基于Matlab软件求解多元函数积分

摘要：针对高等数学的一个重大难点——求解多元函数积分，充分利用Matlab在图形绘制、符号积分计算方面的强大功能，通过5个案例具体探讨了其在重积分、曲线积分和曲面积分计算中的技术应用，展现了Matlab软件辅助数学学习的特色优势。

关键词：Matlab;多元函数;重积分;曲线积分;曲面积分

中图分类号：TP319

文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2020）04-0237-03

收稿日期：2019-10-23

作者简介：谈文越（2000—），男，本科在读，研究方向为计算机科学与技术。

Solving Multivariate Function Integral Based on Matlab Software

TAN Wen-yue

（School of Educational Experiment，Northwestern Polytechnical University，Xi' an 710129，China）

Abstract：Solving multivariate function integral is an important difficulty in higher mathematics.Fully utilizing the powerful function of Matlab in drawing graphics and computing symbolic integral，the paper concretely discusses its technology application in multiple integral，curvilinear integral and surface integral by five cases.It shows the characteristics and advantages of Matlab software in assisting mathematics learning.

Key words：Matlab;multivariate function;multiple integral;curvilinear integral;surface integral

當积分范围从一维数值区间过渡到二维或多维空间几何形体的某闭区域时，一元函数的定积分则转化为多元函数积分。由于几何体的多样化，多元函数积分可具体区分为重积.分、线积分和面积分，其中，重积分重点研究二重积分和三重积分，线积分和面积分又分别包括第一型曲线积分、第二型曲线;积分和第一型曲面积分、第二型曲面积分，也对应地称为对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分，以及对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分"，积分类型繁多、极其容易混淆，而且运算复杂，计算量大，是本科生初学高等数学时的一个特大难点。

作为和Mathematica、Maple并行的三大数学软件之一，Mat-lab具备超强的图形处理功能，尤其是建立在底层绘图操作基础上的高层绘图操作，无须考虑绘图细节，只要设定基本参数即可绘制出相应的空间图形，是多元函数积分区域可视化的得力工具[2]。同时，Matlab软件还拥有高效的符号计算和数值计算功能，可便捷求出各类积分的解析解、近似数值解，特别有利于实现繁杂数学运算的程序化操作。因此，已有相当数量的文献探究了Matlab软件在二次曲面等高等数学学习中的应用价值[3-5]，更有学者特别挖掘了Matlab在曲线积分、曲面积分等多元函数积分教学中的辅助功效[6-8]。笔者立足于自身的计算机专业优势，基于学生的学习视角，致力于剖析利用Matlab求解多元函数各种积分的思路和技术。

1 利用Matlab求解重积分

例1 计算二重积分

分析与运行：根据积分区域和被积函数的特征，此题适宜于使用极坐标求解，且积分区域σ的极坐标方程为p2=16cos2φ。首先绘制积分区域的图形，编写程序代码如下：

在Matlab系统中运行上述程序，可得积分区域图形如图1所示，即数学上著名的双纽线，直观观察双纽线的对称性、变量范围等特征，易知

利用Matlab的符号积分功能，编写程序代码：

例2 计算三重积分

分析：绘制积分区域的图形，如图2所示，具体程序代码为：

解法一 在球面坐标系下：

具体程序代码为：

解法二 在柱面坐标系下：

具体程序代码为：

解法三 在直角坐标系下，用平行于xoy的平面横截积分区域（V），所得圆域（σ，）为：

具体程序代码为：

评析与思考：该三重积分的积分区域由两个球体相交形成，故球面坐标、柱面坐标是较为实用、易于选取的计算方法，利用Matlab精确绘制出空间闭区域，不仅有助于清晰认识其边界曲面方程，而且可具体确定不同坐标系下各参数的取值范围。需要强调的是，当对该积分选择由于转换复杂、计算量大.而在实际运算中通常会避开的直角坐标时，Matlab系统仍然可以简洁、高效、快速地给出积分结果，其强大的积分运算功能由此可见一斑[9]。当然，对本题而言，在直角坐标系下，也可以借助“先重后单”的方法，直接使用圆域的面积公式求积分。

2 利用Matlab求解曲线积分

例3 计算线积分

分析：绘制积分曲线的图形，如图3所示，具体程序代码为：

结合球面和柱面的方程特征，可设曲线C的参数方程为：

3 利用Matlab求解曲面积分

例4 计算第一型曲面积分

分析：绘制积分曲面的图形，如图4所示，具体程序代码为：

显然，积分曲面（S）由两部分组成：

（S1）：平面z=1上的圆x2+y2≤1;

编写Matlab程序：

例5 计算第二型曲面积分

其中，2是圆柱面x2 +y2=4被平面x +z=2和z=0所截部分的外侧。

分析：绘制积分曲面的图形，如图5所示，具体程序代码为：

4 结束语

多元函数积分需要扎实的空间想象能力等解析几何知识作为基础，并且通常运算量特别大，Matlab所拥有的友好界面环境，可清晰认识积分区域及其边界变化态势，达成了数形结合的直观效果，高效地实现了数学实验与计算机技术的有机融合。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（下）（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]聂影.MATLAB软件应用研究[J].软件导刊，2014，13（07）：102-104.

[3]赵志芳，马艳园.Matlab在二次曲面教学中的应用[J].数学学习与研究，2013（03）：101-102.

[4]唐春明，王中兴.Matlab软件在高等数学教学中的应用[J].高等数学研究，2016，19（01）：120-123.

[5]高莹莹.高职院校MATLAB软件在高等数学教学中的应用[J].电脑知识与技术，2017，13（15）：124-125.

[6]陈佩树，赵开斌，林天水.MATLAB在计算曲线积分和曲面积分中的应用[J].滁州学院学报，2017，19（2）：92-95.

[7]黄仔慧，陈甜甜，许雅期.结合Matlab探讨对坐标的曲面积分计算方法[J].数学学习与研究，2019（6）;：5+7.

[8]林鑫，高发玲.基于Matlab的两类曲面积分计算[J].唐山师范学院学报，2016，38（2）：24-26.

[9]杨真真.Matlab在多元函数积分计算中的应用研究[J].软件导刊，2017，16（8）：149-152.

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