适用于单快拍的MSCS改进算法∗

徐 姝 陶永生 梁仕杰

（江苏科技大学电子信息学院 镇江 212003）

1 引言

波达方向角（Direction of Arrival，DOA）一直是阵列信号处理的热门内容，受到许多学者的关注。DOA估计大体上可以分为如下两类：一类是以常规的 CBF（Conventional Beamformer，常规波束形成）和 MVDR［1］（Minimum Variance Distortionless Re⁃sponse，最小方差无畸变响应）等为代表的非子空间 类 算 法 ；一 类 是 以 MUSIC［2～3］（Multiple Signal Classification，多重子空间分类算法）、ESPRIT［4］（Estimating Signal Parameter via Rotational Invari⁃ance Techniques，旋转不变子空间法）以及衍生算法为代表的子空间类超分辨算法。传统的波束形成受制于瑞利限且分辨率低。美国学者Schmidt提出了经典的MUSIC算法［5］，突破瑞利限，该类算法都是基于特征值的分解，为取得良好的估计性需要成百上千的快拍数，且需要将信号源个数作为先验信息，该类算法在处理数据协方差矩阵和谱搜索时计算复杂度巨大，实际工程［6～7］应用困难。ESPRIT算法虽然是免搜索算法，但是该算法要求阵列结构具有旋转不变的特性。为此 Yan［8～10］等提出一种MSCS（MUSIC Symmetrical Compressed Spectrum，MSCS）算法，此方法构建镜面辐射源，映射在对称区间产生一个等幅度的谱峰，所以只需要在半谱内进行搜索后对数据加以判别，可获得信源方位信息。虽然此方法将谱搜索的运算量减少了一半，但无法有效地适用于单快拍的情况。

短快拍侧向的算法［11～12］主要集中在卫星通信与军事的研究上。当阵列接收的数据有限及运动目标在高速的条件下，可以对运动目标进行实时处理，且拥有很好的DOA估计精度，为高速运动下的目标提供了很好的跟踪与定位技术。而单快拍侧向算法［13～14］因为其达到了短快拍侧向的极限，因此被单独归为一类研究。近年来，许多专家学者将目光锁向少快拍甚至单快拍的阵列信号处理。

本文分析了MSCS算法不适用于单快拍的原因，并对其进行了改进，提出了一种适用于单快拍的 MSCS（Improved-single-snapshot MSCS，ISSMSCS）算法，该算法对原MSCS算法进行了改进，通过单快拍阵列接收信号构建一个伪协方差矩阵，使得算法适用于单快拍阵列。

再将共轭增强法运用到伪协方差矩阵中，增强算法的整体性能。实验仿真证明本文算法适用于单快拍阵列，且提升了算法侧向精度。

2 信号模型及相关算法

2.1 信号模型

假设远场波导条件下有K个窄带信号源入射到M个均匀线阵（uniform Linear Array，ULA）上，定义其入射角度为 θ ，θ={θ1,θ2,…,θK}，每个阵元之间的距离为d，故其阵元接收数据模型如下：

式子中，A(θ)为阵列方向矩阵其表达式为 A(θ)=[a(θ1),…,a(θK)]，其中，a(θk)为 M×1维的导向矢量，任取第k个波达角，可表示为 a(θk)=[1,e-j2πdsin(θk)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θk)/λ]TS(t)=[s1(t),…,sK(t)]T为信号源矢量，N(t)=[n1(t),…nM(t)]T为M×1维噪声矢量，符号T代表转置运算。设每个阵元的噪声为相互独立的零均值高斯白噪声。可得阵接收数据的协方差矩阵用R表示，则R可由下面表达式求得：

其中，Rs=E[S(t)SH(t)]表示信号的协方差矩阵，表示噪声功率，I为M阶单位矩阵，符号H表示共轭转置。对R进行特征分解得：

式中，US=[u1,u2,…uk]为信号子空间；US=[uk+1,uk+2,…uM]为噪声子空间；Σs=[λ1,λ2,…,λk]为对角矩阵，其元素按照大小排列为 λ1≥λ2≥…≥λk＞λk+1=…=λM=σ2n。实际应用中，只能得到协方差矩阵R的估计值采样协方差矩阵R'，通常取：

2.2 MSCS算法不适用于单快拍的原因

MSCS算法是建立在MUSIC算法原理的基础上，其主要思想是构造共轭噪声子空间，再对噪声子空间与其共轭子空间的交集进行奇异值分解得到。其物理意义为空间信号源以原点为对称的位置构建等幅度等数量的镜面信号源。设阵列为均匀线阵，空间内存在一个窄带远场信号源P，其到达角度为θ1。根据欧拉公式与奇函数的性质，对导向矢量a(θ1)进行取共轭处理，可得下式：

根据正交性原则已知aH(θ1)UN=0，对该式的左右两边进行取共轭可得：

由上述推导可知，信号源P在以原点为对称的位置存在一个镜面信号源P'，即两者的入射角度为相反数。前者的导向矢量与UN满足正交原则，后者的导向矢量与U*N满足正交性原则，两者分别对应的导向矢量为复共轭关系。根据上述原理，可对MUSIC算法空间谱函数对称压缩，构造了一个新的谱函数：

再对式（8）在［-90000］或［00900］范围进行谱搜索，得到所有谱峰对应的入射角度。再将正半轴半或负半轴所有谱峰对应角度代入公式≈0进行判别，若成立即为真实信号源，若不成立即为镜面信号源，再进行取反操作，从而得到真实的全部方位角。

