双轴旋转调制最优转位次序的设计方案

周兆丰 王新龙 蔡远文

摘 要：旋转调制型捷联惯导系统是惯导系统新的发展方向，可有效提高惯导系统的导航精度，而转位次序的设计是旋转调制方案的关键。为了解决传统转位次序设计方案存在局部最优的问题，本文提出一种新的双轴全局最优转位次序设计方案。在分析双轴旋转调制转动过程中的常值漂移、标度因数及安装误差抵消原理的基础上，进一步研究了安装误差与最优转位次序的关系并给出了设计依据。基于此设计了一种最优八次序转位方案。经过与传统的双轴八次序转位方案的仿真对比分析，在设定条件下，姿态、速度及位置误差的振荡情况分别減小了约1/3，1/2及1/3，并且经度误差的发散速度也得到了改善。

关键词：捷联惯导系统;旋转调制;安装误差;转位次序;误差矢量

中图分类号：TJ765;V249.32+2 文献标识码：A文章编号：1673-5048（2020）01-0081-08

0 引言

陀螺常值误差与慢变漂移是影响惯导系统导航精度的主要误差源，基于现阶段惯性器件的发展水平，捷联惯导系统采用旋转调制技术进行误差补偿几乎成为唯一一种可行的全自主、全天候、高精度导航手段[1]。旋转调制技术是一种有效的误差自补偿方法，其中转位方案的设计是核心，直接影响着系统的导航精度、整体结构和成本[2-3]。转位次序作为转位方案设计中的重要环节，直接决定着误差补偿的效果。然而目前对旋转调制技术的研究仍主要集中在误差特性[4-10]、系统标定[11-14]、初始对准[15-16]及转位方案的改进[17-18]等方面，对转位方案的设计尤其是转位次序如何确定的问题研究较少，而且姿态、速度及位置误差的振荡情况较严重，影响了捷联惯导系统的导航精度。

文献[8]指出了静电八次序转位方案的问题，并给出了改进八次序转位方案（本文称传统八次序转位方案），但是没有深入分析误差抵消原则。文献[10]介绍了陀螺仪常值漂移、标度因数误差及安装误差的抵消原则，为转位方案设计的误差抵消提供了理论依据，但对于标度因数误差没有进一步区分对称性与非对称性，也没有深入分析双轴情况下误差抵消与转位次序的关系。文献[19]针对更换高等级陀螺组件却达不到预期导航精度的问题，利用残余误差相互抵消效果设计出转位方案，为研究异轴的误差抵消情况及转位次序的确定扩展了思路，但是残差结果的形式复杂，不能很直观地反映出理论存在的缺陷，也没有对安装误差和转位次序做进一步分析。

针对以上问题，本文对双轴旋转调制下的常值漂移、标度因数及安装误差的抵消原理进行了补充，并优化了误差抵消原则，在此基础上进一步分析了安装误差与转位次序的关系，指出了传统八次序转位方案只是局部最优，最后给出了全局最优的八次序转位设计方案，该方案也适用于更多次序的转位方案设计。

1 双轴旋转调制系统误差抵消原则

因转位次序是不同转动过程的组合，转动方式又与误差抵消密切相关，所以需要深入了解转动过程与基本的误差抵消原则。

1.1 转位机构与转动过程

图1为转位机构与误差矢量轨迹示意图。调制型捷联惯导系统就是在原有捷联惯导系统上增加了转位机构，具体包括底座、外框、内框及IMU（惯性测量单元）四部分，其中底座与载体固连，外框由底座支撑负责绕zb轴的转动，内框与IMU固连负责绕yb轴的转动，如图1（a）所示。

静基座下，初始时刻时，设IMU坐标系（s系）、载体系（b系）及导航系（n系）重合（下同）。图1（b）中的OA是指IMU的常值漂移误差矢量，B是指OA绕OZb轴逆时针转动180°到达的位置，两位置之间转动过程用符号A+zbB表示，C和D是OA经过旋转后到达的另外两位置。对于双轴四位置旋转调制来说共有16种独立的转动过程，转位次序的确定就是在这16种转动过程中找出最合理的排列组合形式，以便最大程度地减小各种误差。

