基于声学算法的油底壳流固耦合模态计算问题仿真研究

孙长周 杨良波

摘 要：油底壳、油箱、膨胀水箱等在塑料应用开发中，为了准确计算其模态，需要考虑液体与结构的耦合作用。文章以圆柱形储液容器为研究对象，采用声学单元、薄膜单元对流体进行建模，考虑了液体可压缩性和自由液面的晃动效应，计算得到容器的一阶模态，与模态试验结果、液体单元法和虚拟质量法的耦合模态计算结果对比显示，文章所采用的建模方法在计算流固耦合模态时具有更高的准确性。然后，采用该建模方法探究了液体高度对该圆柱形储液容器前三阶模态的影响。最后，采用该建模方法计算了某款塑料油底壳在含油状态下的一阶模态，并与油底壳单独模态和虚拟质量法的计算结果作对比，说明了考虑液体作用及液面晃动效应对油底壳模态计算的重要性。

关键词：塑料应用;储液容器;流固耦合模态;晃动效应;塑料油底壳

Abstract： In order to precisely calculate the modal of oil pan， fuel tank and expansion tank in the development of plastic application， the fluid-structure interaction （FSI） is necessary to be considered. The study model based on acoustic element and membrane element consider compressibility and sloshing effect of liquid. It is proved that the modeling method has a higher accuracy by comparing the result of calculation of first-order mode with modal test， fluid element method and virtual mass method. Then， the effect of fluid height to first three mode is studied. Finally， the modeling method is used for calculating the first-order mode of a plastic oil pan. The results show that it is necessary to consider liquid effect and sloshing in the modal calculation of liquid storage container by comparing with the calculation results of single structure modal and virtual mass method.

前言

随着汽车轻量化进程的加速，越来越多的汽车零部件都开始实现以塑代钢，通过降低汽车重量，从而提高汽车的动力性、减少燃料消耗和降低排气污染。油底壳、油箱和膨胀水箱等作为汽车上重要的储液容器，由于其体积、质量较大，如果能实现塑料化，将会有效降低汽车整车重量及制造成本，并且提高汽车NVH性能等。固有模态作为汽车车身及零部件固有属性之一，对整车的NVH性能有着至关重要的影响，因而，汽车零部件开发过程中，其模态的研究具有十分重要的意义。然而，此类汽车上的储液容器由于工作过程中存在和液体的相互作用，其模态势必会受到与之相接触的液体的影响。研究储液容器与其内部液体相互作用下的流固耦合模态，才能准确把握其动 态特性，正确地指导此类汽车零部件塑料化的开发。

目前，国内外学者在此类储液容器流固耦合问题的研究上已有一定成果。Ozdemir[1]等采用非线性流固耦合方法研究了液体作用对锚定和非锚定油箱抗震性能的影响。郑建华等[2]采用液体单元法进行立式圆柱形储液罐的三维液固耦合模态分析，研究了液体低频与高频状态下的晃动特性。张韶光[3]等使用NASTRAN中的虚拟质量法和液体单元法计算比较了不考虑自由液面影响的圆柱壳的振动。李青[4]等分别采用液体单元法和虚拟质量法建立圆柱形储液容器液固耦合模型，通过与试验结果对比，验证了这两种仿真方法的有效性。贾善坡[5]等在采用声学单元描述流体，对底部固定的矩形刚性储液容器内液体表面晃动模态进行研究，验证了采用声学单元模拟自由液面晃动状态的准确性。

1 仿真方法介绍

1.1 液体单元法

假设液体为无黏（忽略阻尼粘滞作用）、可压缩和小幅度运动的，固体则考虑为线弹性材料。采用Galerkin法建立位移一压力格式的液固耦合有限元方程为[6]：

其中，us为固体单元节点位移向量，pf为流体单元节点压力向量，Ms和Ks分别为固体的质量矩阵和固体的刚度矩阵，Mf和Kf分别为液体的质量矩阵和刚度矩阵，Q为液固耦合矩阵，ρf为液体密度，Fs为固体外载荷向量。Mf是由两部分叠加而成的，即与液体可压缩性相关的质量矩阵MfV和与液体自由表面晃动效应相关的质量矩阵Mfs。

液体单元法通过固体和液体的交界面来建立耦合关系，需分别划分固体和液体区域网格，建模过程相对繁琐。液体單元法求解流固耦合问题时可以考虑液体晃动效应，计算精度较高，但求解液固耦合方程通常需要较大的计算量，当模型复杂时，求解效率较低。

