“当”字型问题的解题逻辑

段雄东

【摘要】“当”字型问题是初中数学常见的一类题型.由于其提问方式具有一定的特殊性，解题过程中容易出现两种逻辑错误：1.把“求证的结论”当作“已知条件”;2.把结论的必要条件当作充要条件.本文以两道题为例，通过对比错误的解法与正确的解法，分析出错的原因，并总结正确解法的表述方式.

【关键词】逻辑;分析过程;证明过程

在初中数学的学习过程中，我们经常会遇到这样的一类问题：当为何值时，可以得到给定的结论.我们姑且把这种形式的问题称为“当”字型问题.在解这类问题时，学生很容易出现以下两种不同的逻辑错误.

一、把“求证的结论”当作“已知条件”

学生在解“当”字型问题时，往往会搞不清楚题目中的已知到底是什么，要求或要证的又是什么.那么在解题过程中就会把“求证的结论”当作“已知条件”.下面我们一起来看一道例题.

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以2 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t s.当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

显然这两个问题的“求证的结论”与“已知条件”是刚好颠倒的.问题1是：已知“点B在线段PQ的垂直平分线上”，要求“t的值”;问题2是：已知“t的值（这个值是多少也是我们去找）”，要证“点B在线段PQ的垂直平分线上”.

那么上面的解法一应该是对问题1的解答.解法二才是此题的正确解法.

可能有人会想：问题2是要通过“t的值”，证明“点B在线段PQ的垂直平分线上”.但“t的值”是多少，又是未知的，那不就相当于在未知的条件下去证明给出的结论.正因为如此，这类题目的解法，先要有一个分析的过程，得出“t的值”，然后在“t值”条件下再有一个证明过程，证明“点B在线段PQ的垂直平分线上”.

其实解法一与解法二的表述唯一的不同就在“∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BQ=BP”与“当BQ=BP时，点B在线段PQ的垂直平分线上”.也正是这两句的不同才体现两种解法逻辑的不同.由于“点B在线段PQ的垂直平分线上”的充要条件是由“BQ=BP”一个条件构成的，我们才可以在解法二中把分析过程和证明过程合在一起，所以解法一与解法二的差别看起来并不是很大.

如果给定结论的充要条件是由两个或多个条件构成的，就能更好地体现分析过程和证明过程不同的作用.

二、把结论的“必要条件”当作“充要条件”

下面我们再来看例2的三种解法.

例2 两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=4 cm.固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

三种解法得出的结果都是一样的，当x=4时，四边形CDBF为菱形，但是只有解法三是规范的.解法一是针对问题“当四边形CDBF为菱形时，x为何值？”，出现了把“求证的结论”当作“已知条件”的逻辑错误.解法二和解法三，虽然都没有颠倒“求证的结论”与“已知条件”，但是解法三只有分析过程，与解法三相比，少了证明过程.

因为“条件CD=CF”是“四边形CDBF为菱形”的必要不充分条件，所以由“要使四边形CDBF为菱形，则必须CD=CF”分析得到必要条件“CD=CF”，从而得出x=4.那也就是说当x=4时，只有必要条件“CD=CF”成立，在此条件下，四边形CDBF只是有可能为菱形.所以说解法二只有分析过程，分析x=4是怎么得出来的，并不能确定四边形CDBF一定为菱形.

要判定四边形CDBF为菱形，后面还必须要有证明过程.例如解法三，通过x=4这个条件，得出DB=CF，再结合DB∥CF，得到四边形CDBF为平行四边形，这样才得到“四边形CDBF为菱形”的充要条件“CD=CF，四边形CDBF为平行四边形”，那么根据菱形的概念“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，我们才可以证明四边形CDBF为菱形.

“四边形CDBF为菱形”的充要条件是由两个条件“条件①：CD=CF”和“条件②：四边形CDBF为平行四边形”构成的，解法二错把必要条件“条件①：CD=CF”当成了充要条件.虽然得出的结果都是x=4，但是作为解答题，解法二是不完整的，是不规范的.如果没有理解这里错误的原因，那么学生在以后的学习中还会犯同样的错误.

就像曹建全老师说的，“解题过程实际上是一个不断转化的过程.”在转化过程中，一般都要求进行等价转化，即不断寻求已知条件的充要条件，这样才能使所求得的解不至于扩大或缩小.

三、中考中的“当”字型问题

“当”字型问题的题目还是比较多的，也是中考中的“常客”，像例3，它是2019年广东省中考数学卷的压轴题，其中的第（3）问也是“当”字型问题.

例3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=38x2+334x-738与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE.

（1）求点A，B，D的坐标;

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形;

（3）过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△D D1A相似（不含全等）.

①求出一個满足以上条件的点P的横坐标;

②直接回答这样的点P共有几个？

分析 第（3）问虽然没有出现“当”字，但是跟“当”字型问题一样，我们可以把此问理解为“当点P的横坐标是多少时，△PAM与△DD1A相似（不含全等）”.这题的逻辑还是比较简单的.在∠DD1A=∠PMA=90°的条件下，要使得△PAM与△DD1A相似，只要补充两角对应夹边的比相等就行，又因为对应关系的不确定，所以要用分类思想.也就是说虽然△PAM与△DD1A相似的充要条件是两个条件组成的，但是有一个是已知的，所以解题过程中只要说明另一个就行，我们也就可以把分析过程和证明合二为一.如下：

四、总结

数学解题最核心的逻辑是：已知是什么、求解或求证的是什么.像这种的“当”字型问题的解题过程中经常把“求证的结论”当作“已知条件”，或者把结论的必要条件当作充要条件，究其原因主要有两个：一是已知条件中的数值也是未知的，需要我们通过分析才能得到;二是得到了已知条件中的数值，还要进行证明，得到结论的充要条件.

要做好“当”字型问题的题型，关键是要学会怎样表述解题过程，总结如下：“当”字型问题的解法概括起来分两种情况.一、若给定结论的充要条件只有一个时，则分析过程和证明过程就可以用形如“当在这个条件（直接写）时，有给定的结论”的逻辑语合二为一，然后再通过这个条件推算出我们要的值，如例1解法二;二、若给定结论的充要条件是由两个或多个条件构成时，则分析过程和证明过程就一定要分开.分析过程就用形如“要有给定的结论，则必须有条件①”的逻辑语，在这个条件下推算出我们要的数值，再在这个数值的条件下去证明条件②等剩下的其他条件也成立（证明过程），从而说明了“当在这个数值时，有给定的结论”，如例2解法三.

数学是一门具有严密逻辑系统的科学.要想学好数学必须具备三大能力，即运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力，其中逻辑思维能力是核心，因此，培养学生的逻辑思维能力就成为数学教学的重要目的之一.如果我们解题时只重视最后的答案而轻视解题过程的逻辑，就失掉了教学的本意.

【参考文献】

[1] 王岩.数学解题中的逻辑思想[J].数学学习与研究：教研版， 2012（19）：93.

[2] 曹建全.运用必要条件解题致错例析[J].中学数学月刊， 2005（5）：43-45.

[3]曹建全.数学解题中的常见逻辑失误例析[J].上海中学数学，2006（6）：27-29.