考虑服务等待成本的双寡头竞争定价决策研究

孔瑞晓 罗 利 张雨萌 杨建超

(1.四川大学商学院; 2. 四川大学华西公共卫生学院/四川大学华西第四医院)

1 研究背景

在服务行业，顾客需求量随时间(如季节、节假日等)的变化而变化，具有较大的不确定性，这种不确定性使得排队现象在生活中较为普遍[1]。考虑到消费者对价格的敏感性，一般而言，产品价格越高，排队人数越少，产品价格越低，排队人数越多，因此，服务提供商可通过价格变化来调节顾客需求。而在服务产能有限的情况下，短时间内大量消费者的到达会导致长时间的等待和服务延迟，这无疑会引起消费者的不满[2]。为此，消费者可能不会选择该服务提供商或未服务就离开，这会进一步影响服务提供商的市场份额、竞争能力和盈利能力。由此可见，等待对消费者的服务体验具有显著的负面影响。虽然消费者通常需要容忍排队，但很少有人喜欢排队，且许多人会抱怨漫长的等待时间[3]。为缩短等待时间，提升消费者服务体验和满意度，服务提供商需要采取一定的措施进行改善。研究表明，等待管理策略能对消费者满意度产生积极的影响[4]。在实践中，很多服务企业采取了不同的策略来更好地满足顾客的需求，如播放电视[4]，为等待时间较长的顾客提供果汁、优惠券或打折优惠等[5]，提供产品相关的附加服务等[6]；以服务著称的火锅连锁店海底捞，在等待区为消费者提供免费的零食、美甲和擦鞋等服务。而这些服务策略会为服务企业带来一定的成本，如在餐饮服务行业，维护顾客等候区的管理成本一般占餐馆收益的2%～3%[7]。本研究将该成本称为服务等待成本，可表示由于消费者等待而产生的惩罚成本或收益损失。为更好地理解排队等待和服务延迟产生的影响，本研究考虑存在服务等待成本的情况下，对服务企业的竞争定价决策和收益进行分析。

诸多学者对服务竞争定价问题进行了广泛的研究，本研究采用排队论的方法，主要涉及了排队系统中的定价决策和服务等待两个方面。在定价决策方面，NAOR[8]最早对排队论和定价之间的交互进行了研究，分析一个垄断的M/M/1排队系统中的最优定价。HASSIN等[9，10]基于NAOR[8]的研究进行了扩展。在双寡头排队系统中，CHEN等[11]考虑了在产能约束下两个按订单生产企业的竞争定价问题。GUO等[12]采用Stackelberg博弈，针对具有同质型消费者的两个服务提供商的价格竞争问题进行研究。考虑到消费者的等待体验，ALLON等[13]探讨了顾客等待时间对企业市场份额和定价决策的影响。LI等[14]考虑到消费者可以在队列之间进行实时切换的情况，研究服务价格竞争问题。刘健等[15]基于顾客不公平规避心理，探究服务企业服务机制和定价策略。李武强等[16]从顾客密集型公共服务的视角出发，以社会福利最大化为目标，采用M/M/1 排队系统，对存在同质和异质性两类顾客情境下的服务策略进行分析。另外，李武强等[17]还针对服务提供商在面对具有等待成本差异的顾客时，如何制定顾客密集型服务的服务速率和价格决策进行研究。但这些研究均将服务费用和延迟成本的总和作为消费者应该支付的总价格。考虑到顾客等待的负面影响，服务提供商需要采取一定的措施，并承担相应的服务等待成本。基于此，MENDELSON[18]考虑服务提供商承担延迟成本下的最优定价决策。LEE等[19]基于MENDELSON[18]的模型构建了一个G/G/1排队模型，在收益最大化的情况下分析最优定价和产能决策。SEREL等[2]在考虑平均等待时间和拥挤水平的约束下，研究服务企业的最优定价和产能决策。MAOUI等[20]针对具有有限和无限等候区的服务设施最优定价决策进行分析。但他们多是在垄断环境下进行探讨，本研究在竞争的情况下考虑服务等待成本对服务提供商决策行为的影响。