如果只有一个快拍可用，由式（4）可知，采样协方差矩阵的秩为1，而信号子空间的秩是大于信号个数的，所以利用R'的特征分解无法辨别出信号子空间与噪声子空间，因此MSCS算法不适用于单快拍。

3 ISS-MSCS算法

3.1 伪协方差矩阵构造方法

伪协方差矩阵构造方法的主要思想是：在单次快拍的情况下，将阵列所接收信号作为可利用信息，构造一个伪协方差矩阵且满足矩阵的秩为信源个数；再对该矩阵进行特征分解构建MSCS算法的空间谱函数。该矩阵可写为 Y=Aˉ(θ)DAˉ(θ)，其中 D为 K × K 维 的 满 秩 矩 阵 ，Aˉ(θ)=[aˉ(θ1),aˉ(θ2),…,aˉ(θk)]为 H×K 维的均匀线阵阵列流型矩阵，且满足H小于M。aˉ(θk)中第p个元素的数学表达式为exp{j[φn+(p-1)∆φn]}，式中 ∆φk=(2π/λ)sinθk。应满足H＞K，这样所构造的伪协方差矩阵满足秩为K，即Y是H×H维的。

矩阵Y的元素Y(p,q)表达式为

式中：dnω为矩阵D的元素。

其中矩阵的可用信息的表示式如下：

若矩阵D是对角矩阵时，则式（9）可写为

此时，若矩阵D的对角不为0，即为满秩矩阵，从而伪协方差矩阵 Y 可写为 Y=Aˉ(θ)DAˉ(θ)。由上述可得，伪协方差矩阵最终由式（10）所构造。

根据式（10）可得，阵列所接收的M个信号相位以等差数列的形式分布在区间[φn,φn+(M-1)∆φn]内，且相位参考点的选取决定了φn的取值。上述即为伪协方差矩阵构造时的有用信息。

设Sn=S*n，可得：

式（12）的相位以等差数列的形式位于[-φn,-φn-(M-1)∆φn]区间内，因此增加了可用的信息量。

根据上述的原理，令 H=M ，φn=0，dnn=Sn再代入式（11），可得此时伪协方差矩阵的表达式为

3.2 共轭增强方法

为了进一步提高算法性能，充分利用阵列输出数据的共轭信息，在式（13）的基础上，构造以下伪协方差矩阵：

式中：J为交换矩阵，其反对角线元素为1，其他元素为0。

由于式（12）可知，此方法将M×M 维伪协方差矩阵拓展为M×2M维。

对拓展的伪协方差矩阵进行二阶积累［15］，公式如下：

3.3 本文算法流程

1）通过单快拍采样信号利用式（13）构造出伪协方差矩阵Y；

5）在［-90000］或［00900］范围进行谱搜索，得到所有谱峰对应的入射角度。

6）最后将所得方位带入判别式：‖aH(θ )UN‖ ≈0，若判别式成立即为真实信号源，若不成立即为镜面信号源，再对镜面信号源进行取负值，从而得出所有波达角。

4 仿真分析

4.1 性能分析

为了验证本文算法的估计性能，这里将ISS-MSCS算法与未进行共轭增强的基于伪协方差矩阵单快拍MSCS算法进行比较。设阵元数为10，阵元间距为半波长的均匀线阵，快拍数为1，信噪比为-5dB。将入射角度设置为-30°、60°，搜索步长为 1°，搜索范围为［-90°，90°］，仿真图如图 1所示。图1可以看出在两种算法在-30°的正半轴30o，在60°的负半轴-60°形成等幅度的谱峰，说明了两种算法经过伪协方差重构后，都可以适用于单快拍侧向；ISS-MSCS算法在经过共轭增强后，对比未进行共轭增强的基于伪协方差矩阵的单快拍MSCS算法，本文算法旁瓣压制的更低，谱峰更加的尖锐，具有较好的信号分辨能力。

图1 两种算法的空间谱图

4.2 成功率分析

阵元数为10的均匀线阵，阵元间距为半波长，将入射角度设置为30°、60°，取信噪比从-8dB，按照-2dB的间隔增加至12dB，快拍数取1，进行100次独立计算机仿真实验，算法成功的偏差范围为0.5o，成功率定义为成功次数与总实验次数的比值，仿真结果如图2所示。由图2可知，在单快拍情况下，两种算法的成功率随着信噪比的增加而提高；在相同信噪比下，本文所提ISS-MSCS算法的成功率优于未进行共轭增强的基于伪协方差矩阵单快拍MSCS算法。

图2 两种算法的成功率

4.3 标准差分析

仿真条件不变，仿真结果如图3所示。由图3可知，在单快拍情况下，两种算法的标准差随着信噪比的提高而降低；在相同信噪比，本文所提ISS-MSCS算法的成功率优于未进行共轭增强的基于伪协方差矩阵单快拍MSCS算法。

图3 两种算法的标准差

5 结语

本文提出了适用于单快拍的MSCS算法，该算法对原MSCS算法进行了改进，将伪协方差矩阵构造法与共轭增强法相结合。仿真实验表明：ISS-MSCS算法适用于单快拍阵列，有较好的信号分辨能力且侧向精度优于未进行共轭增强的基于伪协方差矩阵单快拍MSCS算法。