1.2 误差模型与抵消原则

旋转调制过程中的陀螺仪沿导航系下的误差模型如下：

转位机构旋转角速度量级较大，与标度因数及安装误差的耦合项影响不可忽略，所以需要深入研究转动过程中的误差抵消原则。

根据陀螺的误差模型式（1），转动过程A+zbB的等效误差角速度为

上式含有三部分误差，依次为常值漂移项、标度因数误差项及安装误差项，ω表示转位机构旋转角速度。在对文献[9]中的误差抵消原则进行补充和优化后，具体如下。

（1）常值漂移误差抵消原则

原则1：对于非旋转轴上的常值漂移误差，需要找到对称区域并停留相同时间才能完成误差抵消，可采用单轴或双轴调制方式实现。

原则2：对于旋转轴上的常值漂移误差只要在对称位置上停留相同时间就可以完成误差的抵消，需要采用双轴旋转调制方式实现。

（2）标度因数误差抵消原则

原则3：对于旋转轴上的对称性标度因数误差，需要采取正反转的形式进行误差的抵消。

原则4：对于旋转轴上的非对称性标度因数误差δK-gz·ω，因其相当于旋转轴上的等效常值漂移，抵消原理与原则2等同。

（3）安装误差抵消原则

原则5：当s系下旋转轴相对于b系下旋转轴指向固定时，非旋转轴上的误差可以通过整周旋转的方式进行抵消。

原则6：当s系下旋转轴相对于b系下旋转轴指向变化时，安装误差与起始位置及ω有关，可以完成部分的误差抵消。

（4）优先原则

原则7：由于位置的发散只与天向轴和北向轴上的误差有关，所以优先考虑天向与北向轴上的误差抵消，再考虑东向轴上的误差抵消。

（5）对称原则

原则8：因有限的转位次序不能完全消除误差，补一组对称的转位次序可以进一步减小姿态、速度、位置误差的振荡幅度及经度误差的发散趋势。

2 最优转位次序设计方案

转位次序设计中，需要先确定次序1，然后确定次序1与次序3（同轴旋转）的关系，再确定次序1与次序2（异轴旋转）的关系，最后确定次序5～8及后续次序。

2.1 同轴旋转方向选取

因次序1的转向对后续分析没有影响，本文以绕zb轴逆时针旋转180°作为次序1，用A+zbB表示，陀螺的输出误差角速度如式（2）所示。

因次序3是以位置C为起点绕zb轴进行的旋转，转向确定的标准是看与次序1在常值漂移、标度因数及安装误差的抵消情况，下面根据不同转向来进行具体分析。

（1）同轴同向

当次序3与次序1转向相同时（同轴同向），n系下陀螺的输出误差角速度如下：

对式（2）与式（3）进行先求和再积分，可得累积姿态误差角为

（2）同轴反向

当次序3与次序1转向相反时（同轴反向），n系下陀螺的输出误差角速度如下：

对式（2）和式（5）进行先求和再积分，可得累积姿态误差角为

式（6）与式（4）相比较来说，转向相反时东向常值漂移误差不会引起位置误差的发散，标度因数误差得到完全抵消，两者的安装误差影响相同，由此可得出结论1。

结论1：双轴旋转调制时，同轴旋转时的转动方向需要相反，也称同轴反向。

2.2 异轴旋转方向选取

对于异轴情况时，由于旋转轴不同，Cns的形式相关性不大，不适合直接做误差抵消的分析，因此對前4次序及前8次序做局部的误差抵消更合理。下面按不同转向进行分析。

（1）异轴同向

当次序2与次序1转向相同时（异轴同向），若将每个次序的开始时间都设为0，则前4次序在t时刻的陀螺输出误差角速度之和如下：

（2）异轴反向

当次序2与次序1转向相反时（异轴反向），前4次序在t时刻的陀螺输出误差角速度之和如下：

由于常值漂移影响较小且可在后面进行补偿，可暂时忽略其影响。对比式（7）与式（8）可知，陀螺输出的误差角速度幅值会因安装误差项Δgxy和Δgxz的关系不同而不同，若两者符号相同（同正或同负）则式（8）引起的幅值大，否则式（7）引起的幅值大。又因实际转位系统是两单轴的依次旋转，会引起不连续的陀螺数据输出，加上实际有限的采样频率，必然会引起陀螺输出误差角速度的上下不对称性，这种不对称性会使误差角速度的均值不为零，且其大小与幅值相关，进而引起不同的姿态振荡误差。另外，根据文献[20]可知安装误差会引起锯齿形速度误差为

