的数据表示方法与表1中相同，计算可得[l=2 308.5kwh]。

图3-图5显示了电价参数、系统负载和峰均比随迭代次数的变化情况，可知系统在[On]次迭代后即收敛。系统负载由[184 680kwh]下降到[158 040kwh]，峰均比由[1.98]下降到[1.04]，从而验证了本文提出的新型实时电价模型的合理性。

图6显示了原负载时序与新机制下负载时序的对比。新机制下负载时序最高峰和最低谷分别为[190.03kwh]和[103.69kwh]，原负载时序最高峰和最低谷分别为[253.96kwh]和[33.6kwh]。由于电价正比于每时段用电总量，该图也显示了电价时序对比，说明新机制下的电价时序较原电价时序更为平衡，验证了基于博弈的新型实时电价模型的有效性。

5 结语

以降低峰均比为目标，本文根据已有智能电网基础设施模型，设计了改进的系统模型;根据两个指标对用户家电进行分类，在此基础上引入合适的经过改进的用户与供应商策略模型，包括用户效用函数、价值函数、成本函数及电价决定规则;设计新的基于二阶段Stackelberg博弈模型的实时电价机制，以实现对实时电价的分布式优化，并通过计算机仿真验证其合理性与有效性。结果显示，本文提出的新定价机制可以使系统在[On]次迭代后收敛，系统负载与峰均比均大幅下降，且新机制下的负载时序和电价时序较原负载时序和电价时序实现了明显的平衡效果。

在本文的实时电价机制下，供应商可以得到所有用户的初始用电时序与优化后的用电时序，这是直接体现用户用电偏好的数据，可以考虑据此对用户用电行为进行挖掘与预测。

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（責任编辑：黄 健）

收稿日期：2019-09-13

基金项目：国家自然科学基金项目（71572113）

作者简介：李雷（1992-），男，上海理工大学管理学院硕士研究生，研究方向为智能电网、金融计量;王波（1960-），男，博士，上海理工大学管理学院教授、硕士生导师，研究方向为生产运营系统管理、金融衍生产品风险管理、决策分析;饶建萍（1995-），女，上海理工大学管理学院硕士研究生，研究方向为金融计量;阚雅兰（1998-），女，上海理工大学管理学院学生，研究方向为智能电网。本文通讯作者：王波。