服务等待管理也受到了学者的广泛关注，它是影响消费者满意度和服务提供商运营绩效的重要因素。 RAMSEOOK-MUNHURRUN等[3]探讨了在等待的情境下影响顾客满意和不满意的关键因素。一些研究提出了具体的措施来提升顾客体验，KIM[21]提出一个多阶段服务系统的等待管理策略，证明了等待管理策略对客户满意度及其未来行为意图有积极影响。周文慧等[5]针对提供额外服务以提高顾客满意度的排队管理策略进行探讨。LIANG[22]提出通过改善等待环境的排队管理策略可以减少顾客感知到的等待时间。WANG等[23]考虑到消费者缺乏耐心的行为，对服务提供商尝试提升服务速率的策略进行分析。DJELASSI等[24]和AHN等[25]探讨了自助服务技术对消费者的等待时间感知和满意度的影响。陈中武等[26]针对通过自助服务设施的选址和配置优化来提升服务效率的问题进行了研究。GARAUS等[27]通过实证研究发现，在零售服务的结账台区域设置电子显示屏能够分散顾客对等待时间的注意力，对提高顾客满意度具有积极的作用。但这些研究主要聚焦于影响消费者等待时间的因素及如何提高消费者体验和系统效率等方面，较少考虑等待、排队论和定价决策之间的交互分析。鉴于此，本研究考虑服务等待成本，基于排队论构建一个双寡头竞争模型，分析最优的服务定价决策问题。

2 问题描述与模型假设

假设服务市场上存在两个提供同类型服务的企业1和企业2，且它们均是一个M/M/1排队系统。为实现收益最大化，企业i(i=1, 2)考虑到潜在的消费者需求和另一个企业可能的定价决策，在给定服务速率为μi的情况下，制定价格pi。消费者根据价格pi选择加入其中一个企业的排队系统。假设两个企业的消费者到达过程均服从泊松分布，用λi表示企业i的顾客平均到达率，且0≤λi<μi(企业i的顾客平均到达率也表示企业i所提供的服务产品的顾客平均到达率，为便于描述，此处采用企业i的顾客平均到达率来表示，以下类似)。基于已有的研究[2, 19]，构建竞争情况下顾客到达率和价格之间的线性关系如下：

λ1=a1-b11p1+b12p2，

(1)

λ2=a2+b21p1-b22p2，

(2)

式中，a1=θa,a2=(1-θ)a，a为市场总需求，θ为顾客对企业1的忠诚度，1-θ为顾客对企业2的忠诚度，0≤θ≤1；b11和b22分别表示两个企业的自身价格弹性系数，b12和b21分别表示两个企业的交叉价格弹性系数，且b11>b12，b22>b21，表明自身价格弹性的影响大于交叉价格弹性的影响。

为便于分析，假设消费者进入排队系统时就支付价格，直到服务完成之后才离开。对于企业i来说，当一个顾客在系统中时，则需要消耗单位服务等待成本hi为消费者提供额外的服务，该成本可理解为由于消费者等待而产生的惩罚成本或收益损失。用Li表示企业i的排队系统中顾客总人数，根据Little公式，可得总的服务等待成本为hiLi=hiλi/(μi-λi)。由此可得两个企业的收益为πi(p1,p2)=piλi-hiLi，将式(1)和式(2)的需求代入收益，则两个企业的收益函数分别表示如下：

π1(p1,p2)=p1(a1-b11p1+b12p2)-

(3)

π2(p1,p2)=p2(a2+b21p1-b22p2)-

(4)