姿态与速度误差又会一同引起位置误差的振荡。另外，高次序的效果未必强于低次序的原因之一也在于不对称性，篇幅有限不做叙述。综上可得出结论2。

由式（11）可知，由次序5～8引起东向轴常值漂移与安装误差项与式（10）相反，一个完整周期内的累积姿态误差角为0，既消除了常值漂移误差的影响，又消除了旋转角速度与标度因数及安装误差的耦合项，使导航系统的长期特性得到改善，达到了转位方案设计的目的。据此可得Δgxz与Δgxy符号相反时的最优八次序异轴反向转位方案，如图2所示。

异轴同向时的转位次序与上述情况类似，只要改变偶次序2，4，6，8的转轴方向即可得到Δgxz与Δgxy符号相同时的最优八次序异轴同向转位方案。

实际上由于器件的非理想性，转轴不垂直，转动角度不准确时，前8次序会存在无法抵消的误差，因此可以补一组对称的转位次序（对称原则）作为次序9～16，以进一步减小误差，由此可形成十六次序转位方案。

3 仿真分析

3.1 仿真条件

在静基座条件下，初始时刻时s系、b系及n系重合，设三轴陀螺常值漂移均为0.01 （°）/h，对称性标度因数误差为6×10-7，非对称性标度因数误差为4×10-7，安装误差设置同文献[20]，其中Δgxz为0.000 01，Δgxy为-0.000 02，旋转机构角速度ω=6 （°）/s，仿真时长为120 h，不考虑初始姿态误差、速度误差、位置误差、地球自转及停位状态影响。

3.2 仿真验证

（1）最优异轴反向转位方案的合理性验证

由仿真条件可知，Δgxz与Δgxy符号相反，此时由安装误差引起的东向陀螺输出如图3所示，横轴为转位次序，范围取1～9，纵轴为东向陀螺输出，单位为rad/s。其中，图3（a）为异轴同向时的东向陀螺输出，均值为-2.908 9×10-11 rad/s;图3（b）为异轴反向时的东向陀螺输出，均值为-9.696 3×10-12 rad/s，前者是后者的3倍，可见此时由八次序异轴反向转位方案引起的不对称性要小很多，各项误差详细对比如图4所示。

图4（a）为八次序异轴同向时的误差输出，图4（b）为八次序异轴反向时的误差输出，从上至下依次为东向姿态误差、东向速度误差和经度误差，可见异轴反向时振荡幅度（峰峰值）相比异轴同向时分别减小了约1/3，1/2及1/3，因此在Δgxz与Δgxy符号相反情况下选择八次序异轴反向转位方案是合理的。

（2）最优异轴同向转位方案的合理性验证

其他条件不变情况下，将Δgxz设为-0.000 01，此时Δgxz与Δgxy符号相同，由于篇幅所限只对比了东向陀螺输出与经度误差，如图5所示。

由图5（a）可知，异轴同向与异轴反向时的东向陀螺输出均值分别为-9.696 3×10-12 rad/s与-2.908 9×10-11 rad/s，异轴同向转位方案的不对称性是异轴反向时的1/3。由图5（b）可知，异轴同向与异轴反向时经度误差的幅度范围分别为0.196与0.496海里，前者减小了3/5。另外姿态误差与速度误差的振荡幅度减小了1/3和1/2，具体数值如表1所示，可见，在Δgxz与Δgxy符号相同的情况下，选择八次序异轴同向转位方案是合理的，此时与传统八次序转位方案一致，由此结论2得到证明。

4 结论

本文补充并优化了调制型捷联惯导系统的常值漂移、标度因数及安装误差的抵消原则，根据安装误差与转位次序的关系，提出了全局最优转位设计方案，解决了传统八次序转位方案存在局部最优的问题，并且通过仿真进行了合理性验证，具体设计方案如下：

首先确定次序1（如A+zbB）;其次根据同轴反向（结论1）可确定次序1，3及次序2，4的相对转向关系;然后根据Δgxz与Δgxy的符号关系（结论2）可确定出次序2相对于次序1的转向关系，两者同向时选择异轴同向，反向时选择异轴反向，由此可确定出次序1～4;次序5～8根据误差抵消原则1、原则5和同轴与异轴转位关系即可确定。

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