基于HPM视角的高中数学教学探究

梁建辉

[摘  要] 在核心素养理念下，高中数学教学目标从传统的“双基”拓展到“四基”，其中特别强调数学文化在教学中的渗透，因此，基于HPM视角开展数学教学具有重要的意义. 文章以“两角和与差的余弦公式”一课的教学为例，对HPM视角的高中数学教学的意义和操作范式进行论述.

[关键词] 高中数学;HPM视角;探究

HPM是数学史和数学教育相融合的简称，在传统的教学模式下，选择这一模式的教师非常少，大多数教师只关注对学生进行数学知识的传授，所以很多学生在数学学习过程中难以形成完整的体系，并会感到这门学科的枯燥和乏味. 在核心素养的理念下，高中数学教学目标从传统的“双基”拓展到“四基”，其中特别强调数学文化在教学中的渗透，因此，基于HPM视角开展数学教学具有重要的意义. 本文以“两角和与差的余弦公式”一课的教学为例，对HPM视角的高中数学教学的意义和操作范式进行论述.

■HPM模式在高中数学教学中的意义

HPM这一模式的重要意义在于能帮助学生生成亲身体验，感受数学家的真实故事，激发其对数学这门学科的学习热情，改变其错误认知或者片面认知，树立学习自信，并且能够有效地促进学生思维水平的提升和探究能力的培养.

1. 引导数学思维历练

对于学生而言，他们在学习数学知识或者分析现实问题时，就是经历一个空间想象、观察发现以及抽象概括的一系列思维活动以及思维过程. 在核心素养的理念下，教师的有效辅助能引发学生的深度思考，帮助学生面对客观事物生成正确的判断，揭示潜藏于其后的数学现象具有重要的意义. 在数学史中既包括数学概念、数学方法等，也包括其起源以及发展历程，是所有的先辈们经历了艰苦卓绝的研究所总结出的实践成果，同时又具备典型的抽象性以及高度的凝练性，在数学史中蕴含的思维有助于提高学生的数学思维能力. 因此，基于HPM视角开展高中数学教学，能够有效地锻炼学生的数学思维.

2. 进行数学文化渗透

在人类文化中，数学是其中的重要组成部分，而数学教育也不仅仅是针对知识的教育，还应当包含文化教育. 作为数学文化教育的重要载体，选择HPM模式是为了能够使学生在学习数学史的过程中提升个体的文化修养，并还原数学知识的诞生过程，有利于推进学生数学文化的生成. 此外，还能够帮助学生树立正确的数学价值观，并通过数学学习，发现其中的独有之美. 只有学生对数学文化产生浓厚的兴趣时，才会主动了解数学史，了解数学思维的产生过程，感受其发展变化.

3. 促进数学兴趣提升

在高中阶段的数学学习中，既没有游戏，也很少涉及实验，而学科本身的特点也决定了其理论知识的高深莫测，常常使学生产生畏难情绪. 但是，在数学发展史中蕴含了极其深厚的积淀，教师可以在教学枯燥的公式推导或者概念定义的过程中，引入相关知识点的起源以及发展过程，或者也可以说一说相关的故事轶闻，这样就能够提高学习的趣味性，相信会使更多的学生对数学这门学科产生浓厚的兴趣.

■基于HPM视角的“两角和与差的余弦公式”教学探索

以下，笔者结合“两角和与差的余弦公式”一课的教学为例，论述HPM模式在高中数学教学中的具体应用策略.

1. 情境引入

问题情境1：出示30°，45°角，让学生使用不同的方法求它们的正弦值和余弦值.

在自主探究之后，学生纷纷给出了不同的见解，有的使用计算器，有的使用测量，也有的提出使用勾股定理，利用画图的方法对这一问题进行探索：绘制一个斜边为1的直角三角形，然后利用其特殊的性质，引入勾股定理可以了解其他各边的长度，再将对边比斜边，就能分别得出每一个角的正弦值和余弦值.

问题情境2：根据45°和30°的正弦值和余弦值，是否可以求出cos15°？

师：如果使用锐角α和β分别代替45°和30°，是否能够借助α和β的正弦值和余弦值来表示cos（α-β）？

生：cos45°-cos30°=■-■=■，而cos15°=cos（45°-30°）≠cos45°-cos30°，由此可以说明：对于任意角α和β，等式cos（α-β）=cosα-cosβ不成立.

师：那么，究竟应该如何表示呢？接下来，我们走入今天的课堂教学.

2. 公式探究

问题情境3：有两个直角三角形AOC和BO′D，它们的斜边都是1，其中的一个锐角分别为α和β，如何构造α和β？

生1：可以先将两个直角三角形拼接在一起，这样两个顶点O和O′相重合.

