研析教材立意 筑建多维课堂

刘燕

在高中数学的公式教学中，教师应以教材为本，立足学生知识结构的最近发展区，着力提高学生在推导公式过程中的学力，培养学生对整个数学概念体系的把握，提升数学思维能力，进一步完善和发展数学认知结构。那么，如何合理有效地利用教材，使课堂的含金量更高呢？本文将从以下几个方面进行探讨。

一、以生为本，确立认知结构

皮亚杰认为数学认知结构有三个特性：整体性、转换性、自身调整性。学生学习新知的过程离不开其原有的认知结构，在学“两角和与差的余弦公式”前，学生已经熟练掌握了三角函数的各项性质，周期性便是其中之一，从周期运动合成的角度提出变换的课题，不仅可以赋予三角变换以实际的意义，而且可以使三角函数变换的教学与“三角函数”“平面向量”的教学融于一体。

事实上，很多老师在教学的时候，认为它的落脚点太高，思维跳跃过大，学生可能很难理解，便摒弃了这个引入，直接让学生求cos（60°-30°）及cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的值，引导学生发现数值之间的联系，再通过几个特例验证，得到公式。这样的引入看似非常自然和谐，课堂上你问我答，其乐融融，好不欢快，但实际的效果却有待商榷。

从三角函数的周期运动提出周期运动的叠加，本身就是对知识的一个延续研究，符合新课标对知识呈螺旋上升的编排规律，也可以培养学生用运动发展的观点来看待数学知识的呈现序列、完善学生的数学认知结构，提升其数学思维素养，把握数学学科的本质。教师的教学不能以导入容易与否作为唯一标准，要以能否提高学生的综合能力为目标。再由向量的数量积运算法则，可知（1，1），另一方面，cosθ，其中，θ为向量与向量（1，1）的夹角，于是cosx+sinx=。这个式子既表明了周期运动的叠加仍是简谐运动，又告诉我们可以用x的三角函数和的三角函数来表示，那么又可以进一步启发我们联想到：cos（α-β）能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？这是一个从特殊到一般的思想，可以培养学生的推理与化归能力，也符合我们对问题的一般研究策略。这样的学习可以使新旧知识结构不断交替融合，知识体系不断丰富、扩张，逐步形成一套新的更加完善的数学认知结构，这种基于“量力性原则”基础上的对于学生的数学学习乃至终身能力发展的培养都是具有深刻意义的。

二、以书为基，丰富课堂导入

教科书为学生的发现活动提供了广阔的空间，教材里呈现的每一处数学知识都有它的“固着点”，从而为学生数学知识的整体化做准备。我们应该在此基础上创设多维的课堂导入，渗透基于数学核心素养的数学文化，不妨选取以下案例：

案例1：20世纪90年代末，美国《数学杂志》开辟没有文字证明的证明专栏，以数学史为背景的导入一下子受到了广大数学爱好者的关注，右图就是其中刊登的一个典型案例！思考：由图，你能得到什么公式？

学生不难得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（0<α<，0<β<）。进一步思考：若α，你能推导出什么公式来？

设计意图：平面几何是三角函数的“母体”，三角公式源自几何命题，用平面几何图形的方法来研究三角运算及运动学自古而有之。初中研究的三角函数就是放在直角三角形中研究的，到了高中，我们要研究更复杂的三角问题，依然可以回到“最初的起点”，依托知识本身一脉相承的体系去寻找答案，这种能力的培养对学生至关重要，也是教材引入的意义和精髓所在。文献[1]和文献[2]的案例恰恰也佐证了这一点，特别是北京市第十中学的张丽娟老师的分蛋糕问题的构造是十分有新意的。

不仅如此，此案例跟数学史有关，对学生的吸引力更大，在解决问题的同时，又渗透了对学生数学文化素养的培养。与此相关的一个证明便是托勒密定理：已知圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC。在利用三角形相似证出结论的基础上，若设，便可以得出两角差的余弦公式。

这部分内容可以让学生课后自己查阅资料进行研究，并可进一步引发思考：若∠ABC=α，∠CBD=β，则可以得出什么公式？

通过一系列的研究，学生积极地思考、探索，定能较好地构建逻辑框架结构图。

案例2：在高中阶段研究三角函数，马上应想到其对应的几何意义——三角函数线，随即联想到可以放到单位圆中进行研究，构造出图形，如右图所示，在平面直角坐标系中，以x轴正半轴为始边分别作角α，α-β，，终边分别与单位圆交于P，Q两点，即∠POx=α，∠POQ=β，∠QOx=α-β，思考：cosα，cosβ，sinα，sinβ分别表示哪条线段？再联系图形中的几何关系OF=OE+EF=OE+GO，即可得：。