3 竞争决策分析

根据企业的收益最大化问题，下面主要针对两个企业竞争情况下的最优定价决策和结构性质进行分析。基于收益函数式(3)和式(4)，可得如下定理：

定理1①收益函数π1和π2是关于价格(p1,p2)的严格凹函数；②收益函数π1和π2是关于价格(p1,p2)的超模函数。

证明根据式(3)和式(4)，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

定理1①表明了最优均衡价格的存在性，定理1②表示两个企业的定价策略具有一定的互补性。具体而言，如果企业1(企业2)提高价格p1(p2)，则一些消费者可能会转移到企业2(企业1)，从而使得企业2(企业1)服务队列的人数增加，相应地，其服务等待成本可能会增加，为了控制服务等待成本，企业2(企业1)也会选择提升价格p2(p1)。

根据收益函数式(3)和式(4)可知，由于模型较为复杂，无法得到最优价格的解析解，为了更直观地分析两个企业的定价竞争过程，清晰地反映两个企业如何通过博弈实现最优均衡价格决策，下面通过构建3条阈值曲线进行探讨。阈值曲线表示一个企业在以收益最大化为目标的情况下，根据另一个企业的定价决策，做出其自身定价决策的响应行为。3条阈值分别为

(9)

(10)

(11)

证明根据式(5)～式(8)，可知∂π1(p1,p2)/∂p1关于p1递减，关于p2递增，∂π2(p1,p2)/∂p2关于p1递增，关于p2递减，则两个企业的边际收益之差∂π1(p1,p2)/∂p1-∂π2(p1,p2)/∂p2关于p1递减，关于p2递增。

图1 最优定价策略的交互分析

定理1和定理2对最优定价决策的存在性和两个企业间的竞争交互过程进行了分析。接下来探讨服务等待成本对两个企业价格决策的影响进行分析。

定理3①∂p1/∂b12>0,∂p2/∂b12>0；②∂p1/∂b21>0,∂p2/∂b21>0。

证明令F1=∂π1(p1,p2)/∂p1，F2=∂π2(p1,p2)/∂p2。根据隐函数可得

(12)

式中，∂F1/∂b12=∂2π1(p1,p2)/∂p1∂b12=p2+2p2b11h1μ1[μ1-(a1-b11p1+b12p2)]-3>0, ∂F2/∂b21=∂2π2(p1,p2)/∂p2∂b21=p1+2p1b22h2μ2[μ2-(a2+b21p1-b22p2)]-3>0,∂F1/∂b21=∂F2/∂b12=0。

由定理1的证明可知,H=(∂F1/∂p1)·(∂F2/∂p2)-(∂F1/∂p2)(∂F2/∂p1)>0, 此时可得∂p1/∂b12>0,∂p1/∂b21>0,∂p2/∂b12>0,∂p2/∂b21>0。定理3得证。

定理3表明，两个企业的价格均随着交叉价格弹性系数的增加而增加。定理3①表示两个企业的价格均随着b12的增加而增加。当b12增加时，因企业2的价格上涨而转移到企业1的消费者数量会增加，使得企业1的需求量增加。但是，需求过多可能会造成拥挤，且会产生较高的服务等待成本。为了控制拥挤水平和服务等待成本，企业1选择提高价格，而这又会反过来驱使价格敏感的消费者转移到企业2。同样，企业2也会通过提高价格来避免过度拥挤和较高的服务等待成本。定理3②指出两个企业的价格均随着b21的增加而增加，它遵循与定理3①类似的逻辑，此处不再赘述。

定理4①∂p1/∂h1>0,∂p2/∂h1>0;②∂p1/∂h2>0,∂p2/∂h2>0。

证明根据隐函数可得

(13)

式中，∂F1/∂h1=∂2π1(p1,p2)/∂p1∂h1=b11μ1·[μ1-(a1-b11p1+b12p2)]-2>0,∂F2/∂h2=∂2π2(p1,p2)/∂p2∂h2=b22μ2[μ2-(a2+b21p1-b22p2)]-2>0，∂F1/∂h2=∂F2/∂h1=0。由于H=(∂F1/∂p1)(∂F2/∂p2)-(∂F1/∂p2)(∂F2/∂p1)>0, 因此可得∂p1/∂h1>0,∂p1/∂h2>0,∂p2/∂h1>0,∂p2/∂h2>0。定理4得证。

