具有随机丢包的网络控制系统故障检测∗

俞奇慧 杨晓飞

（江苏科技大学电子信息学院 镇江 212003）

1 引言

网络控制系统成本低、安装维护简单、可靠性高，已经在众多领域得到广泛应用。但由于网络带宽有限、网络阻塞和网络连接中断等问题，不可避免地存在时延［1～4］、数据包丢失［5～7］和时序错乱［8～10］等问题，从而导致系统性能降低甚至不稳定。近年来，由于网络控制系统的复杂程度越来越高，规模越来越大，一旦网络系统的设备或者软件出现故障，便会使系统性能失衡；如果故障不能被及时检测到，很可能造成巨大损失，所以人们对网络系统可靠性和安全性的要求也越来越高，因此也掀起了网络控制系统故障检测研究的热潮。

文献［11］分析了实时数据丢包的问题，给出了丢包补偿法与实时修复法，并引入前向误差校正法（FEC法）来描述修复过程。文献［12］考虑了网络控制系统中，存在数据包随机丢失的情况，使用异步动态系统理论分析系统的稳定性，给出镇定控制器的设计方法。文献［13］系统被建模为具有4个模态的马尔可夫跳变线性系统，基于该模型构造新的残差发生器。文献［14～15］考虑了传感器到控制器链路中数据丢包的情况而忽略了控制器到执行器链路中数据丢包的情况。

本文建立存在随机丢包且存在外部干扰及故障的网络控制系统模型，对该系统进行故障检测；构造故障检测滤波器，使用线性矩阵不等式来推导FDF存在的充分条件，使系统满足一定的干扰抑制水平。通过仿真验证方法的有效性。

2 问题描述

考虑如下网络控制系统模型：

其中，xk∈Rm为状态向量；uk∈Rm为控制输入；ωk∈Rp为系统的扰动输入，且 ωk∈L2[ )0∞；fk∈Rl为系统故障；A,B,C,E是具有适当维数且已知的实矩阵；φk为系统的初始状态。

分别考虑传感器到故障检测滤波器通道，故障检测滤波器到执行器通道上的随机丢包；考虑当系统具有随机丢包时，故障检测滤波器可用的量测输出是

其中 yˆk是随机丢包情况下，故障检测滤波器可用的量测输出，D是具有适当维数且已知的实矩阵，αk是传感器到故障检测滤波器通道上的满足Ber⁃noulli分布序列的随机变量，当αk=0时表示数据包丢失，当αk=1时表示数据包传输成功，有

其中，xˆk∈Rn为系统（1）的状态估计，u͂k∈Rh为故障检测滤波器的控制输入，uk∈Rh为被控对象的控制输入，rk∈Rl为残差信号，K∈Rh×n为控制器增益矩阵，L∈Rn×p和 S∈Rl×p分别为故障检测滤波器增益矩阵和残差增益矩阵。

βk是故障检测滤波器到执行器通道上的满足Bernoulli分布序列的随机变量，当 βk=0时表示数据包丢失，当βk=1时表示数据包传输成功，有

本文研究了具有数据包丢失的网络控制系统故障检测问题，考虑到FDF生成的控制输入通过网络传输给受控对象时，存在数据包丢失的情况，因此用两个Bernoulli分布序列分别处理传感器到故障检测滤波器通道，故障检测滤波器到执行器通道上的数据丢包。

根据式（1）、（6）和（8）可以将系统模型转化为

将式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）和（12）代入式（13）、（14），得到闭环控制系统

根据式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）和（16），可以得到如下的闭环控制系统：

为了判断故障的发生，构造如下的残差评价函数Jk、阈值Jth，当Jk大于Jth时，表示有故障发生，这时会有一个报警；选择残差评价函数Jk和阈值Jth如下：

其中，l0为初始评价时刻，L1为评价函数的最大时间步长。

故障是否发生是通过以下故障检测逻辑来判断的：

定理1［16］对于系统（15），当 υk=0 时，存在常数 ρ＞0和 τ∈(0,1)，使

则称系统为均方稳定。

本文的目的是构造如式（6）的故障检测滤波器，使系统满足：

1）当 υk=0时，系统（15）均方稳定。

2）对于给定的标量γ＞0时，下面的不等式适用于任何零初始条件。

3 主要结果

定理2［17］对于给定的标量 γ＞0 时，系统（15）均方稳定且H∞范数界为γ，如果存在矩阵P＞0，以及矩阵K、L、S满足如下不等式：

证明：选择如下形式的Lyapunov函数

在式（24）和（25）中，假设初始条件为零，从文献［18］的引理2可知

通过schur补引理对矩阵ψ进行拆分可知，式（26）中同时含有P和P-1，因此不等式是非线性的，当 ψ＜0时，式（22）成立；通过式（26）可知，JN＜0意味着式（21）成立。

