基于FIR与相位补偿IIR滤波器的雷达回波信号处理

王光宇

摘   要：FIR與IIR频率选择滤波器的设计，被广泛应用于数字信号处理领域之中。文章以雷达回波信号的数字处理为例，首先分别设计FIR，IIR滤波器完成了对信号特定频率分量的滤除。进而，针对IIR滤波器的非线性相位，基于最优化设计全通系统实现了相位补偿，并对FIR，IIR滤波器进行了综合比较。

关键词：无限冲激响应数字滤波器;有限冲激响应数字滤波器;全通系统;相位补偿

根据冲激响应的长度是否有限，可以将数字滤波器划分为无限冲激响应（Infinite Impulse Response，IIR）滤波器和有限冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器。根据实际要求，合理选择滤波器的类别，在实现预期效果的同时尽可能降低成本，具有重要现实意义。

1    雷达回波信号的模拟

假设雷达回波信号包含载频50 MHz，带宽10 MHz，时宽10 μs的线性调频脉冲信号和20 MHz，80 MHz的正弦波，即：

2    数字滤波器设计的基本理论

根据广义线性相位系统的充分条件[1]知，h[n]为有限长偶对称序列，因此FIR数字滤波器具有线性相位、恒定群延迟，不会造成信号的相位失真。

对于频率选择性IIR数字滤波器的设计，通常是根据经典模拟滤波器原型，采用双线性变换法[2]实现，且模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射关系为：

3.2  求解最优全通补偿系统的算法描述

在式（6）所示规划问题时，设计不同阶数的全通系统（即在一定范围内遍历N的取值），并在每一固定阶数下求解关于损失函数最小的无约束最优化问题，然后权衡系统阶数、极点分布情况对初代最优解进行筛选，得到最优补偿系统设计。具体步骤如下。

Algorithm 1：最优相位补偿系统设计算法。

Step 1：初始化系统阶数N。

Step 2：在当前N下，初始化系统函数（对应于式（4））的各阶系数{ak|k=1，2，…，N}。

Step 3：计算由当前N、{ak|k=1，2，…， N}决定的补偿系统损失函数FCost，若优化算法收敛，输出系统阶数N、各阶系数{ak|k=1，2，…，N}、损失函数FCost及相关量化指标;否则，基于算法搜索原则，更新各阶系数。

Step 4：重复Step 3，直至算法收敛，记录相关参数与结果。

Step 5：更新网络阶数N，重复Step 2～Step 4，得到多组阶数N下的损失函数FCost及各阶系数{ak|k=1，2，…，N}。

Step 6：结合量化指标及对相位曲线拟合度的直观判断，得到最优阶数N与最优系统各阶系数{ak|k=1，2，…，N}，完成最优相位补偿系统设计。

在实际有限精度计算中，需要对系统频率响应进行抽样分析，本次实验中选取抽样点数η=256。

4    设计结果与分析

4.1  滤波器效果的评价指标

考虑以均方误差MSE、平均绝对误差MAE作为量化指标，衡量处理后信号时域波形与线性调频脉冲时域波形的吻合程度，定义如下：

4.2  相位补偿效果的评价指标

为量化评估全通系统相频响应与理想补偿相位的逼近程度，引入归一化均方根误差LNRMS、最大绝对误差eθmax两项指标，定义如下：

4.3  设计结果与分析

表1为Butterworth IIR、Kaiser FIR滤波器的设计结果，图2绘制了雷达信号经两种滤波器滤波后的幅度谱。可见，在相同技术指标下，Butterworth IIR，Kaiser FIR均完成了对原信号中正弦波成分的滤除;由MSE，MAE知，滤波后信号波形与线性调频脉冲信号逼近良好。由于IIR滤波器采用递归结构实现，如不考虑相位的失真效应，在相同技术指标下，设计Butterworth IIR滤波器仅需要8阶，而设计Kaiser FIR滤波器需要30阶[3]。

表2列出了Butterworth IIR滤波器的最优相位补偿参数，对于8阶Butterworth IIR滤波器，在不严格给定相位误差限制的前提下，按照3.2节算法得到的最优全通系统需要10阶。图3绘制了Butterworth IIR滤波器相位补偿前后的相频响应与群延迟，通过级联全通系统相位补偿后，滤波器相位线性程度显著提高，群延迟的变化幅度减小。通过级联全通系统加以相位补偿，可以明显改善信号的相位失真问题，但将大大提高滤波器系统复杂程度[4]。

5    结语

对于频率选择性滤波器，IIR滤波器以较低阶数即可获得可观的频选特性，系统结构复杂度低、经济高效。但若要避免信号相位的失真，必须级联全通系统加以相位补偿，使整个系统的阶数、复杂性、计算工作量大大提高。FIR滤波器本身具有线性相位，但要获得较高频选特性，需采用较高阶数进行设计，从而增加结构复杂度与信号延迟。因此，IIR和FIR滤波器各有所长，在实际中应统筹考虑各方面因素进行选择。

[参考文献]

[1]PROAKIS J，MANOLAKIS D.Digital signal processing[M].Third edition.London：Pearson Education，2005.

[2]DENG T.Simplified linear-programming method for designing all-pass phase-compensation network[C].Ho Chi Minh City：International Conference on Control，2012.

[3]赵淑清.随机信号分析[M].3版.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1996.

[4]DENG T.Minimax design of low-complexity allpass variable fractional-delay digital fifilters[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I，2010（8）：2075-2086.