深究鸡兔同笼中蕴含的数学思想，助力思维发展

陈彩琴

摘  要：在教学过程中渗透数学思想方法，是新时代数学教育的历史使命，也是有序发展学生数学思维和解决问题能力的重要抓手。在此，结合鸡兔同笼问题的研究思考，简要地阐述这类问题中所蕴含的各种数学思想方法，以及应用不同的思想方法对孩子们学习的影响。

关键词：鸡兔同笼;小学数学;数学思想;数学思维;解决问题

鸡兔同笼问题是一个非常经典的问题，也是流传极广的问题。它最早记载于《孙子算经》之中，是一道图文并茂的趣题，旨在让学生掌握算法规律，促进学习思维的稳步发展。鸡兔同笼问题在日本数学史话中也有类似的呈现，它就是龟鹤同池问题。结合数学史话的学习，笔者认为，鸡兔同笼问题具有深远的教育意义，尤其表现在它能够运用不同的数学思想去分析、思考，从而能综合性地培育学生的数学素养，促进学生更全面地发展。

一、运用数形结合，图解更直观

数形结合思想是一个重要的数学思想方法，它以形表数，能够让问题更直观，更形象，也更具体;它以数显形，能够把隐晦的关系明朗化，也能够把抽象内容的直观化 [1]。为此，在鸡兔同笼问题的教学中，教师就得用好数形结合这根拐杖，努力使复杂的、隐晦的数量关系直观化，把抽象的数学问题情景化、形象化，从而助力学生的学习思考，造就快乐的数学学习，使得数学课堂教学充满魅力，意蕴绵长。

1. 采用假设策略，为抽象做铺垫

鸡兔同笼问题通常采用的策略取决于学生的认知水平。如果是六年级的孩子，列表法是可行的，假设法是最直接的，设定一个未知数，列出方程，解一下方程就能轻松得到答案。

但是，如果引导一个二年级的孩子去思考这个问题，列方程解答肯定是行不通的，学生没有知识积累，更没有那份思维支持。有什么办法也能让二年级的小朋友学习解决鸡兔同笼问题呢？

答案很显然，那就是运用数形结合思想，把复杂的问题形象化、直观化。可以引导学生用拼图法去尝试、去探索。用圆片代表鸡兔的头，用小棒代表鸡兔的脚，再根据鸡兔各自腿的条数特征去分析思考，从而实现学习视野的有效拓展，让数学学习更有理性。

还可以采用画图的策略，也运用上面的假设方法，实现问题信息具体化、直观化的目的。让学生在真切的图画中感悟到鸡兔同笼问题的本质，找寻解决问题的方式，最终实现学习的有效突破。

2. 引导争辩质疑，为内化做准备

尽管我们能够引导二年级的小朋友采用拼图、画图方法，把问题中晦涩的关系具体化、形象化。但是要让更多的孩子明晰算法，感悟规律的存在，教师就得在学生学习困顿处引发新一轮的学习争议，从而使鸡兔同笼的原理在质疑中更趋明朗化，其本质属性也在争辩中逐渐被抽离出来。

比如，学生解读自己的拼图：“我把笼子中的鸡兔8个头摆上8个圆片，然后再给他们安上腿，一条一条地安装。”“不对！你这样做会闹笑话的，不会有3条腿的鸡或者兔子的。”“是的！因为鸡有2条腿，兔子有4条腿，所以给头安上腿的时候不是一条腿一条腿地安装的，而是先给8个头下面都装上2条腿。”“又不对了！二八十六，才16条腿，而题目中是26条腿，还有10条去哪里了啊？”“噢！我知道了，剩下的这10条腿，不能一条一条去装，而是要两条一块儿装，这样它们就由原来的鸡变成了兔子了。”

争论让鸡兔同笼问题的实质变得愈加清晰了，逐步让学生明白在拼图、画图中安装腿的原理，也让学生在學习讨论中逐步抽象出鸡兔同笼问题的基本算法。孩子们的脑海中已有一个清晰的思路：因为鸡是2条腿，兔子是4条腿，所以先给8个头配上2条腿，多余的腿必定是兔子的，而要把多余的腿分配完，就得2条2条去安装，这样才能把鸡转化成兔子。

直观的活动，既能促进学习思考的深入，又能让学生更有兴趣地参与到讨论之中，同时，也让学生在学习争辩中更好地感知和理解假设法的原理，并在尝试计算中更好地掌握对应的算理，实现问题的有效解决，从而让学生体验到学习成功的喜悦。

二、运用转化策略，变身更直接

解决鸡兔同笼问题，数形结合策略对于低年级小朋友来说是适合的，但是到了中高年级就显得略为幼稚了。为此，在这个阶段孩子的学习引导中，教师就得有机渗透转化思想，采用变身策略，化难为易，助推学习的深入，加速思考的进程，从而帮助学生更好地提炼知识，抽象出概念，使问题得以解决。同时，也让孩子们在学习中的认知获得建构，核心素养得到发展。