当 υk≡0 ，通过式（23）和 Schur补引理可知E{∆ Vk} ＜0，参考文献［19］的方法可证系统（20）均方稳定。

定理3对给定的标量γ＞0时，系统（15）均方稳定且 H∞范数界是γ，控制器增益K=K͂TW-1，故障检测滤波器增益 L=LˉTM-T，残差增益S=SˉTM-T，如果存在矩阵 W,K͂,Lˉ,Sˉ,M 满足如下约束条件：

M,M1,G2是式（15）中定义的矩阵。

证明：定义：

将式（23）分别左乘、右乘 ∆ 和 ∆T，因为式（28）有涉及到等式约束问题，这会使数值计算变复杂，以下给出消除此问题的方法。

对给定的列满秩矩阵DT，存在两个正交矩阵X ∈ Rn×n、Y ∈ Rl×l，使

引理1［20］令 DT是列满秩矩阵，如果矩阵W可以写为

其中，W11和W22为具有适当维数的对称正定矩阵，X1和 X2已经在式（29）中定义，则存在非奇异矩阵M使得WDT=DTM。

基于定理3和引理1，可得结果如下：

定理4 对给定的标量γ＞0时，系统（15）均方稳定，H∞范数界为γ，控制器增益，故障检测滤波器增益，残差增益如果存在矩阵W11,W22,K͂,Lˉ,Sˉ使不等式（31）成立。

把式（27）中的W 用 X1TW11X1+X2TW22X2替换，则 Γˉ11,Γˉ13,Γˉ14,Γˉ15, Γˉ16, Γˉ17, Γˉ18,Γˉ33，Γˉ44, Γˉ55, Γˉ66可 分别由式（27）中的 Γ11,Γ13，Γ14,Γ15,Γ16,Γ17,Γ18,Γ33,Γ44,Γ55,Γ66得到。

证明：控制器的增益可直接通过K=K͂TW-1得到；结合以上的定理3和引理1，式（28）和式（29），可以得到M-T=YΦW1-11Φ-1YT，再根据 L=LˉTM-T，S=SˉTM-T可以得到故障检测滤波器增益和残差增益。证毕。

注意：在线性矩阵不等式（25）和（26）中，对控制器增益矩阵K，可通过Matlab工具箱使最小，可进一步优化故障检测滤波器。

4 实例仿真

考虑网络系统（1）和量测系统（3）所得结果的有效性，根据以下参数矩阵：

选择式（16）的初始条件为 xk=0,ek=0,∀k∈Z-，采样周期T=1s，故障信号 fk和外部干扰ωk分别为

对于给定的α和 β，不等式（22）通过LMI工具箱求解，最小衰减抑制水平限制γ和故障检测滤波器参数可以同时得到。对给定的α=0.93,β=0.91，可解得 γmin=1.5632，残差权值 S=0.9014，控制器增益矩阵K=[0 . 8374 0.6546]T，故障检测滤波器增益矩阵L=[- 0.3164 -0.1016]T，闭环系统状态和状态估计误差如图1～2所示，在25s～45s，系统波动比较明显，但经过滤波器作用后，系统恢复到平稳状态，系统性能较稳定，且满足H∞性能。

图1 闭环系统状态

选择残差评价函数为

图2 状态估计误差

图3 显示无故障时残差信号rk，图4显示残差评价函数Jk和阈值曲线。

图3 残差信号

图4 残差评价函数和阈值

从图中可以看出，当故障发生时，残差信号和残差评价函数都有明显变化，且此时残差评价函数迅速超过阈值；本文所提方法，阈值为Jth=0.4817,J29=0.4619,J30=0.5125,可知故障发生后，在5个时间周期内被故障检测滤波器检测到。

5 结语

本文研究了具有随机丢包的网络控制系统故障检测问题，考虑双通道上随机丢包情况，构造基于观测器的故障检测滤波器，利用线性矩阵不等（LMIs）证明滤波器存在的充分条件。仿真验证了所提方法的有效性。