师：应该怎样得到α-β呢？

生2：两个顶点重合之后，OC和O′D部分重合（图1），则∠AOB=α-β.

师：因为课堂时间有限，我们从中选择两种方法进行深入研究. 能否使用α和β，分别表示图形中的线段呢？

生：AC=sinα，OC=cosα，BD=sinβ，O′D=cosβ.

師：怎样才能从中找到一条辅助线，使其长度等于cos（α-β）？

生1：过点A作OB的垂线交OB于N，此时ON=cos（α-β）.

生2：过点B作OA的垂线交OA于N，此时ON=cos（α-β）.

师：回答得非常好，想要研究cos（α-β），首先需要了解ON的长度. 那么，使用α，β的正弦值和余弦值，如何表示线段ON的长度？

学生在研究的过程中遭遇到了阻碍，此时，教师对学生进行引导.

师：看起来大家都遭遇了困境，根据现在的解题，是否需要添加新的辅助线？

生1：过点C作OB的垂线交OB于E，则OE=OCcosβ=cosαcosβ，ON=OE+EN.

生2：过点D作OA的垂线交OA于E，OE=ODcosα=cosαcosβ，ON=OE+EN.

师：根据已知的三角形，如何表示线段EN？

生1：过点C作AN的垂线，垂足为F，由此生成一个新的Rt△AFC，其中，CF=ACsinβ=sinαsinβ.

生2：过点B作DE的垂线，垂足为F，由此生成一个新的Rt△DFB，其中，BF=BDsinα=sinαsinβ.

师：根据已经表示的线段的长度，能否将cos（α-β）与α，β的正弦值和余弦值之间建立关系？

生1：因为ON=OE+EN=OE+CF，由此可以得出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生2：因为ON=OE+EN=OE+BF，由此可以得出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：上述推导所建立的前提是α和β为锐角，如果其为任意角，这一结论是否仍然成立？

生：当α和β在其他范围内时，可以根据诱导公式证明其成立.

板书：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（α，β为任意角）.

师：上面的推导过程我们选择了几何推导法，你是否还有其他更简便的方法？回忆上述的推导过程，你是否可以找到一个更便捷的几何模型，使其可以直接推导出任意角的前提下两角差的余弦公式？

先播放微视频，借助板书呈现两点间距离公式及其推导方法，具体内容如下：

借助帕普斯模型为我们树立了直观感知，但是对于古代的数学家而言，仅满足于验证锐角的情形，随着知识的拓展和深入，越来越多的数学家开始关注这一结论是否适用于任意角的情形. 利用帕普斯模型所推导出的公式，还需要在诱导公式的辅助下进行推广，具有较高的烦琐性. 1941年，E. J. McShane对公式进行了再次推导：在一个单位圆中，α和β为任意角，其边分别与单位圆相交于B（cosα，sinα），C（cosβ，sinβ）两点. 将△BOC以顺时针的方向进行旋转，OC与OA重合，OB与OD重合，此时，点D的坐标为（cos（α-β），sin（α-β）），由AD=CB，根据两点间距离公式可以推导出两角差的余弦公式.

实际上，这也是教材为我们呈现的证明方法，通过数形结合的方式，完成了顺利推导，也能够了解其适用于任意角的情形.

师：如果了解了两角差的余弦公式，你是否可以推导出两角和的余弦公式？

生：cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosα·cos（-β）-sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

教师补充并完成板书.

3. 公式应用

呈现习题：

（1）請你根据今天所学过的知识求出cos15°和cos75°的值.

（2）化简：cosαcos（60°-α）-sinα·sin（60°-α）.

（3）你能利用两角和与差的余弦公式证明“cos（π-α）=sinα”吗？

由学生自主探究、自主回答，目的是为了帮助学生提高对公式的运用熟练度，还能够从中体会三角代换思想，为接下来的深入学习打下良好且扎实的根基.

4. 课堂总结

基于帕普斯模型，从中提炼出两种方法，其核心思想都是构造直角三角形，由此提炼出三角函数线段，因此，这一方法具有极强的直观性特点;旋转法的典型优势在于便捷简单，能够直接求出任意两角差的余弦公式，同时也是对帕普斯模型的有效突破.

总之，在本课的教学中，在于HPM视角下基于两种不同的几何模型，完成对两角差的余弦公式的推导，有助于培养学生的逻辑推理素养以及直观想象素养. 微视频中所呈现的是相关知识点的发展历史，是对学生视野的有效拓宽，可以使学生在深度学习的过程中，充分感受到数学知识所潜藏的人文精神. 在高中数学教学实践中引入HPM模式，能够提高课堂教学的趣味性，能够帮助学生追根溯源，找到知识的发展起源，感受其发展历程，体会知识的魅力，全面提高学习兴趣.