运用“画图”策略，让数学的抽象本质直观化

吴梅珍

摘  要：画图是解决数学问题的一种重要策略，不仅可以运用在抽象概念的理解上，而且还可以运用在抽象算法的直观理解上，以及运用在复杂问题的关系揭示上。借助画图，能让抽象的数学问题变得直观、繁杂的数学问题变得简易。通过画图，可以积淀学生数学活动经验，提升学生数学学习能力，发展学生数学核心素养。

关键词：小学数学;画图策略;本质直观

画图是解决数学问题的一种重要策略。通过画图，能将抽象的问题具体化，将本质的问题直观化，从而帮助学生厘清思路，找到问题解决路径。著名数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体性地把握了问题。”在小学数学教学中，教师要有意识地引导学生画图，引导学生借助图形进行思考。同时，在数学教学中，要有意识地渗透画图的策略，帮助学生积累画图活动经验。通过画图策略的运用，助推学生数学素养的发展。

一、借助画图，让抽象的概念本质直观

图形，因为其直观、形象的特点而备受学生的欢迎。著名数学教育家华罗庚曾经这样说：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”对于一些较为抽象的数学概念，用语言难以言说清晰时，不妨借助画图的策略，就能促进学生理解本质。通过画图，学生能感受到图形在问题解决中的作用，体验到图形在问题解决中的优越性。

比如教学“倍数和因数”（北师大版五年级上册），如何让学生找全“12的因数”？如何让学生深刻理解“一个数的因数”的概念？如何让学生理解“一个数的因数的几何意义”？教学中，笔者让学生在方格纸上，画出面积为12平方厘米的长方形。不同的学生，画出了不同规格的长方形。通过全班交流，学生直观地发现，长方形的长越长，宽就越短;长方形的长越短，宽就越长。学生认识到，一个数的全部因数，就是以这个数为面积的所有的规格的长方形的整数长和整数宽。此时，因数对学生而言，不再仅仅是一个概念，而是获得了图形的意义支撑。图形的介入，帮助学生建立了一个数的因数的直观表象，为学生解决这样的数学问题，如“把48块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？”奠定了坚实的基础。同时，学生在画图的过程中，还能自主发现一种特殊情况，即有一种长方形的面积，它的长、宽为整数的长方形规格只有一种，从而为学生进一步研究“找质数”，进行了有效铺垫。

为了让学生理解数学概念，借助相应的几何直观，将“数”和“形”结合起来，能让学生从“数”和“形”两个视角去认识和把握概念。这样，不仅能让学生获得对概念的直观感知，而且能帮助学生建立抽象概念的图形表象，从而能让学生直观地理解数学概念、主动地运用数学概念。

二、借助画图，让抽象的算法本质直观

画图是一种解决问题的策略，不仅可以运用在抽象概念的理解上，而且可以运用在抽象算法的直观理解上。“算法抽象、算理直观”是计算法则教学的根本原则。在计算教学中，借助图形，能让学生更为清晰地理解算法。如果学生在数学学习中只是机械地识记算法、套用算法，那么，这种算法对学生而言就是无意义的。而如果学生借助图形直观地理解了算理，建构了算法，那么算理与算法就能相得益彰。

三、借助画图，让复杂的问题本质直觀

对于数学问题解决来说，画图是一种重要的策略。图形，不仅能表征复杂的问题，而且能帮助学生进行问题分析，厘清数量之间的关系。借助图形，能唤醒学生已有的知识经验，搭建数学已有和未知之间的桥梁。在画图的过程中，学生能主动地摘录条件、问题，从而意向性地厘清数量关系。当学生经由外显的画图策略，将问题内化于心时，一种解决问题的意向、意识、经验、策略也就能相应地生成。

比如教学“正比例和反比例”（北师大六年级下册）的应用题，通常情况下数量关系比较复杂，有的甚至比较隐晦。为此，教师可以引导学生借助画图，将复杂的数量关系直观化、感性化。如“甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，到达对方出发地后，立即返回。在离A地60米处第二次相遇，甲、乙两人的速度比是2∶3，A、B两地的距离是多少米？”在画图的过程中，学生要考虑谁的速度快一些，谁的速度慢一些，因此相遇点应该位于中心点的哪边，只有把握了这一点，学生才能画出符合题目原意的图。通过图形，学生能直观地看到，甲、乙两人所行路程不一样，所行速度不一样，而所行驶的时间是一定的。基于此，学生借助图形进行直观分析：到第一次相遇时为止，两个人的路程和正好是一个全程;而到了第二次相遇时为止，两个人的路程和是三个全程。其中，甲所行的路程为2份，乙所行驶的路程为3份，三个全程一共是5份。因此，一个全程就是份。从而，学生借助图形，就是找寻到60米所对应的份数或者说所对应的分率，从而能有效地解决问题。在画图的过程中，学生能感受、体验到图形的意义和价值。画图，能为数学教学增添光彩。

形无数则盲，数无形则空。在数学问题解决过程中，当学生缺乏思路时，就可以借助图形来助推学生的数学思考。通过图形，学生能将百思不得其解的问题，直观地进行分析，从而能促进学生的数学顿悟。作为教师，要引导学生边画图、边思考，边思考、边画图，从而让图形真正成为学生理解题意和分析数量关系的辅助手段。

“画图策略”是小学数学众多解决问题策略中的一种最为重要的策略，也是一种基本策略。在数学教学中，教师应当引导学生搭建数与形、形与形之间的桥梁，将复杂转化为简单，将陌生转化成熟悉。借助画图，能让抽象的数学问题变得直观、繁杂的数学问题变得简易。通过画图，积淀学生的数学活动经验，提升学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养。