加权多任务最小二乘双支持向量机

阮 丽, 黄成泉， 朱文文

(1 贵州民族大学 数据科学与信息工程学院, 贵阳 550025； 2 贵州民族大学 工程技术人才实践训练中心,贵阳 550025)

0 引 言

机器学习中，统计学习理论在解决小样本和非线性的问题上有着出色表现，其中作为典型代表的支持向量机(Support Vector Machine, SVM)[1-2]则因为所具备的优秀的性能，现已广泛地应用在各个领域中。但是，单任务支持向量机在训练样本小、信息量不足和多个数据差异的情况下的性能表现上却仍有一定欠缺。为此，在多任务学习(Mutli-task Learning)[3]的启发下，支持向量机则被成功应用到多任务学习上。研究可知，多任务支持向量机(Mutli-task Support Vector Mahicne, MTLSVM)通过共享数据之间信息来提高分类效果，解决了如上所述单任务向量机存在的问题。如今，MTLSVM已经得到了学界的普遍关注和重视。早期的MTLSVM是研究单类分类的。Yang等人[4]在2010年提出了多任务学习一类分类，为MTLSVM的研究提供了参考。He等人[5]在多任务学习一类分类的基础上提出了多任务-类支持向量机(Multi-task one-class support vector machines, MTOC-SVM)，Xue等人[6]在MTOC-SVM的基础上增加新特征,提出了支持向量机的多任务学习新特征。由于求解二次规划问题计算复杂度高，时间成本大，为此Xu等人[7]提出了多任务最小二乘支持向量机(Multi-task least squares support vector machine, MTLSSVM)，Li等人[8]根据近端支持向量机[9](Proximal support vector machine, PSVM)提出了多任务近端支持向量机(Multi-task proximal support vector machine, MTPSVM)。这2个模型都降低了计算成本。同样地，由于多任务双支持向量机[10](Multi-task twin support vector machine , DMTSVM)也是一个求解二次规划的问题，其复杂性和计算量都较为可观。因此，Mei等人[11]提出了多任务最小二乘双支持向量机(Multi-task least squares twin support vector machine, MTLSTSVM)，能有效提高计算速度。综上研究后发现，在这些算法中，松弛约束项有较大的局限性，为此，本文在传统的MTLSVM的约束上增加一个权重约束，提出加权多任务最小二乘双支持向量机(Weight multi-task least squares twin support vector machine, WMTLSTSVM)。实验结果表明，本文算法在分类上具有良好性能。

1 理论基础

多任务最小二乘双支持向量机(MTLSTSVM)是求解一对线性方程组问题的算法，这里，给出MTLSTSVM的基本理论，MTLSTSVM为本文的算法提供了理论依据。

假设一个二分类任务，X1⊂RN1×d,X2⊂RN2×d代表类1和类-1。其中，X1,X2的每一行对应一个数据样本。X1t表示第t个任务的正类样本，X2t表示第t个任务的负类样本。正负超平面分别是：u=[W1,b1]T、v=[W2,b2]T，第t个任务的正负超平面是：[W1t,b1t]T=(u+ut)、[W2t,b2t]T=(v+vt)。ut和vt为u和v与第t个任务的偏差。MTLSTSVM的目标函数如式(1)、(2)所示：

s.t.-[[X2t,e2t](u+ut)]+ξt=e2t,ξt≥0,

(1)

s.t.[[X1t,e1t](v+vt)]+ηt=e1t,ηt≥0.

(2)

其中，e1,e2,e1t,e2t表示适当维数的列向量；ξt和ηt表示松弛向量；c1,c2,ρ,λ表示非负交换参数。

2 加权多任务最小二乘双支持向量机

2.1 线性加权多任务最小二乘双支持向量机

考虑到MTLSTSVM的松弛约束项有较大的局限性，所以，本文在MTLSTSVM的约束上增加一个权重约束，提出了加权多任务最小二乘双支持向量机。现给出加权多任务最小二乘双支持向量机算法的优化函数如式(3)、(4)所示：

s.t.-[[X2t,e2t](u+ut)]+ξt=e2t,ξt≥0,

(3)

s.t.[[X1t,e1t](v+vt)]+ηt=e1t,ηt≥0.

(4)

其中，e1,e2,e1t,e2t表示适当维数的列向量;ξt和ηt表示松弛向量;W表示权重参数;c1,c2,ρ,λ表示非负交换参数。

先给出算法求解过程，首先引入拉格朗日乘子，将约束条件代入算法。则可以得到式(3)的拉格朗日函数如式(5)所示：

(5)

计算式(5)的KKT条件：

(6)

解式(6)可得：

[X1,e1]T[X1,e1][w1,b1]T+[X2,e2]Tα=0,

(7)

令E=[X1,e1]，F=[X2,e2]，则有：

ETE[w1,b1]T+FTα=0,

(8)

可得：

[w1,b1]T=-(ETE)-1FTα,

(9)

同理可得：

(10)

代回式(3)的约束项可得：

(11)

令A=F(ETE)-1FT，Bt=Ft(EtTEt)-1，B=blkdiag(B1,B2,…,Bt),代回式(11), 求解式(11)中的α可以得到正超平面如式(12)所示：

(12)

根据L1的方法，可解β，算法(5)的拉格朗日函数式如(13)所示：

(13)

求解L2可以得到β，即：

(14)

这里，第t个任务的决策函数可根据式(15)得到：

(15)

2.2 非线性加权多任务最小二乘双支持向量机

对于加权多任务最小二乘双支持向量机非线性的情况，可通过内核函数来解决。核函数定义为：

M=(K(E,ZT)e)，Mt=(K(Et,ZT)et),

N=(K(F,ZT)e)，Nt=(K(Ft,ZT)et),

这里，K(.)为特定的一个核函数，ZT=(ET1,…，ETt,FT1,…，FTt)为全部任务的训练样本。非线性的优化函数如式(16)、(17)所示：

s.t.-[[K(Ft,ZT),e2t](u+ut)]+ξt=e2t,ξt≥0,

(16)

s.t.[[K(Et,ZT),e1t](v+vt)]+ηt=e1t,ηt≥0,

(17)

其中，ξt、ηt是松弛变量，c1、c2是非负交换参数。第t个任务的决策函数可根据式(18)得到：

(18)

3 实验结果分析

实验选取UCI数据库的3个数据集(http://www.ics.uci.edu)：Monk, Autistic Spectrum Disorder Screening Data for Adult(ASD), Dermatology。最优参数来自网格搜索法的结果，实验的平均分类准确率结果是通过3次交叉验证来获取。参数c,ξ,ρ的范围为{2i|i=-3,-2,-1,…,8},权重参数范围是[0,1]，这里，2个算法模型的参数视为相等的。核函数为径向基函数(RBF)。实验中数据的基本信息见表1。

表1 数据集信息

3个数据集在3个模型上的平均分类准确率见表2。通过分析发现，本文算法WMTLSTSVM与MTLSTSVM和LSTSVM相比有更好的分类性能，这充分说明了，给松弛项增加一个权重约束，通过实验把原松弛变量约束项中的1转变为范围[0,1]中的一个常数，能有效地提高分类精度、降低训练时间，从而得到一个更好的结果。

表2 3个数据集上的平均分类准确率结果

4 结束语

本文提出的加权多任务最小二乘双支持向量机，解决了传统多任务支持向量机松弛约束项局限大的问题，引入权重参数来约束松弛变量，得到了一个更好的分类效果，通过实验分析发现，本文的算法能有效地提高分类效果，减少了训练时间，这也证明了本文算法的有效性。