1.2 虚拟质量法

虚拟质量法简化了流体和固体弹性结构之间复杂的相互作用，将流体对固体的作用以固体的附加质量形式来体现，以更加简便的建模方式求解流固耦合问题。

根据流体力学的运动学基本方程和流体无旋、不可压缩条件下的拉普拉斯方程得到压力向量。用Helmoholtz边界积分法求解拉普拉斯方程得到流体边界上的速度向量。再将流体边界上的速度向量在结构有限元表面进行积分得到虚拟质量法的附加质量矩阵：

一般认为储液容器内的液体是不可压缩的，且液体晃动不太剧烈时又可忽略自由表面波动效应，则液体质量矩阵 ，消去液体变量后得到如下解耦的方程：

虚拟质量法将液固耦合组合单元方程简化为含液体附加质量矩阵的结构有限元方程，避免了液体单元网格的划分、降低了建模复杂度，求解效率一般较高，但由于无法考虑自由液面的晃动效应，其精确度还有待考证。

1.3 本文计算模型

1.3.1 声学方程

将流体视为具有弹性的声学介质分析液体晃动的动力学特性，考虑可压缩、无黏性和小扰动、有阻尼的流体微幅运动平衡方程为[7]：

式中：P是流体动压;x是流体质点的空间坐标; 是流体质点的速度; 是流体质点加速度;ρf是流体的密度;γ是体积曳力。

可压缩、无黏性、线弹性、考虑体积模量的流体介质的本构方程为：

1.3.2 流体动力学方程

对无黏性、可压缩和小扰动的流体，以压力扰动P为场变量的波动方程：

1.3.3 有限元模型与数值方法

对流体域采用流场压力P作为基本变量，构造插值函数Nk （x，y，z），则流体域压力分布为：

采用分块Lanczos法[8]，通过创建一个正交向量块，利用每次Lanczos步中的块的大小增加Krylov子空间的维数，可以自动计算大型矩阵的特征值，大大提高计算效率。

本文以声学单元和薄膜单元为基础建立的流固耦合模型，考虑液体可压缩性和自由液面的晃动效应，较精确地模拟了流体与结构的相互作用，并且分块Lanczos法的应用使得模态的计算具有较高的效率。 相比虚拟质量法和液体单元法，在建模复杂性、计算准确性与求解效率上具有一定的优势。

2 圆柱体储液容器流固耦合模态计算

本文以某圆柱体储液容器为研究对象，按照以下建模方法计算其模态频率和振型，并对比分析不同液体高度对模态频率和振型的影响。

圆柱形储液容器的几何参数为：直径为251mm，高度为300mm，壁厚为5mm。容器材料参数为：弹性模量为102GPa，泊松比为0.25，密度为2777kg/m3。容器内液体高度分别为0mm、50mm、100mm、150mm、200mm、250mm、300mm。液体为常温状态下的水，其材料参数为：密度1000kg/m3，体积模量为2.06GPa。重力加速度取g=9.8m/s2。

假设液体是无黏性、可压缩、无旋的理想液体，液体晃动为小波动。按以下方法建立流固耦合模型：流体部分采用声学单元，顶部自由液面采用薄膜单元，在薄膜单元上添加弹簧单元以考虑重力引起的自由液面晃动效应。求解声学波动方程时，网格单元的尺寸影响计算结果的精确度。声学单元的网格尺寸需满足Δx<λ/6时，即一个波长内一般不少于6个节点[9]。自由液面所采用的薄膜单元赋予下表[10]中超弹性参数：

2.1 模态计算结果

表2中列出了模态实验结果[11]、液体单元法和虚拟质量法计算的仿真结果[4]及与试验结果的误差。

图1为三种计算方法得到的不同液体高度下的一阶模态频率结果与实验结果的误差曲线。从图中可以看出，本文所采用的建模方法计算得到的不同液体高度情况下的第一阶模态频率误差均在1.5%以内，验证了本文采用的计算方法的准确性。另外，与液体单元法和虚拟质量法的计算误差相比，本文采用的建模方法具有更高的精度。三种计算方法得到的一阶模态频率均偏小，源于仿真计算均建立在液体无粘、小波动的假设基础上，仿真与实际液体运动状态会有一定偏差。

图2为不含液体时圆柱形储液容器的前三阶模态振型。从振型图可以看出，该状态下前三阶模态分别为第一阶呼吸模态、第二阶呼吸模态及第一阶纵向模态。

图3为液体高度为150mm时的圆柱形储液容器的前三阶模态振型。从振型图可以看出，该状态下前三阶模态分别为第一阶呼吸模态、第一阶纵向模态及第二阶呼吸模态。

对比图2和图3可以得出，储液容器无论是否含有液体，其前三阶模态均为为第一阶呼吸模态、第二阶呼吸模态及第一阶纵向模态，且振型相同。第一阶呼吸模态表现为顶部边缘两点对称式周向振动，無底部振型。第二阶呼吸模态振型表现为顶部边缘三点对称式周向振动，同样无底部振型。第一阶纵向模态表现为底部中心单点轴向振动，无周向振型。