1. 巧引入，激发探究兴趣

教学之初，教师就利用多媒体教学辅助技术，动画展播《孙子算经》中的原题，并写出原题中的核心信息：笼子中装有鸡和兔，不知道各有多少只。从上面看有35个模糊的头像，从笼子下面看隐隐约约有腿94条。你知道笼子里的鸡和兔各有多少只吗？

问题情境，旨在给学生一种信息，“这是一道千百年前的难题，今天我们一起来研究它、解决它”，从而激发他们内心的那份欲望，树立解决问题的信心。同时，也让学生感觉到，古题中数据偏大，画图、拼图都难以完好地实施，这就需要用新的思路、新的策略去研究它，从而为孩子们努力探究、创新学习注入强有力的信念支撑。

2. 编儿歌，助推探究引入

针对古题数据大，难以找到突破口的特点，在实际教学中教师就得引导学生把复杂的问题简单化，进而尝试改编原题，使之更有利于学生进行实验、探索等，从而打开学习研究的新局面，也为他们提炼规律、抽象概念提供智力支持。

比如，结合学生的生活实际采取编造儿歌的方式，让古题变身成为一个新的探究点，使之成为乐学的情境。

“养殖场里真热闹，鸡兔同笼喔喔叫，数数头儿有8个，数数腿儿26条，试问鸡兔各几何？”将复杂的、生硬的古题，以儿歌的形式展现出来，使得问题更接近学生的生活场景，给学生一种熟悉的感触。这样的改编，能更有效地激发学生的学习兴趣，提增探究的活性，让孩子们的数学学习热情滂湃，活力四射。

从上述教学实践能够看出，教师要善于解读学生，精准把脉学生的知识现状和生活实际，采取最为灵活的策略让教学内容变变身，从而给学生最自然的感触，也让知识学习有那股更为熟悉的味道，让他们的学习更有信心，也更有劲头。

三、运用列举策略，逐个更精细

数学模型化，是小学生研究问题集约化的典型标志，也是学生思维发展的根本表现。为此，在鸡兔同笼问题的研究中，教师要有意识地强化学习引领，让学生在问题研究中建构相应的思维模型、解决问题模型等，从而实现高效学习的目标 [2]。在鸡兔同笼问题解决中，教师应重视对学生运用列举策略去分析、比较等方面的指导，并以此为基础帮助学生建构列举策略的模型，促进孩子们数学学习的顺利开展，也使得创新学习成为一种必然的结果。

1. 完成填表，促进思考

教学中，教师应紧扣儿歌内容，指导学生多读、多分析，使问题的信息一目了然且基本烂熟于心。

此时，教师就得引导学生深究信息，找到隐藏的信息：1只鸡有2条腿，1只兔子是4条腿。这个隐藏的信息，看似不起眼，但它在调整鸡兔个数的过程中却是最为关键的条件。

紧接着，指导学生抓牢8个头去思考，联想8 的组成，从而知道表格中鸡的数量的可能性有9种，分别是0、1、2……7、8，并给鸡配上合适数量的脚，从而找到最科学的答案，使得问题在列举中顺利突破。

当然，这个看似简单的举例子活动，却隐藏着很多数学奥秘。比如鸡兔列表中的分布规律要从0开始，到8结束，一个不漏，一个也不重复。这样的学习活动，不仅能加速学习感悟的进程，还能促进学生有序思考能力的发展。

2. 探讨交流，丰富思考

自主学习是孩子们数学学习的根本，但合作学习更是学习的制胜法宝。它能拓展学习的视野，使学习实现互惠互补。为此，在教学中教师不仅要重视自主学习的开展，更要重视合作学习的引导，让学生在合作探讨交流中实现成果共享，也促进思想碰撞，从而让孩子们的感悟更深刻，理解更透彻，学习建构更有效。

如，在上述列举学习后，教师就得引导学生展示学习成果。有的学生是从鸡的数量为0开始的，有的学生则是从兔子的数量为0开始的。不同的声音，会让学生的學习视角得到拓展，让他们真正做到一个不遗漏，一个不重复地列举，使他们的数学学习更加智慧，也更有魅力。

总之，在小学数学教学中渗透数学思想方法是一项艰巨且长期的任务。所以在教学中，教师要审时度势、因地制宜，科学地渗透各种数学思想方法，让学生在学习中接受数学思想方法的熏陶，从而使他们的数学思维和解决问题的能力等稳健有序地持续发展。

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准（2011版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]  华敏芳. 渗透数学思想方法，优化小学数学教学[J]. 数学教学通讯，2018（01）：60-61.