变指数脉冲微分系统的多重周期解*

张申贵

(西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030)

本文中, 研究二阶脉冲微分系统

(1)

设Iij:R→R连续，tj表示脉冲发生的时刻, 且t0=0

问题(1)具有以下三个特点: 首先，问题(1)中带有脉冲效应项。在许多科学领域的研究中都呈现出脉冲现象, 例如有毒杂草在牧区草场中的季节性爆发过程, 生物神经元的输入过程, 注射药物在人体中的浓度变化过程等，脉冲微分方程考虑到瞬时突发现象对系统状态的影响。近年来, 脉冲微分方程吸引了很多学者的关注, 已有一些研究结果，如文献[1-6]。

当λ=0，Iij(t)=0时, 一些学者研究了p(t)-Laplace 系统周期或同宿解的存在性[10-15]。特别的, 当p(t)=2时，非线性项满足(AR)型超线性条件， 即存在μ>2，L>0使得 0<μF(t,u)≤(▽F(t,u),u)，对所有|u|≥L和t∈[0,T]成立时，文[11]利用山路定理得到了p(t)-Laplace系统周期解的存在性定理。由(AR)条件可推出非线性项在无穷远处关于变量u是超线性增长的, 该条件可以保证作用泛函的(PS)序列是有界的, (AR)条件已应用于非线性微分方程的研究中,但是许多超线性函数并不满足(AR)条件[16-19]。

1 准备知识

记p(t):[0,T]→R+为连续函数，定义变指数 Lebesgue 空间

(2)

引理3[20](喷泉定理)设X为Banach空间，X=Zk⊕Yk，dimYk<+∞。若泛函φ∈C1(X,R),满足:φ(0)=0，φ(u)=φ(-u)，且

则泛函φ有一列趋向于+∞的临界值。

2 主要结果

假设以下条件成立：

(F0) 对任意的u∈RN，F(t,u)关于变量t可测；对a.e.t∈[0,T]，F(t,u)关于变量u连续可微，且存在函数a∈C(R+,R+)和b∈L1([0,T];R+)，有|F(t,u)|≤a(|u|)b(t)；|▽F(t,u)|≤a(|u|)b(t)，对a.e.t∈[0,T]和所有u∈RN成立。

(F1) 设存在常数c1>0，c2>0，L>0及σ>1，使得

(F3) 设F(t,0)=0，F(t,u)=F(t,-u)，对a.e.t∈[0,T]和所有u∈RN成立。

对于i∈{1,2,…,N}，j∈{1,2,…,m}，Iij(t)满足下列条件:

(I3) 对∀t∈R，Iij(t)都是奇函数。

本文的主要结果如下：

定理1 设条件(F0)-(F3)，(I1)-(I3)成立，则问题(1)有无穷多个解{uk}k∈N满足：当k→+∞时，有φ(uk)→+∞。

证明下面利用喷泉定理(引理3)证明定理1。下面用ci，i=0，1，2，…表示不同的正常数。

(3)

(4)

由条件(F0)和(F1)-(i)，可得

(5)

(6)

联合式(5),式 (6), 有

(7)

结合式(4), 当n→+∞时, 有

(8)

由式(6)，条件(F1)-(ii)，可得

(9)

由式(8),式(9), 并利用Hölder 不等式, 当n→+∞时, 有

(10)

(11)

由Iij(t)的连续性, 当n→+∞时，有

由条件(F0)，当n→+∞时，有

(12)

第3步证明泛函φ满足引理3中条件(iii)。

注意到dimYk<+∞，由有限维空间范数的等价性，有

(13)

由条件(F0)和(F2)，对于∀ϑ>0，存在c13>0，使得

(14)

对a.e.t∈[0,T]和所有u∈RN成立。

综上, 泛函φ满足引理3中所有条件, 由引理3知, 泛函φ有一列临界点{uk}k∈N满足: 当k→+∞时，有φ(uk)→+∞, 从而问题(1)有无穷多个解{uk}k∈N满足：当k→+∞时，有φ(uk)→+∞。

取p(t)=2，N=4，t1=1，t2=2，令

其中i=1,2,3,4，j=1,2，则Iij(t)满足条件(I1)-(I3)。