从图4可以看出，当储液容器含有50mm高度的液体时，其第一阶纵向模态频率相比不含液体时下降明显，而第一、二阶呼吸模态频率变化较小，此时第二阶模态由第二阶呼吸模态变为第一阶纵向模态，并且随着液体高度的增加仍然维持这种状态。由此可见，容器中少量的液体即可激发底部的纵向振动，从而使得纵向模态频率明显下降。另外，前三阶模态频率均随着液体高度的增加呈现逐渐下降趋势。第一、二阶呼吸模态在液体高度小于100mm以下时下降较为缓慢，而在液体高度大于100mm时下降较快; 第一阶纵向模态频率在液体高度小于50mm时下降迅速，而在液体高度大于50mm时，下降速度逐渐变缓。因而可以得出结论：液体作用对呼吸模态频率的影响体现在液体较多时，而对纵向模态频率的影响体现在液体较少时。

3 塑料油底壳流固耦合模态计算

油底壳作为发动机润滑系统的重要部件，承担着集存润滑油和散热的作用。目前绝大多数发动机油底壳仍然以金属为材料采用冲压或压铸成型。随着汽车轻量化的发展，发动机油底壳的塑料化将是一大趋势。

玻纤增强复合材料以其低密度、耐腐蚀、隔音、隔热、耐冲击和高韧性的特点，在汽车轻量化上发挥着越来越重要的作用。采用玻纤增强复合材料制造发动机油底壳，不仅可以有效降低零件重量，而且提高了油底壳的NVH性能。注塑成型具有易成型复杂结构零件的特点，又可以使零件高度集成，减少零件装配工序，从而进一步降低成本[12]。

3.1 约束模态计算结果

塑料油底壳开发过程中，含油状态下的固有频率作为其零件试验大纲中重要的一项实验指标，若能采用准确、高效的仿真方法获得其模态，将能明显缩短塑料应用开发的周期。

本文以一款塑料油底壳为研究对象，采用本文建模方法及虚拟质量法计算了含油状态下的油底壳一阶模态，并与不含油状态下的一阶模态进行了对比。

分析模型如下图5所示，所有安装点全自由度约束。油底壳采用金发PA66+35%玻璃纤维的材料，机油材料为SAE 5W30，其密度为850kg/m3，体积模量为2490MPa。

图5  塑料油底壳模型

图6为该塑料油底壳在不含油状态下的一阶模态振型以及含油状态下采用虚拟质量法和本文建模方法计算得到的一阶模态振型。

从图6可以看出，该塑料油底壳在不含油状态下以及含油状态下的一阶模态均为纵向模态，表现为底部单点轴向振动。

表3列出了相应一阶模态频率值及相对不含油状态的频率变化率。

从表4可以看出，考虑机油作用的油底壳一阶模态频率相比不含机油状态的一阶模态频率明显要小，可见，机油的作用使得油底壳一阶模态频率明显下降。因此，在计算类似油底壳的储液容器的模态频率时，必须考虑液体的作用，否则，模态频率值会明显偏大。另外，虚拟质量法的结果要比本文建模方法偏大，这是由于虚拟质量法只考虑了液体的质量效应，未考虑自由液面的晃动作用，因而在计算油底壳模态时采用虚拟质量法会存在一定误差。

4 结论

（1）以声学单元和薄膜单元为基础建立液体晃动模型，计算某圆柱形储液容器的一阶流固耦合模态。通过与实验结果对比，验证了该建模方法的准确性;同时也表现出了比液体单元法和虚拟质量法更高的计算准确性。

（2）采用该建模方法计算了不同液体高度下的储液容器前三阶模态，得到了液体高度对储液容器模态频率和振型的影响规律。

（3）采用该建模方法计算了某油底壳的一阶模态，同时与油底壳单独模态、虚拟质量法计算结果作对比，说明不考虑液体作用和液面晃动效应会对油底壳模态计算产生较大误差。

参考文献

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[3] 张韶光，杨登峰，王德禹.部分充液圆柱壳的振动分析[J].中国海洋平台，2004，19（3）：10-13.

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[11] 李俊宝.中国古代文物龙洗引发的力学问题实验研究[D].北京：北京大学，2000.

[12] 张玉丽，焦晓龙，邱炜，谢鹏程.汽车发动机油底壳的模态分析与结构优化[J].塑料工业，2018，46（10）：136-139.