设计意图：数学中的数与形是紧密相连的，三角函数也有与之对应的“形”，借助单位圆这一有效载体，数形结合，充分发挥图形的作用，让学生在更加直观的情境下研究，培养学生科学地发现、理性地思考，提高分析、解决问题的能力。

三、以做为证，检验研究结果

爱因斯坦说过：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中）以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。”史宁中教授也表示：“我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。”智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨炼，过程的教育不仅仅是指在授课时要讲解或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而要注重对学生探究的过程、思考的过程、反思的过程的培养。

数学公式的学习亦是如此，让学生真正去“做”、真正参与“数学实验”，建立合理的、必然的数学知识、以“百科管理构建法”构建数学知识网络。教師要注重学生学习创造的多维发展，为学生创设出“再创造”的思维空间，引申学生的无限创造性认知，而不能仅仅重视教学活动中知识的单向传输。

通过上述一系列的研究，请学生自己尝试证明公式，由于cosαcosβ+sinαsinβ的形式与向量中的类似，因此可以在单位圆中联想到向量的数量积，设，，将α-β看作是两向量的夹角，则，另一方面，，通过“算两次”，也称作“富比尼原理”，即一个问题两种角度考虑，可得两角差的余弦公式。正如波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法。”

深入思考：前面是通过向量的数量积的两种表示得出了公式，既然已经联想到向量，那能否直接在单位圆中表示出P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos （α-β），sin （α-β）），如上图，设单位圆与x轴正半轴交于，观察图形，可知△P1OP2与△P3OP0全等，即，因此，化简即可得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

通过这样层层递进式的探究，可以帮助学生更好地感受向量与三角函数的紧密联系，体会数学知识体系的博大精深。

四、以问为引，优化思维过程

以问题引导思考为教学之常态，数学问题本身的魅力才是引领学生进行探索的关键，教师必须“以生为本”，充当一个“陪跑者”，尽可能帮助学生找到问题的“生长点”，构建更加清晰、完整的知识板块，强化数学认知结构。如教师可以设置以下问题：

问题1：前面研究的角α、β有什么要求？

问题2：-β与的夹角有何关系、如何处理？教材上为什么说只需考虑的情况？

问题3：有了两角差的余弦，如何得到两角和的余弦、两角和与差的正弦？为什么可以用-β直接换β？如何理解用-β代替β的几何意义？

问题4：前面学的诱导公式与两角和与差的余弦公式有何关系？

问题5：如何记忆这几组公式？

设计意图：通过问题串的形式，可以进一步激发学生的求知欲望，丝丝紧扣，对前面的研究进行“打补丁”，得到更一般的、科学的结论，拓展学生的数学思维方法，提高对问题的整合能力。

五、以思为归，提升核心素养

教材是实施新课程的重要资源，教材的编写凝聚着大量专家、学者的心血，是科学的、严谨的、符合学生认知结构、迎合时代发展要求的。教师应充分挖掘教材的设计意图，选择有效的教学策略，使学生在最有内涵的课堂中汲取养分，发展自己的学习能力。

江苏省数学教研员李善良博士亦说过：“要想做一名优秀的教师，就要学会定期反思，并把心得写下来，以此来时常勉励自己。”因此，有效的反思应是教学的最后一个步骤，也是至关重要的一个环节，“反思”是当代心理学中属于元认知的概念范畴，反思性教学不仅仅是对前面知识点的一个简单回顾，更是要深究学习活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，要从新的层次、更高的角度看到现实的不足，引领学生一起对所学的知识进行“重新组织”或转换，使得学习者成为构造主义者。以本堂课为例，课中探讨的两角和与差的余弦公式的推导过程并不是尽善尽美的，肯定还有不足或是有更符合学生认知结构、更能提高学生数学素養的导入。一堂课的时间只有40分钟，但是同样的40分钟赋予学生的意义却是不尽相同的，教师需要亲近学生、了解学生，多维度、多角度地培养学生的数学思维，提高学生的“四基”“四能”及“六个关键能力”。

【参考文献】

[1]魏韧.追求自然朴实的数学教学——以两角和与差的余弦公式教学为例[J].数学通报，2014（11）：16-18.

[2]戴圩章.“以生为本”从新课程导入开始——以两角和与差的余弦公式教学为例[J].数学通报，2015（9）：38-41.

[3]刘斌.从构建学生数学认知结构看高中数学教材的编写[J].课程·教材·教法，1998（5）：25-28.

[4]柳榕.基于《两角差的余弦公式》的同课异构案例评析[J].福建中学数学，2011（11）：25-28.