基于广义最小二乘法的空空导弹幅值滤波器设计方法

李良 李友年 陈星阳

摘 要：空空导弹在飞行的过程中，由于弹体弹性模态时变特性而引起幅值滤波器参数无法预先精确设置，导致滤波器滤波效果减弱。针对这一问题，本文首先建立了空空导弹的纵向刚体和弹性体混合数学模型，在此基础上，借鉴最小二乘法在线估计弹性模态参数的方法，提出了广义最小二乘法在线估计的改进措施，解决了弹体弹性模态求解过程中由于扰动等因素带来的有色噪声干扰问题。同时，在控制系统结构中引入振荡模态角频率反馈模块，实时修正滤波器中心频率，提高了滤波效果。通过六自由度仿真算例验证该方法的可行性。

关键词：幅值滤波器;广义最小二乘法;在线估计;弹性模态

中图分类号：TJ765.2 文献标识码：A文章编号：1673-5048（2020）01-0046-06

0 引言

空空导弹的弹性特性是指导弹在空气动力和舵面运动的激励下，弹体出现横向弯曲高频振动的现象[1]。导弹在飞行的过程中，这些高频弹性振动信号与刚体运动信号一起会被传感器敏感接收并经过控制系统处理后驱动舵面偏转。如果舵面对高频信号有响应，则会引起弹体结构进一步的弹性振动。对目前先进的空空导弹而言，随着导弹战术使用要求的不断提高，弹性振动轻则降低弹体控制品质，重则造成控制失稳，严重影响发射载体安全性。因此在自动驾驶仪设计过程中，必须要考虑弹体的弹性特性影响，并且要尽量消除弹性特性对控制系统的不利影响。

空空导弹在飞行的过程中，导弹质量和质心产生实时变化、导弹所用火箭发动机在工作过程中，由于环境因素，引起总冲的随机散布以及导弹在高速飞行时的气动加热都会对弹性模态造成一定影响[2]，导弹飞行过程中的弹性模态变化情况是很难提前准确预知的。为了消除弹性振动的影响，首先考虑的方法是改变传感器的位置，尽量不让传感器敏感接收到弹性振动。进入数字电路时代后，数字滤波器成为消除刚体低频控制信号中的高频弹性振动分量的主要方法[3-4]。随着现代控制理论的不断发展，樊朋飞等提出了一种双回路结构的鲁棒控制器[5]，惠俊鹏等提出了应用奇异值Mu方法分析系统鲁棒稳定性的方法[6]，谷迎松等提出了一种气动伺服弹性稳定临界点预测求解的完全频域方法[7]，吴云洁等基于Steiglitz-McBride系统辨识方法，设计了一种自适应噪声抑制滤波器，对测得信号中的弹性分量进行处理[8]，楚龙飞等提出了一种自适应结构滤波器的设计方法，采用递归最小二乘算法，在线估计飞行器的结构模态参数并用于实时更新滤波器的中心频率[9]。结合国内外研究现状，导弹各种部件布局有诸多限制，通过改变传感器位置或者传感器位置分布补偿的方式在目前先进的空空导弹设计时很难实现。现代控制理论方法大多都具有较高的系统阶次，这类方法很难在工程中得到实际的应用。基于经典控制理论的滤

波器设计，是目前空空导弹设计中抑制弹性振动常用的方法。本文针对幅值滤波器在工程实现上遇到的实际问题，重点分析了楚龙飞等提出的最小二乘法在线估计导弹弹性模态参数的方法[9]，针对其存在的问题提出了改进措施，并通过仿真算例验证了该方法的可行性。

1 导弹刚性弹性混合模型建立

1.1 导弹模型对象特性

本文研究所用的空空导弹模型对象特性为正常式布局的轴对称导弹，其长度3.0 m;直径0.16 m;质量：满载100 kg，半载75 kg，空载50 kg;发动机工作时间为16 s（均匀燃烧）;俯仰通道的转动惯量：满载57 kg·m2，半载50 kg·m2，空载43 kg·m2;质心位置（距导弹头部）：满载1.6 m，半载1.5 m，空载1.4 m;加速度表和角速率陀螺的安装位置（距导弹头部）：0.40 m;弹体俯仰方向一阶弯曲弹性振荡角频率ωe1：满载226 rad/s（36 Hz），半载270 rad/s（43 Hz），空载314 rad/s（50 Hz）;弹体俯仰方向一阶弯曲弹性振荡阻尼ξ1：满载0.002 5，半载0.006 25，空载0.01。

1.2 坐标系定义

弹性基准系O0x0y0z0是专门用来定义弹体结构变形的坐标系，其三轴与弹体系Ox1y1z1的三轴平行，坐标原点在弹体头部顶点位置。

1.3 刚性弹体数学模型建立

根据牛顿第二定律和质心转动性质，建立描述导弹运动的动力学和运动学非线性方程。利用小扰动线性化原理，采用系数“冻结”的方法引入动力学系数[10]。通过导弹运动方程组可以得到俯仰单通道传递函数：

其中引入的动力学系数如下：

对于轴对称导弹，俯仰和偏航通道气动特性具有对称性，因此，偏航通道传递函数与俯仰通道传递函数相同。

1.4 弹性弹体数学模型建立

由于飞行过程中大长细比导弹受到空气动力、重力、尾部推力等作用而发生复杂弹性形变，横向弯曲是主要表现形式。为了得到一般规律，将飞行中的导弹简化为有尾部推力的均质自由梁。不考虑控制，假设推力始终与轴线尾部相切，弹性模量E和截面惯性矩J为常值，假定飞行机动过程中法向外力只受准定常气动力的作用，不考虑由于推力而引起的法向力和气体扰动法向力，在弹性基准坐标系O0x0y0z0下，弹体法向弹性振动遵循如下方程：

