APOS理论下的数学概念教学优化探索

潘小平

[摘  要] 在高中数学概念教学中，APOS理论具有极其重要的指导意义，有助于学生对数学概念进行自主化探究学习，促进概念从传统的灌输模式转型为自主建构模式. 基于此背景，对运用APOS理论教学“弧度制”一课进行探究，使学生经历从实物抽象出数学研究对象的过程，在问题的引导下激活深度思考，使其能够大胆猜想、客观推理.

[关键词] 数学概念;APOS;“弧度制”

美国著名的教育学家杜宾斯等人提出的APOS理论认为，对于任何个体而言，在学习概念的过程中，经过操作、过程以及对象等相对应的阶段之后，就能够形成用于解决问题的情境图示结构. APOS理论的基本过程是“活动—过程—对象—图式”，这一理论对概念教学具有重要的指导意义. 在高中数学概念体系中，“弧度制”是重要的概念之一，是高中生进行三角函数学习的重要基础. 在现行的高中数学教材中，针对“弧度制”的介绍非常简单，是通过类比的方式引出的这一概念. 因此，一些教师在教学中没有引起重视，没有引导学生经历概念的探究过程，从而造成了学生对这一概念的理解有障碍. 在核心素养理念下，可以借助APOS理论对“弧度制”一课的教学进行优化设计.

■创设活动情境，丰富直观认识

对于高中生而言，“弧度制”是一种全新的用于描述角的方法. 在具体的教学过程中，如果教师采用“说教”的形式，既不能够揭示“弧度制”的数学含义，也不能使学生体会到“弧度制”的重要數学价值. APOS理论的第一阶段是“活动阶段”，强调的是要引导学生在具体的活动中对概念进行直观化感知. 因此，教学中教师要善于联系生活实际为学生创设活动情境，引导学生在情境中用数学的眼光展开观察和思考，这样才能丰富学生对“弧度制”的直观化感知，才能提高学生参与学习的兴趣.

在本课的教学中，笔者首先给学生播放了一名工人用扳手拧螺帽的视频，然后出示图1：

师：请同学们仔细观察图1，扳手从点A转到点B时，螺帽相对应的A1转动到B1. 从中你能够知道哪些几何数量？其中哪些几何数量关系是相等的，哪些几何数量关系是不相等的？

生：扳手和螺帽各自转动的弧长不相等，两弧所在的圆的半径也不相同，扳手所转动的弧长更大，同时其所在的圆的半径也更大.

师：相等的量在哪里？

生：转动的角度相等.

师：如果扳手变得更长，但是螺帽转动的角度相同，此时扳手转动的弧长会发生怎样的变化？

生：弧长会发生改变，变得更长.

以上教学设计中，学生能够体会到当螺帽转动的角度相同时，扳手越长越省力，当扳手的长度发生改变时，扳手所转动的弧长也会有所改变. 这一情境是学生非常熟悉的生活情境，但是其中隐含了弧长和半径比值的关系. 设计这一环节的目的就是为了帮助学生丰富对“弧度制”的直观化认知，初步了解用“弧度制”量角的合理性.

■借助设疑启思，经历探究过程

APOS理论的第二阶段是“过程阶段”，在这一阶段中，需要引导学生经历对概念的探究过程. 问题是引发学生探究的有效手段，因此，在完成第一环节的教学之后，笔者通过设疑的方式引导学生经历对“弧度制”的探究过程.

师：圆心角、半径以及弧长之间究竟存在怎样的关系呢？能不能用一个式子表示它们之间的关系？

提问之后，给学生留下一定的时间在小组内进行讨论，然后组织交流反馈.

生：如果圆心角相等，圆的半径越大，其弧长也就越长. 所以，可以用α，l，r分别代表圆心角、弧长以及半径，可以用“l=αr”这个式子来表示这三者之间的关系.

师：为什么在这个式子中比例系数是α呢？

生：我们首先进行了画图，发现r相等时，l与α成正比;l相等时，r与α成反比.

众生：可是这个过程还是猜的.

师：这种猜想合情合理. 实际上，这在数学学习过程中，也是非常重要的方法. 当然，猜想必然要经过事实的验证. 现在大家的疑问在于l与r之间的变化是否只与α有关，是否还会受制于其他因素的影响.

生：初中我们已经学习过弧长公式l=■（n是圆心角的度数），说明在同一圆中，弧长只与角的大小有关，当角的大小确定时，弧长为定值.

师：这个回答真是太棒了，整个过程都是由大家的猜想、探究以及验证而得到.

