培养数学符号意识 落实数学核心素养

顾彩梅

【摘要】发展学生数学核心素养要通过学科的教学活动来实现，课堂教学是最重要的教学活动，因此，教师的教学设计显得至关重要.“用字母表示数”是培养学生符号意识的章起始课，笔者从“数学语言的符号意识”“数学工具的符号意识”和“数学方法的符号意识”三个方面展开教学设计，层层递进，以此来培养学生的符号意识，提高学生的数学素养.

【关键词】符号意识;数学核心素养;设而不求

一、背景与学情分析

已发布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》的一个重点是突出数学核心素养，发展学生核心素养，必须通过学科的教学活动来实现，教师在课堂教学中对素养的渗透显得十分重要.数感、符号意识、推理能力、模型思想、几何直观、空间想象、运算能力和数据分析观念是义务教育阶段数学核心素养的八个核心词[1].“用字母表示数”这部分内容是培养学生符号意识的章起始课，是学生从小学“算术”到中学“代数”的重要过渡，同时也是后续学习代数式、方程、应用题、函数等内容的基础，是培养学生其他素养的前提，因此，本节内容在教材中占据十分重要的地位.笔者尝试进行了基于培养学生数学语言、数学工具和数学方法三个方面的符号意识的教学设计，请读者批评指正.

二、教学设计

（一）数学语言的符号意识

1.用字母表示数的意义

问题1 一只青蛙一张嘴，二只眼睛四条腿，扑通一声跳下水;二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通两声跳下水;……根据上面的儿歌回答：

（1）如果青蛙有10只、100只、500只，那么这首儿歌怎么唱？

（2）如果有很多只青蛙，那么有多少张嘴，多少只眼睛，多少条腿？

设计意图 用“数青蛙”的游戏并借助表格的形式引出课题，目的是落实用字母表示数的意义：符号作为一种数学语言能够简明地表达各种数量关系.从具体数据入手，让学生反复体会青蛙的只数与嘴巴、眼睛及腿之间的数量关系，为下文做铺垫，体现特殊到一般的思想.再结合对n只青蛙数量关系的梳理，进一步让学生体会利用字母表示数在表示具有某种普遍意义的数量关系时的重要作用.

2.规范表示数量关系

问题2 某校七年级学生去农场参加了综合实践活动，请用字母表示以下数和数量关系.

（1）如果他们挖了20千克番薯，单价b元/千克，可得元;

（2）如果他们挖了a千克番薯，单价134元/千克，可得元;

（3）如果他们挖了a千克番薯，单价b元/千克，可得元;

（4）农场卖了挖的a千克番薯共得100元，则番薯每千克元;

（5）番薯的单价是a元/千克，丝瓜的单价b元/千克，挖了19.8千克番薯，摘了5.6千克丝瓜，一共能卖元.

问题3 野炊是综合实践活动中的重头戏，饭后学生们利用捡拾来的柴火玩起了“跳房子”的游戏.如图1所示，假设每一个图形都是由相同长度的柴火组成，如何用带有n的式子表示最后一个图形的柴火根数呢？

图1

设计意图 问题2教给学生，在用字母表示数量关系的过程中，首先要搞清楚题目中的字母和数分别表示什么，要表示的结果与已知的字母和数有怎样的数量关系，然后确定用哪些运算符号去连接它们.同时强调书写规范，这是教材教学目标的落实，也是后面运用符号演算和推理的前提，教师可以从以下四个角度去总结：省略乘号数在前，如上面的20b，ab;化带为假有必要，如134a应写成74a;加减式子添括号，避免歧义，如一共卖了（19.8a+5.6b）元;除号改为分数线，如100a.通过这四句口诀，帮助学生正确地书写各种数量关系.问题3的设计是让学生从不同的视角去分析和表示问题中的数学规律，同时提高学生的数学抽象能力.学生可以从“7，12，17，…”代数的角度考虑，也可以从“横、纵、U字形”等几何形状的角度考虑，初步体会数形结合的思想.

（二）数学工具的符号意识

1.明确数量关系中字母的含义

问题4 下列表述中字母各表示什么？

（1）正方形的周长为4a.

