圆锥曲线“定点”“定值”问题的同源与分流

罗毅

[摘  要] 定点问题与定值问题是圆锥曲线中的两种常见问题类型，它们有相似的几何背景和逻辑基础，而在解题的运算方式上又有区别. 通过高考试题解析，对比分析这两类问题在逻辑架构、代数形态等方面的同与异，解构它们在数学思想方法层面的互异性和关联性，从而更好地建立这两类问题的解题体系.

[关键词] 定点;定值;逻辑;运算

定点与定值，是圆锥曲线中的两类常见问题.在圆锥曲线的解题教学研究中，这两类问题在题目形态和解题策略上，常被归为同一研究类，而与最值（范围）问题形成对立研究类. 文[1]和文[2]分别探究了定点与定值问题的解题方法与技巧.然而，作为数学解题教学研究，除了着眼于表层的解题技术，还应关注同一研究类问题的联系与区别，以及不同研究类问题的关联，使其更加具备“数学思想属性和理性思维属性”[3]，也使得对这样问题的解题教学能够更好地帮助学生“构建知识体系，整体把握知识的来龙去脉，抓住问题的本质”[3]. 本文拟从逻辑推理、数学运算等层面对定点与定值问题进行分析，追溯其逻辑内涵和算法原理的源与流.

■定点与定值问题在逻辑架构上的“同源”

定点与定值问题的共同特征是：在一个动态过程中，有些量不会随着运动变化而发生改变，形成了所谓的“定”. 这包含两个层面的意思，第一个层面是：这是一个“动态过程”，如果图形是静止的，那么图形上的每个点都是定点，每个值都是定值，缺乏研究的价值;第二个层面是“不变性”，在动态过程中，变是常态，不变是非常态，不变常常是由特定的几何性质决定的，比如方程（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1所刻画的曲线始终经过点（0，0），它不会因为θ的变化而发生改变，点（0，0）就是曲线（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1经过的“定点”，这是由圆系方程的代数结构确定的圆的几何特征;又如椭圆上的任意一点M到两个焦点F■，F■的距离之和为常数，这个常数不会随着点M的运动变化而发生改变，这就是“定值”，这是由椭圆的定义确定的椭圆的几何特征.

由于解析几何的核心是用代数方法研究图形的几何性质以及图形与图形之间的关系，而这样的“定”，反映在代数逻辑形态上就是与方程或表达式中变元的取值无关. 所以，定点与定值问题在代数逻辑架构上是同源的.

■定点与定值问题在代数形态上的“分流”

虽然定点与定值存在几何背景和逻辑上的同理，但它们在代数运算形态上是有区别的.

1. 定点问题的代数形态特征

通常我们研究直线过定点问题，意味着直线处于旋转状态，其斜率在发生變化，从而我们可以通过研究直线l的方程y=kx+b（k，b是参数）形态，考察该直线是否经过一个定点.

如果b=λk+μ（λ，μ是常数），由直线的点斜式方程，知直线l经过定点（-λ，μ）. 特别的，若b=μ（μ是常数），那么直线l经过y轴上的定点（0，μ）;若b=λk（λ是常数），那么直线l经过x轴上的定点（-λ，0）. 对斜率不存在的直线，可在此基础上进行验证.更一般地，通过直线l的点斜式方程A（x-x■）+B（y-y■）=0（A，B是参数，x■，y■是常数），也能够判断直线l经过定点（x■，y■）.

借助以上两种直线方程形式，可以发现，研究直线过定点问题，其逻辑本质就是“关于变元（x，y）的等式恒成立，即与参数的取值无关”. 在曲线系理论下，易知曲线λf（x，y）+μg（x，y）=0总是经过f（x，y）=0与g（x，y）=0的公共点. 这里强调方程的构建，以及对所建立方程的逻辑解构.

例1：（2017全国卷课标Ⅰ理，20）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0），四点P■（1，1），P■（0，1），P■-1，■，P■1，■中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过P■点且与C相交于A，B两点.若直线P■A与直线P■B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

解题过程：（1）■+y2=1（过程略）;

（2）设直线P■A与直线P■B的斜率分别为k■和k■.

若l与x轴垂直，设l：x=a，其中a≠0，且a<2，则Aa，■，Ba，-■.

由条件，k■+k■=■-■=-1，解得a=2，不符合题设，所以直线l的斜率存在.

设l：y=kx+b（b≠1），代入■+y2=1，消去y，得：

（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0.

由条件，知Δ=64k2b2-16（4k2+1）（b2-1）>0.

设A（x■，y■），B（x■，y■），则

x■+x■=-■①，x■x■=■②，

k■+k■=■+■=■+■=■.

因为k■+k■=-1，所以（2k+1）x■x■+（b-1）（x■+x■）=0③，

将①②代入③，化简得b=-2k-1，于是l：y=kx-2k-1，即y+1=k（x-2），所以直线l经过定点（2，-1）.■[4]

问题分析：结合解题过程，不难看到，解决问题的关键是引入直线l的方程y=kx+b，通过条件“直线P■A与直线P■B的斜率的和为-1”，建立关于k与b的二元方程，进而化简得到b关于k的线性表达式，达到确定直线经过定点的目标. 我们可以通过图示（图1），展现解决这个题目的逻辑推理与数学运算的并行过程.

例2：（2009江西理，21）已知点P■（x■，y■）为双曲线■-■=1（b为正常数）上任一点，F■为双曲线的右焦点，过P■作右准线的垂线，垂足为A，连接F■A并延长交y轴于P■.

（1）求线段P■P■的中点P的轨迹E的方程;

（2）设轨迹E与x轴交于B，D两点，在E上任取一点Q（x■，y■）（y■≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过两定点.