2 最小二乘法在线估计弹性模态参数改进

为了在不增大幅值滤波器陷波宽度的同时，又能够较好地适应真实弹体弹性振荡模态与预计值的较大偏差，根据楚龙飞等提出的最小二乘法在线估计弹体弹性模态参数的方法[9]，其待估计对象（如式（14））针对弹体一阶弯曲弹性模态，经变化后可得

利用最小二乘法在线递推算法可得该差分方程的系數L1～L3及R1～R4值，进而结合式（16）～（17）可构造包含ωd，ξd，ωe，ξe及Ge的方程组。由于设计幅值滤波器时须知道弹性模态角频率ωe，因而只需利用该方程组解出ωe即可。但是求解ωe会遇到以下问题：

（1）若将ωd，ξd，ωe，ξe及Ge当成未知数对待，则经过消元简化后关于ωe的一元六次方程，无法得到ωe的解析解。

（2）若将ωd，ξd当成已知参数对待，可以降低方程的阶次，但是为了保证计算ωe相对于真实值有较小的误差，又需要知道刚性弹体精确的ωd和ξd，考虑到刚性弹体在建模时存在一定的误差，在工程应用时无法精确地给出ωd和ξd，因而无法得到ωe的精确解。

另外，考虑到角速率陀螺响应中，除了刚性弹体和弹性弹体角速率响应外，可能还包含其他扰动带来的有色噪声，因而仅仅采用最小二乘法无法保证计算结果收敛到真实值。

针对以上方法中模型阶次过高，不便于弹性模态参數求解，并且最小二乘法无法抑制有色噪声带来的干扰问题，需要对以上方法进行改进：

（1）在刚体和弹性体混合模型中，刚体信号是主量，经过带通滤波器后，降低了刚体信号的幅值，提高了待估弹性模型信号的信噪比，可以将式（16）中刚性弹体传递函数a25s+kds2+2ωdξds+ω2d当作有色噪声传递函数n（s），这样待估计模型只剩下弹性模型传递函数kRkφss2 + 2ξeωes + ω2e。原来不便求解的四阶模型，利用广义最小二乘法，将其等效拆分成两个二阶模型，因此降低了待估计模型阶次，方便求解弹性模态参数ωe。

（2）由于弹性模型传递函数kRkφss2 + 2ξeωes + ω2e的响应中还包含有色噪声模型n（s）的响应，因而采用最小二乘法无法使估计的参数收敛到真实值，可将有色噪声模型n（s）的响应看作为白噪声通过形成滤波器后的响应，并选取适当阶次的形成滤波器，就可以通过广义最小二乘法估计出更为精确的弹性模型传递函数的模态参数。

（3）由于刚性弹体传递函数a25s+kds2+2ωdξds+ω2d的响应通常比弹性弹体传递函数kRkφss2 + 2ξeωes + ω2e的响应大很多，使得待估计弹性模型响应中的信噪比较低，不利于估计结果的收敛，因而需要对弹性模型响应进行带通滤波，降低刚性弹体响应幅值，提高信噪比。

3 验证

本文针对俯仰、偏航控制通道采用的幅值滤波器，采用广义最小二乘法在线算法估计弹性弹体一阶弯曲振荡模态角频率ωe的结构，如图2所示。同时在广义最小二乘法模块引入反馈，将反馈施加在带通滤波器模块。由于施加了反馈结构，带通滤波器能够根据广义最小二乘法预估的一阶弯曲振荡模态角频率，实时修改滤波器中心频率，从而达到滤波效果。在角速率陀螺和加速度计输出位置分别加入服从标准正态分布的噪声，标准差分别为0.1（°）/s和0.01g。

图2中的舵机、角速率陀螺和加速度计模型仍然采用二阶等效模型，舵机模型中加入带宽为0.2°的间隙，其结构如图3所示。

为了验证广义最小二乘法在线算法的效果，选取以下四种弹体弹性一阶弯曲振荡频率偏差量。其中，fy1st_idea为弹体弹性一阶弯曲振荡频率理论值，fy1st_true为加入偏差量后的弹体弹性一阶弯曲振荡频率真实值，fy1st_RGLS为弹体弹性一阶弯曲振荡频率估计值。俯仰、偏航通道幅值滤波器的陷波频率和带通滤波器的中心频率采用经广义最小二乘法在线算法估计出的值。忽略一阶弯曲弹性振荡模型中和飞行过程中的变化情况，则幅值滤波器的阻尼取值仍采用线性模型下的阻尼值（ξz=0.009 7，ξp=0.542 8）。带通滤波器期望角频率ωs取3.769 rad/s（0.6 Hz）。不同弹体弹性一阶弯曲振荡频率偏差量变化方式下的六自由度仿真结果如图4所示。

由图4六自由度仿真结果可以看出，采用广义最小二乘法估计出的带通滤波器中心频率能够不受扰动影响，迅速地跟踪真实结果，满足预期设计要求。

4 结论

本文针对工程上在设计幅值滤波器时所面临的问题，提出了基于广义最小二乘法的改进思路，进行了推导和六自由度仿真验证，得出以下结论：利用广义最小二乘法在线算法对弹体弹性一阶弯曲振荡频率进行估计，弥补了最小二乘法的缺陷，克服了最小二乘法中的有色噪声干扰。利用一阶弯曲振荡模态角频率ωe反馈模块，实时调整滤波器中心频率，使滤波器初始参数能够保持在相对合理的数值范围，确保了估计过程中的收敛性，提高了滤波器滤波效果，六自由度仿真验证了该方法的有效性。

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