AANA序列加权和的完全收敛性及完全矩收敛性

何其慧

完全收敛性是概率极限理论中非常重要的一个研究内容，它不但可以通过B-C引理建立随机变量的强大数律，也可以得到随机变量加权和的收敛性质及收敛速度.完全收敛性的概念由文献［1］提出.文献［2］引入了关于完全矩收敛性的概念.而且完全矩收敛是比完全收敛更强的一种收敛性质.

在古典概率论中，专家学者们大多假设随机变量之间具有相互独立的关系.在独立关系下，关于随机变量的完全收敛性和完全矩收敛性的研究已日趋完善.然而随着经济社会的发展和研究的进一步深入，学者们发现这种假设在实际应用中是不合理的，大多数据之间都存在一定的相依关系.因此，专家学者们相继提出各种相依随机变量的概念，其中比较著名的是由文献［3］提出的负相协（NA）随机变量.在此假设条件下，文献［4］建立了关于NA 随机变量加权和的完全收敛性的结果.

由上述结果可以得到随机变量加权和的强大数律，因此，很多文献都对其进行了推广.如文献［5-7］分别将定理中α＞γ，α=γ及α＜γ的情形推广到ρ*-混合随机变量序列；文献［8］将定理推广到NSD 序列下的情形.文献［9］提出了渐近几乎负相协（AANA）随机变量的概念.称随机变量序列{ }Xn,n≥1 为AANA的，同时文献［9］也给出了满足AANA但不是NA的例子.

在适当的条件下，本文将该定理的结果推广到AANA 序列，得到更强的完全矩收敛性的结果，同时得到了关于AANA序列加权和的强大数律.在本文中，C代表正常数，在不同的地方可以取不同值，logx=lnmax(x,e)，其中，I(A)表示事件A的示性函数，a+=aI(a≥0) 且a+=-aI(a＜0).

1 预备知识

则对任意的ε＞0，都有

引理1［7］令{ani,1 ≤i≤n,n≥1} 为满足（1）式的常数阵列，X为随机变量.令其中常数γ＞0.则

引理2［7］令为满足（1）式的常数阵列，X为随机变量.令其中常数γ＞0.若q＞max(α,γ)，则

引理3［10］令为AANA 随机变量序列，其混合系数为假设f1,f2,…都为单调非降（或非增）的连续函数，则仍然为AANA 随机变量序列，且其混合系数为{u(n),n≥1} .

引理4［10］令{Xn,n≥1} 为均值为0的AANA随机变量序列，其混合系数满足存在q∈(3 ⋅2k-1,4 ⋅2k-1)，使得，其中k为正整数.则存在仅依赖于q的正常数使得对所有的n≥1，

2 主要结果

定理2 令{X,Xn,n≥1} 为同分布的AANA序列，其混合系数满足存在常数q∈(max{3 ⋅2k-1,2γ/α},4 ⋅2k-1)，使得，其中k为正整数.{ani,1 ≤i≤n,n≥1} 为满足（1）式的常数阵列，其 中0 ＜α≤2.记，其中γ＞0.当1 ＜α≤2 时，假设EX=0.如果（2）式成立，则对任意的ε＞0，（3）式成立.

由引理3 可知，{Yni,1 ≤i≤n,n≥1} 是混合系数仍然为{u(n),n≥1} 的AANA 随机变量阵列.容易验证

利用概率的次可加性，由Markov 不等式及引理1，得到

故下面只需证明I2＜∞.首先验证

如果0 ＜α≤1，则由Markov 不等式，（1）式及（2）式，可得

如果1 ＜α≤2 ，则由EXi=0 ，（1）式及（2）式，可得

因 此（4）式 成 立，从 而 当n充 分 大 时

选取q∈(max{3 ⋅2k-1,2γ/α},4 ⋅2k-1)，其中k为正整数.由Markov 不等式，引理4，Cr 不等式及Jensen不等式，可得

注意到q＞max(α,γ)，由Markov 不等式，引理1及引理2，可得

最后将证明I22＜∞.由（1）式，Markov 不等式，α≤2 及q＞2γ/α可得

注1：注意到若u(n)=0，条件显然成立，此时定理2依然包含定理1的结果.在α＞γ和α=γ的情形下，关于混合系数的条件也只需满足存在q∈(3,4) ，使得成立.

定理3 令{X,Xn,n≥1} 为同分布的AANA序列，其混合系数满足存在常数q∈(max{3 ⋅2k-1,2γ/α},4 ⋅2k-1)，使得，其中k为正整数，{ani,1 ≤i≤n,n≥1} 为满足（1）式的常数阵列.记，其中γ＞0.当1 ＜α≤2时，假设EX=0.如果（2）式成立，则对任意的ε＞0，

证明 不失一般性，假设ani≥0.注意到

由定理2 可知J1＜∞.因此要证明（5）式，只需要证明J2＜∞.对任意t≥1，记

由引理3 可知，{Zni,1 ≤i≤n,n≥1} 是混合系数仍然为{u(n),n≥1} 的AANA 随机变量阵列.注意到

故

由概率的次可加性，引理1及（2）式，可得

对于J22，首先证明

如果0 ＜α≤1，则由Markov 不等式，（1）式及（2）式，可得

如果1 ＜α≤2 ，则由EXi=0 ，（1）式及（2）式，可得

因此当n充分大时，对任意的t≥1 ，都有

取q∈(max{3 ⋅2k-1,2γ/α},4 ⋅2k-1) ，其 中k为正整数，类似I2的处理可得

注意到

注意到q＞max(α,γ)，由引理2，得

由引理1得J‴221＜∞，以及

最后证明J222＜∞.注意到αq/2γ＞1，由Cr不等式，Markov不等式及（1）式可得

注2：注意到

定理4 令{X,Xn,n≥1} 为一同分布的AANA序列，其混合系数满足存在常数q∈(max{3 ⋅2k-1,2γ/α},4 ⋅2k-1)，使得，其中k为正整数.为满足的常数序列，0 ＜α≤2.记，其中γ＞0.当1 ＜α≤2 时假设EX=0.如果（2）式成立，则

证明 显然由定理1的结果可得

从而由Borel-Cantelli引理，可得

另一方面，对任意的n≥1，总存在m，使得2m≤n＜2m+1，因而有

即（6）式成立.

3 结论

本文主要利用AANA 序列的极大值矩不等式，对AANA随机变量加权和的完全收敛性进行了研究，并在相同的条件下进一步建立了完全矩收敛性的结果，改进且推广了文献［4］关于NA序列的结果.作为推论，还得到了AANA 序列加权和形式的强大数律，具有比较重要的理论意义和应用价值.