高职考试排列组合应用问题常见分类及解题技巧

石斌

【摘要】排列组合问题是高职数学的重要内容，也是难点之一，是进一步学习概率、统计的基础，高职考试历来是重点考查内容.由于解题方法独特，思维抽象灵活，计算结果数值大、不易验证，学生面对这类问题往往缺乏自信.如果能在解答中，分清不同类别，从而寻求一定的策略与方法技巧，将考试中常见问题归纳、类比为学生能熟悉并掌握的常见类型上，使问题迎刃而解.正确分类，是解决问题的有效途径.本文主要对常见带有限制条件的题目类型加以分析，有效提高学生解题能力.

【关键词】高职考试，排列组合，分类，解题技巧

排列组合问题是高职数学的重要内容，也是难点之一，是进一步学习概率、统计的基础，是高职考试历来重点考查内容.由于解题方法独特，思维抽象灵活，计算结果数值大、不易验证，学生面对这类问题时往往缺乏自信.如果能在解答中分清不同类别，从而寻求一定的策略与方法技巧，将考试中常见问题归纳、类比为学生能熟悉并掌握的常见类型上，使问题迎刃而解.正确分类，是解决问题的有效途径.

高职考试出现的题目常有相邻不相邻问题、球与盒问题、数字问题、互不相关问题、特殊元素特殊位置问题、分配问题、枚举问题、间接法问题、至多至少问题等，本文主要对常见带有限制条件的题目类型加以分析.

一、特殊元素、特殊位置分析法

方法：特殊则优先.将有特殊要求的元素或位置优先考虑，然后再考虑其他元素或位置.题目中有多个约束条件时，往往要考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.

例1 （2000年高职考题）5个人排成一列，甲必须站在排头或排尾，乙不能站在排头或排尾，有多少种不同排法？

本题中甲、乙都是特殊元素，要优先考虑.先考虑甲，只能排在首或尾两个位置之一，为A12，再考虑乙，能排在除去甲的其他三个位置，为A13，最后考虑其他三个元素，都没有限制了，就是A33.因此，本题结果是A12A13A33=36（种）.

例2 （2007年高职考题）由数1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中小于4 000的奇数有多少个？

本题中个位和千位是特殊位置，要优先考慮.是否是奇数由个位数字确定，只能从1，3中选择一个，是A12，然后看千位不能是4，个位又已选走了一个数，因此，千位只能从余下的两个数中选一个，是A12，最后再看百位和十位，都没有限制了，可以一起考虑，从剩余的两个数中（个位用去一个，千位用去一个）选两个就行，是A22.因此，本题结果是A12A12A22=8（种）.

二、相邻问题

方法：捆绑法，先捆后松.即要求相邻的几个元素捆成一个整体，与其他元素做全排列，然后再将这几个要求相邻的元素松开，相邻元素自身再做全排列.

例3 （2008年高职考题）6名学生排成一排，甲、乙必须相邻，有多少种不同排法？

先捆甲、乙为一体，和其余4人做5个人的全排列，为A55，再将甲、乙松开，甲、乙自身再排顺序（仍能保证甲、乙相邻），为A22.结果为A55A22=240（种）.

例4 7本不同的图书排成一排放在书架上，要求甲、乙两本书之间恰好间隔2本书，最多有多少种排法？

本题结合了特殊位置分析和相邻问题.首先，甲、乙之间是特殊位置，要优先考虑，从其余5本书中选出2本放入甲、乙之间，为A25，然后使用捆绑法，将这4本书看成一体，同其他3本书排列，为A44，最后将甲乙松绑，为A22.因此，本题结果是A25A44A22=960（种）.

三、不相邻问题

方法：

插空法：将没有限制条件的元素先行排列，做桩子，再找出有几个符合要求的空当，插入要求不相邻的元素即可.

间接法：用总量减去相邻的个数.

例5 要排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目表，如果合唱节目不排头，并且任何两个合唱节目不相邻，有多少种不同排法？

5个独唱节目没有特殊要求，可以先排好做桩子，为A55，形成6个空当√1√1√1√1√1√，又因为合唱节目不能排头，所以3个独唱节目只能在另外5个空当中进行插空排列1√1√1√1√1√，为A35.因此，本题结果是A55A35=7 200（种）.

例6 马路上有1，…，10号路灯，为节约用电，可以关掉其中3盏，保证安全，不能关相邻的两盏，两端路灯也不能关，有多少种不同关灯方法？

有7盏不关的灯∟∟∟∟∟∟∟直接做固定桩（因为路灯固定不能移动，所以不需也不能移动），又因为两端路灯不能关，所以只有中间的6个空∟√∟√∟√∟√∟√∟√∟，从这6个空中可以任选3个关灯（插空），一定满足题目条件，因此，本题结果是C36=20（种）.

四、相邻不相邻综合

方法：相邻捆绑、不相邻插空综合使用.

例7 书架上原来排放着6本不同的书，现在要再插入另2本不同的书（插入的书可以放在最前也可以放在最后），求不同插法的总数？

解法1：（按相邻与不相邻分类）

（1）插入的两本书不相邻，由于原来6本书已放好，直接出现7个空当√∟√∟√∟√∟√∟√∟√，将2本书插入即可，是A27，

（2）还可以插入相邻的2本书，则先捆，是A17，后松，是A22.

根据分类原理，本题结果是A27+A17A22=56（种）.

解法2：（按分步插空）

先插入1本，是A17，此时已放好了7本书，再插入1本，是A18，分两步完成，应用分步原理，得到A17A18=56（种）.

例8 商品A，B，C，D，E在货架排一列，A，B要排在一起，C，D不能排在一起，共有多少种不同排法？

先考虑A，B，由于A，B要排在一起，用相邻捆绑法，先将A，B捆上，与E做排列，为A22，此时AB与E共有3个空当，√AB√E√，将要求不相邻的C，D插入空当，即A23，最后再将AB松开，为A22.因此，本题结果是A22A23A22=24（种）.

五、至多至少问题

方法：题目中通常带有“至多”“至少”“恰好”这些文字，用组合数、分类原理完成，也常使用间接法.是近几年必考题目.

例9 （2002年高职考题）一小组中有男生2人，女生3人，从小组中选出三人参加劳动，要求这3人中至少有1人是男生，一共有多少种不同的选法？

方法1：条件要求选出的3人中至少有1人是男生，包括两类情况：

（1）1男2女，为C12C23，（2）2男1女，为C22C13.所以本题结果是C12C23+C22C13=9（种）.

方法2：也可用间接法，不受限制时总数是C35，去掉不符合条件的，即都选女生而没有男生的C33，所以本题结果是C35-C33=9（种）.

例10 （2010年高职考题）一名学生要从10门不同的课程中至少选取8门课程学习，一共有多少种不同的选法？

至少选取8门，包括3类情况：

（1）选8门，为C810，（2）选9门，为C910，（3）选10门，为C1010.运用分类原理，本题结果是C810+C910+C1010=56（种）.

本文归纳了高职考试中常见的带有限制条件的几种问题的解题分类与技巧，排列组合问题题目灵活、解法多样，在解题中需要不断积累、分析归类，才能掌握更多更好的解题技巧，这条探索的路是永无止境的.

【参考文献】

[1]高等职业院校升学指导编写组.高等职业院校招生考试指导·数学[M].北京：首都师范大学出版社，2005：150-155.