目前，高中数学概念教学较为普遍的现象就是重应用、轻讲解，而学生在这一过程中常常处于被动的状态，不得不以死记硬背的方式接受这些概念，不能实现对概念的深入理解，也不能准确把握其意义和价值. “弧度制”是一种数学规定，以学生的眼光来看，是难以理解其中所体现的严谨性和逻辑性，还会由此引发他们质疑：“为何要做出这种规定？这种设置是否合理？”以上教学中，针对学生的这些质疑，笔者为学生创设了自主探究活动，鼓励其进行猜想和验证，使学生亲历完整的探索过程，了解其中的合情性以及合理性，这样学生才能够欣然地接受这一抽象知识.

■引导探究反思，建构数学概念

“对象阶段”是APOS理论的第三阶段，在这一阶段中，引导学生用自己的语言对概念进行表征是十分重要的. 因此，教学中笔者通过引导学生对前面自己的探究过程进行反思，让他们用数学语言来表达“弧度制”，以此促进他们对这一概念的建构.

1. 引导体验“弧度制”的优越性

为了使学生理解弧长和半径之间的比值来表示角的单位的优越性，笔者是这样对学生进行引导的.

师：刚才我们用α表示角的大小，那么角的单位是什么呢？

生：l与r代表的是长度，所以它们的比值是实数，是不存在单位的.

师：用实数衡量角大小的这种方式，可能在初次使用时很多同学并不适应，但是通过上述的探究过程，我们可以了解到，这种方法在数学中具有可行性以及合理性，用数表示角的大小可以在其后加上“rad”. “rad”并非是角的单位，表示此时这个数所代表的是角，等大家使用熟练之后，只要在不会引发歧义的情况下，都可以省略这三个字母.

2. 理解“弧度制”下的角与实数的对应关系

在这一堂课的教学中，引导学生理解“弧度制”下的角与实数的一一对应关系是十分重要的，因此笔者是这样对学生进行引导的.

师：是否所有的任意角都可以使用这一比值进行表示？

生：任意角的界定来自旋转角度，通过弧长可以了解相对应的旋转量，符号则是代表旋转方向，由此也可说明所有的任意角都可以通过这一比值表示，对于正角、零角以及负角，可以分别使用正数、0以及负数进行表示.

师：如果所有的任意角都可以使用唯一的实数与其相对应，是否说明任意一个实数都可以用于表示角？这种表示方式是否唯一？

生：一个实数都可以用于表示角，而且這种表示方式是唯一的.

生：也可以通过计算的方式进行验证，假设角的弧度为α，其度数为n，根据公式l=■，能够由此推导出α=■，n=■·α.

在这一教学环节中，主要设计了两个问题，设计第一个问题的目的就是为了让学生掌握换算的算理，而第二个问题要求记忆特殊角的弧度数. 通过探究，让学生可以深度理解两种度量系统之间的相容性以及掌握两种度量角之间的相互转化，让他们体验“弧度制”下的角与实数的对应关系，利用熟悉的“角度制”感受用实数表示角的大小.

■设计变式练习，建立概念图式

在APOS理论的“图式阶段”中，主要目标是促进学生建立概念图式. 学生形成概念图式离不开变式练习，因此笔者在练习中为学生设计了以下两道变式练习.

变式练习1：一个扇形的圆心角是α，半径是r，弧长是l，请证明扇形的面积S=rl.

变式练习2：一个扇形的周长是10，它的圆心角的大小为3 rad，这个扇形的面积是多少？

在经历了“活动—过程—对象”这三个阶段之后，学生基本可以完成以下心理图式的建立：“弧度制”是一种全新的度量角的方式，利用了弧长和半径;在弧度值以及角度值之间能够完成相互转化，能够就此感受实数和角之间的一一对应关系. 练习阶段为学生设计的两道练习，不仅有助于帮助学生完成正确的换算，还能够在“弧度制”下了解弧长以及扇形面积的计算公式，并且将其用于解决简单的现实问题. 这样，就能够促进学生对所有图示的整合以及优化，也能够帮助他们建立更完善、更具有综合性质的概念心理图式.

总之，APOS理论针对具体的学习过程给出了明确的观点，强调的是引导学生对概念展开主动建构，立足于操作阶段感知数学概念，建立初步表象;在过程阶段完成对数学概念的抽象;在进入对象阶段之后，深入触及数学本质并完成梳理和归纳，最后在图示阶段完成对知识体系的建构. 对于这四个阶段而言，与数学核心素养之间存在着极其紧密的关联. 在“弧度制”一课的教学中，运用APOS理论“四阶段”，使学生经历了从实物抽象出数学研究对象的过程;同时，在问题的引导下激活了学生的求知渴望，并促进学生的深度思考，使其能够大胆猜想、客观推理，当然其中也蕴含了直观思维，这些都与数学核心素养密切相关.