简洁而丰富简约而深刻

刘国超 张敏雪

1原题呈现

2 试题评析

1.本题叙述简练、图形简洁，但内涵丰富，并有深刻的数学文化背景。其中点P是等腰Rt△ABC的一个布洛卡点，一般地。若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为AABC的布洛卡点（如图2.也称“勃罗卡点”），三角形的布洛卡点（Broeardspoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A，L，Crelle，1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年。它被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Broeard，1845-1922）重新发现。并用他的名字命名。

2.本题不需要通过复杂的辅助线构造来解决。而来源于“经典问题”的变式考查。与以往涉及复杂相似的几何综合题不同。既可以利用八年级的全等知识解决，又能利用九年级的相似知识证明，还可以进行旋转变换寻求思路。重点考查推理能力这一数学核心素养，令人耳目一新，其中第（2）小题的证法多样，有相似方法、全等方法、三角函数方法等，为不同层次的学生都搭建了平台，让本题保持一定的得分率，简约而深刻，体现了平面几何的普适性和义务教育数学课程标准的面向全体学生的基本理念。严守课标，不越考纲，形成了“人口宽、促发展”的特色。

3 第（2）问的学生妙解呈现

4 推广变式

一个好的中考题往往蕴涵着丰富的结论。令人回味无穷，探究不止！本题中的等腰直角三角形改成任意三角形。就可推广为以下问题：

5 教学导向

5.1 回归基础。导向教学

几何证明是中学阶段培养学生数学推理能力的主要内容，对发展学生的核心素养起到重要的促进作用，本题回归基础、活而不难，以等腰直角三角形这一基本图形为载体、以“图形的性质”中所列出的基本事实和定理为依据，考查三角形相似、全等、锐角三角函数等主干知识。通过逻辑推理促进学生数学思维发展，有助于学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，从而体现了三个教学导向：基础导向、重点导向、素养导向，这对当前推进课堂教学改革有着积极的意义。

5.2触发思考，教学建议

每一年的中考结束后，总会听到有教师或学生抱怨“又变了”“没有押到题”和“复习模考的套路不一样”等等，这就触发我们思考：考的还是那些知识点、思想方法、思维能力，只是试题的情境变了、呈现方式变了，学生就不能加以应对，这很值得我们深刻反思，反思我们的教学是否帮助学生完善了知识结构、理解了數学本质、提高了数学思维能力、发展了数学核心素养等;尤其复习教学中“套模式、套方法”“题练百遍、模型出现”的现象还大量存在！

比如本题的第（1）小题起点低，学生只要掌握了直角三角形的基础知识和三角形相似基本的方法就能顺利证明，虽然（2）（3）两个小题层层递进，也能迎刃而解，这就要求我们教师在乎常的课堂教学中不仅要狠抓“四基”的落实，更要训练学生的思维品质，培养学生的逻辑思维能力。几何证明的主要方法有综合法和分析法，而在实际解题过程中，往往要将这两种方法结合起来，比如，在几何的教学中，让学生经历合情说理→简洁推理→严谨证明的完整过程。掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化能力，引导学生领悟一定的分析问题、解决问题的方法，关注数学语言的条理性、逻辑性和规范性，培养学生言之有理、落笔有据的表达能力。才能逐步提高学生的逻辑思维能力。一以贯之。形成素养。