定理4表明，两个企业的价格均随着服务等待成本的增加而增加。根据定理4①可知，随着h1的增加，企业1为了控制服务等待成本会选择提高价格，以获得收益最大化。而这会导致价格敏感的消费者转移到企业2，使得企业2的排队系统中人数增加。同样，为避免服务延迟产生较高的成本，企业2也决定提高价格以控制队列长度。定理4②指出两个企业的价格均随着h2的增加而增加，它遵循与定理4①类似的逻辑，此处不再赘述。

针对顾客忠诚度和自身价格弹性系数，基于模型分析无法直接判断它们与两个企业价格决策的影响关系；且相关参数对收益的影响也无法基于模型分析直接判断。故下面通过数值算例进行分析。

4 数值分析

接下来主要采用数值算例分析顾客忠诚度、价格弹性系数和服务等待成本对两个企业的价格和收益的影响。将参数的值设置为：a=200，b11=15，b12=2，b21=1，b22=12，h1=5，h2=5，μ1=105，μ2=106。参数的取值均满足模型分析的条件。

4.1 顾客忠诚度的影响

顾客忠诚度θ对两个企业价格和收益的影响见图2。由图2可知，企业1的价格和收益随着θ的增加而增加，相反，企业2的价格和收益随着θ的增加而减小。当一个企业的顾客忠诚度增加时，其顾客需求增加，则排队系统中的人数增加，相应地，服务等待成本也会增加。为控制服务等待成本过高，该企业会提高价格水平。较高的顾客忠诚度加上较高的价格，使得该企业能够获得较高的收益。由此可知，顾客忠诚度对企业具有较大的影响，企业在运营过程中应该尽可能提高顾客忠诚度，以获得更大的市场份额和更高的收益。

图2 θ对价格和收益的影响

4.2 价格弹性系数的影响

当θ的取值为0.6时，价格弹性系数对两个企业价格和收益的影响分别见图3～图6。另外，当θ取其他值时，也可以得到类似的结果，故此处省略这些结果的展示。

由图3可见，两个企业的价格和收益均随企业1的自身价格弹性系数b11的增加而减小。当b11增加时，消费者对p1的敏感性会相应地增加，为了吸引和留住更多的消费者，企业1选择降低价格。与此同时，企业2也选择降低价格与企业1竞争有限的市场份额，因此，企业2的价格也会随b11的增加而减小。虽然价格减小有利于吸引更多的消费者，但同时也会产生较高的服务等待成本，而这造成了收益的下降(见图3(b))。另外，由于b11是企业1的自身价格弹性系数，故对企业1的影响更显著，即企业1的价格和收益下降幅度均大于企业2。

图3 b11对价格和收益的影响

图4 b12对价格和收益的影响

由图4可见企业1的交叉价格弹性系数b12对两个企业价格和收益的影响，与图3相反，两个企业的价格和收益均随着b12的增加而增加。图4(a)中显示的价格增加的变化趋势验证了定理3①的结论。价格上升能够较好地控制队列长度，减少服务等待成本的支出，进而带来收益的增加(见图4(b))。类似地，由于b12是企业1的交叉价格弹性系数，因此，b12对企业1的影响更显著，即企业1的价格和收益增加幅度均大于企业2。

图5 b21对价格和收益的影响

图6 b22对价格和收益的影响

由图5和图6分别可见企业2的价格弹性系数对两个企业价格和收益的影响，两个企业的价格和收益均随着b21的增加而增加，随着b22的增加而减小，且企业2的价格和收益变化幅度均大于企业1，其原因与图3和图4类似，此处不再赘述。

