涉及两个三角形的Napoleon定理及其自相似推论

陈都

[摘要]本文将Napoleon定理拓展推广到涉及两个三角形的情形，与著名的Neuberg-Pedoe不等式密切相关，从全新的视觉，对Napoleon定理进行了相似性嵌合推广，并运用推广后的Napoleon定理，探究了一类有趣的三角形自相似现象。

[关键词]广义Napoleon定理;相似性嵌合;自相似

Napoleon（1769-1821）不仅是19世纪法国著名的军事家、政治家，而且还是法兰西科学院院士，他在军事和政治上的雄才大略，早已为世人公认，然而他对数学的浓厚兴趣和精深造诣却鲜为人知，即便是行军打仗，他也会充分利用空闲时问来研究几何问题，如“Napoleon三角形”就是其中典型一例。

Napoleon定理（1）以任意三角形的三邊为边，向外作三个正三角形，则这三个正三角形的中心也构成正三角形——外Napoleon三角形：

（2）以任意三角形的三边为边，向内作三个正三角形，则这三个正三角形的中心也构成正三角形——内Napoleon三角形：

（3）外、内Napoleon三角形的面积之差，等于原三角形的面积。

上述定理是欧氏几何中最奇异精彩的定理之一，它因简明深邃的结论和灵活多样的证法而引人人胜，是欧氏几何的经典课题，百余年来，人们对它进行了广泛而细致的研究，得到了许多深刻而优美的结论，如文[1]-[5]对Napoleon定理进行了卓有成效的引申、加强、推广，类似的应用，取得了丰硕成果，本文拟将Napoleon定理推广到两个三角形中，并给出一类有趣的嵌合自相似推论。