解题过程：（1）点P的轨迹E的方程为：■-■=1（过程略）.

（2）M0，■，N0，■，则以MN为直径的圆的方程为：

x2+y-■y+■=0，

即x2+y2+■y-25b2=0①，

令x2+y2-25b2=0且y=0，得该圆经过定点（5b，0）和（-5b，0）.

问题分析：题目的第（2）小问实际上在探究经过个两定点的圆系方程，很难以某种形式化的方法来解决它，所以，从定点问题的逻辑认知角度——等式恒成立，对这个题目进行推理和运算就尤其重要.在这样的逻辑基础上，通过代数变形，得到方程①. “与变元y■的取值无关”，是取■的系数y=0及常数项x2+y2-25b2=0的逻辑依据，是解决问题的关键，通过这一过程，达成了逻辑推理与数学运算的并行目标，从而找到定点（5b，0）和（-5b，0）.

上面两个的例题，虽然研究的对象不同——一个探究动直线经过某一个定点，一个探究动圆经过某两个定点，解决问题的过程表征也有所差异——一个探究关于参数k与b的线性关系，一个探究关于坐标y■的方程. 但可以发现，他们共同特征是在“使等式恒成立”这个逻辑要求下，对方程中的参数形成限制性条件，这个条件的实现则对应地产生了某个（或者某几个）定点.

2. 定值问题的代数形态特征

定值问题在代数逻辑上与最值（范围）问题属于同一个范畴. 在解析几何体系中，研究最值问题的基本数学思想是函数思想，通常研究对象随着某个本源变量（如直线的斜率、点的坐标等）的变化而发生相应变化，从而形成研究对象与本源变量之间的函数关系，所以只需根据几何条件，建立函数表达式，并借助这个函数的性质，结合具体几何条件的限制，探求研究对象的最值（范围）. 定值问题则意味着建立了一个常数函数，它不会随着本源变量的变化而变化，从而产生“定值”. 按照设问方式的不同，这类问题又可以分为“证明型定值问题”和“探究型定值问题”.

例3：（2018全国卷课标Ⅰ理，19）设椭圆C：■+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

解题过程：（1）略.

（2）若l与y轴垂直，则∠OMA=∠OMB=0，命题得证.

若l与y轴不垂直，由条件，设直线l的方程为x=my+1，代入■+y2=1，整理得：

（m2+2）y2+2my-1=0.

设A（x■，y■），B（x■，y■），则y■+y■= -■，y■y■=-■.

设直线AM，BM的斜率分别为k■，k■，则原问题即证明k■+k■=0.

k■+k■=■+■=■=■=■=■·-■+■=0，命题得证.

问题分析：在本题中可以看到，k■和k■均随着参数m的变化而发生相应变化，所以k■和k■是关于m的非常数函数，在对k■+k■进行运算分析时，初始方向是构建函数，最终结果是形成常数函数k■+k■=f（m）=0.

■定点与定值问题的“合流”

在数学体系中，函数与方程之间既有区别又有联系，函数与方程作为基本数学思想方法，“既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.”■[5]虽然解决定点问题主要依托于方程，而解决定值问题主要依托于函数，但是我们不能孤立地看待函数和方程，割裂它们之间的关联，在函数与方程思想整合下，它们的运算路径又可以实现一定程度上的“合流”.

例4：（2019全国卷课标Ⅰ文，21）已知点A，B关于坐标原点对称，AB=4，圆M过点A，B且与直线x+2=0相切.

（1）若點A在直线x+y=0上，求圆M的半径;

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MA-MP为定值？并说明理由.

解题过程：（1）略.

（2）设A（x■，y■），B（-x■，-y■），P（m，n），则由AB=4，得x■+y■=4.

由条件知，圆M的圆心M轨迹是线段AB的垂直平分线，其方程为x■x+y■y=0，

若x■y■≠0，设Mx■，-■ （x■≠0），

则由x■+2=■，整理得x■=■.

所以MA-MP=x■+2-■=■+2-■，

令z=f（x■，y■）=■+2-■①，

则8（m-z）■-8n■+z2-4z-m2-n2+4=0②，

若z为定值，则m-z=0，n=0，z2-4z-m2-n2+4=0.从而m=1，n=0，z=1.

即存在定点P（1，0），使得MA-MP为定值1.

问题分析：本题的第（2）小问作为“探究型定值问题”，在建立起MA-MP关于x■，y■的函数（如①式所示）之后，难点在于如何取m，n的值，使得这个函数为常数函数. 若把①式看作关于■的方程，并将其变形为形式②，那么，原问题就转化为方程②对■恒成立，从而令系数8（m-z）=0，8n=0，且常数项z2-4z-m2-n2+4=0，得到坐标P（1，0）以及定值1.

这里m=1，n=0是z=f（x■，y■）=■+2-■为常数函数的充分必要条件. 若m≠1或n≠0，则MA-MP=z=f（x■，y■）不为常函数，即MA-MP不是定值，我们就可以探究其值域（范围）. 如当m=n=0时，z=f（x■，y■）=■+2-■，此时MA-MP∈（0，2].

通过这个问题的分析，可以看到，方程与函数在逻辑和算理上的统一性，又为定点与定值问题的推理和运算提供了一个通道，从而可以实现相互转换，形成“合流”.

参考文献：

[1]  高慧明. 也谈解析几何中的定点、定值问题[J]. 中学数学杂志，2018（5）.

[2]  张静，徐小琴. 高考圆锥曲线中定点与定值问题解析[J]. 理科考试研究，2020（5）.

[3]  史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[4]  教育部考试中心编. 高考理科试题分析：2018年版，语文、数学、英语分册[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[5]  教育部考试中心编. 2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明，理科[M]. 北京：高等教育出版社，2012.