由图3～图6可知，两个企业的价格和收益均随着它们自身价格弹性系数的增加而减小，随着交叉价格弹性系数的增加而增加，且企业1(企业2)的价格弹性系数b11、b12(b21、b22)对其自身的价格和收益影响更大。由此，当一个企业的自身价格弹性系数增加时，则适宜降低价格，以吸引更多的消费者，获得更多的收益；而当其交叉价格弹性系数增加时，则适宜提高价格，以实现收益最大化。

4.3 服务等待成本的影响

图7 h1对价格和收益的影响

这一部分同样令θ的取值为0.6，分析服务等待成本对两个企业价格和收益的影响。企业1的服务等待成本h1对两个企业价格和收益的影响见图7。由图7(a)可知，两个企业的价格均随着h1的增加而增加，这验证了定理4①的结论。另外，由图7(a)还可见，h1对企业1的价格的影响更显著，即企业1的价格增加幅度大于企业2，并且对企业2价格的影响相对较为微弱。企业1的价格显著增加会使部分消费者转移到企业2，加之成本h1的增加，这导致了企业1收益的下降，而企业2相对稳定的价格加上需求的增加为其带来了收益的上升(见图7(b))。此外，当h1=0时，企业1无需支付服务等待成本，此时其价格相比考虑服务等待成本时更低，收益相比考虑服务等待成本时更高；对企业2而言，其价格和收益在h1=0时均比考虑服务等待成本时更低。类似地，随着h1的增加，企业1的收益变化幅度大于企业2。

企业2的服务等待成本h2对两个企业价格和收益的影响见图8。由图8(a)可见，两个企业的价格均随着h2的增加而增加，这验证了定理4②的结论；由图8(b)可见，企业1的收益随着h2的增加而增加，企业2的收益随着h2的增加而减小，其原因与图7类似，此处不再赘述。同理，当h2=0时，企业2无需支付服务等待成本，此时其价格相比考虑服务等待成本时更低，收益相比考虑服务等待成本时更高；对企业1而言，其价格和收益在h2=0时均比考虑服务等待成本时更低。另外，企业2的价格和收益的变化幅度均大于企业1。

由图7和图8可知，两个企业的价格均与它们的服务等待成本呈正相关，而一个企业服务等待成本的增加会降低其自身收益，但会使另一个企业的收益增加。由此，一个企业应设定合理的价格，以有效地控制服务等待成本，从而获得更多的收益。

图8 h2对价格和收益的影响

5 结语

考虑到服务等待成本的负面影响，本研究通过构建M/M/1排队模型，对双寡头竞争定价决策问题进行分析。假设两个企业提供相同类型的服务，但具有不同的服务速率和价格，消费者根据价格选择加入其中一个企业的服务队列。通过构建顾客到达率与价格之间的线性需求函数，建立了两个企业的收益最大化问题，进而证明了最优均衡定价决策的存在性，并通过阈值曲线分析两个企业的竞争交互过程。最后，通过数值算例，分析排队系统的相关参数对企业价格和收益的影响。主要结论如下：①当一个企业的顾客忠诚度增加时，其价格和收益也会相应增加；②企业的价格和收益均与自身价格弹性系数呈反比，与交叉价格弹性系数呈正比；③企业的价格与服务等待成本呈正相关，而一个企业服务等待成本的增加会导致其自身收益的下降，但会促进另一个企业收益的增加。

未来的研究可以在以下几个方面做进一步的探讨：①本研究假设消费者一旦进入排队系统，在服务未完成之前不会离开，在后续的研究中可以考虑消费者在服务未完成之前离开的行为；②本研究考虑两个企业提供相同类型的服务，后续可探讨不同的企业提供不同类型服务的情形；③在服务行业中，不同的消费者通常有不同类型的需求，且存在着一定的优先级，因此，考虑具有不同优先级的异质型消费者需求是未来进一步研究的问题；④本研究构建的是线性需求函数，且未从消费者的角度出发考虑消费者感知的具体影响因素，未来可以进一步扩展到更一般的非线性需求函数，并基于消费者的角度，将消费者感知相关的具体因素刻画到模型中。