（2）小明买了5千克苹果，共花了5x元.

（3）操场上有（20+x）名学生，其中男生有20人.

（4）底面积为50平方厘米的长方体体积为100l立方厘米.

问题5 说一说可以用ab表示结果的实际问题.

设计意图 此問题是用字母表示数的逆向问题，目的是提升学生对数学符号的阅读能力，从而为运用数学符号进行推理、演算做好准备.问题5中的代数式“ab”可以联系销售单价与数量、时间与速度、工作效率与工作时间等诸多实际问题，既体现了不同背景问题下的数学模型的一致性，又说明了符号表达更能体现运算的一般规律，感受数学问题是生活实际的抽象.这里有数学模型和数学抽象核心素养的自觉渗透.

2.利用符号工具解决问题

问题6 （1）完成下面表格.（2）合作学习：两人一组，一名学生给出一个用文字语言（或者符号语言）表述的数学规律、法则等，另一名学生用符号语言（或者文字语言）表述，即进行文字与符号的互译.

文字语言符号语言

（2）已知|a|=4，|b|=3且|a+b|≠a+b，则a-b=.

设计意图 通过对符号和文字两大语言切换的有效训练，体会数学符号表达的简约美.课程标准指出：由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以希望在各个学段学习中都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练.问题7的设计既是课程标准的落实，也是数学符号工具职能的落实.

（三）数学方法的符号意识

问题8 用长度相等的两条细绳围城一个圆和一个正方形，哪个几何图形的面积大？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.

问题9 如图2所示，为了美化校园，学校打算在环形草坪及其内部种上一些花，已知方案①中环形花圃的面积为10π平方米，请计算方案②中阴影部分的面积是多少？

设计意图 培养符号意识最重要的是进行数学思考，课程标准中把其称之为“符号思考”.第一部分用字母表示数和数量关系其实是对数学抽象的思考，第二部分用字母表示的数量关系进一步去演算是对数学推理的思考，而问题8把细绳的长度设为l，通过计算比较面积l216和l24π大小的方法，本质上是对数学模型的思考.问题9中我们引入r和R两个字母，由S1=π（R2-r2）=10π，可推得S2=R2-r2=10，无须求出r和R的具体数值.这种引进符号、设而不求、优化解题的意识，是一种重要的数学方法.这里有数学抽象、推理能力、模型思想的元素，进一步渗透数学核心素养.

三、教学反思

笔者从三个方面落实符号意识，层层推进.第一，符号是数学的语言，利用符号表示数及数量关系和数学规律的意识，是进行一切数学活动的前提，即问题1-3;第二，符号是数学的工具，用符号进行简单的运算和推理得到具有一般性的结论，它是开展一切数学活动的重要过程，即问题4-7;第三，符号是一种重要的数学方法，引进符号，设而不求，解决一类复杂的数学问题，即问题8，9.如果把人的大脑看成一台大型计算机，那么用符号理解和梳理复杂数量关系就是“编码”的过程，阅读和理解符号进行运算推理是“解码”的过程，三层符号意识始终贯穿在“编解”的过程中，从而解决问题.

本节课的设计基于教材，其中问题6，8，9的设计是笔者对一般传统教学设计的创新和挑战.在问题6的设计中，互译的形式新颖，表格的呈现独到，再借助小组合作完成，学生积极性高、参与度广.问题8，9的设计，实际是将数学符号应用在一类复杂数学问题和实际问题中，是本节课内容的升华.这三个问题的教学设计体现了创新意识和应用意识的核心素养.不同于其他学科，符号对数学而言是特有的.数学符号的抽象性、明确性、简略性、可操作性、可通用性等特点，决定了数学符号在数学学习过程中的重要性.对数学符号意识的培养起始于此，但远不止步于此，在后续的学习过程中，我们要不断渗透以上三方面的数学符号意识，特别不能忽视“数学方法的意识”，它是落实三层符号意识的难点，也是今后学习和解决数学问题的重要方法.

【参考文献】

[1]罗增儒.核心素养与课堂研修[J].中学数学教学参考，2017（23）：14-20.

[2]蔣海燕.中学数学核心素养培养方略[M].济南：山东人民出版社，2017：1-2.