一道圆锥曲线高考题的探究与发现

喻秋生

(广东省深圳实验学校高中部 518055)

一、问题的提出

2018年高考新课标全国卷Ⅰ理科第19题、文科第20题都是关于两角相等问题，试题如下：

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

文科：设抛物线C：y2=2x，点A(2,0)，B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M,N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM=∠ABN．

在理科试题中，给出的点F、点M以及文科试中题给出的点A、点B都是特殊点，如果这些点是坐标轴上任给的定点，结论又会怎样呢？我们先对椭圆提出下列问题：

二、问题的探究

我们先讨论点M在x轴上情况，根据椭圆的对称性，当l的斜率不存在时，直线l与C的两交点A,B关于x轴对称，要使得∠NMA=∠NMB，则点N在x轴上．

设点M坐标为M(m,0)(|m|>a)，点N坐标为N(n,0)(|n|

∵当∠NMA=∠NMB时，kMA+kMB=0，

接下来我们对点M在y轴上的情况进行探究．根据椭圆的对称性，当l平行于x轴时，直线l与C的两交点A,B关于y轴对称，要使得∠NMA=∠NMB，则点N在y轴上．设点M坐标为M(0,m)(|m|>b)，点N坐标为N(0,n)(|n|

∵当∠NMA=∠NMB时，kMA+kMB=0，

因此，我们得到下面结论：

在结论1中，点M在椭圆外，点N在椭圆内，或者点M在椭圆内，点N在椭圆外，我们可类似地推出下列结论(证明略)．

三、问题的推广

前面我们对椭圆中这类问题进行了探究，用同样的方法对双曲线、抛物线进行探究，可以得出类似的结论(证明过程略)．

结论5 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，M(-m,0)(m>0)为定点，则存在唯一点N(m,0)，使得过点N任作直线l与抛物线C相交于A,B两点时，均有∠NMA=∠NMB．

结论6 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，M(m,0)(m>0)为定点，则存在唯一点N(-m,0)，使得过点N任作直线l与抛物线C相交于A,B两点时，均有∠OMA=∠xMB．

三、问题的再推广

在前面的结论中，点M在坐标轴上，如果点M是平面上任意点，那么满足条件的点N是否仍然存在？经过探究，我们又有下列结论(证明过程略)．