独立性检验的基本思想及其初步应用

王雨风

(广西省全州高级中学 广西桂林 541500)

一、独立性检验的基本思想及其初步应用分析与反思

教学“独立性检验的基本思想及其初步应用”这节内容之前，学生已经对统计和事件独立性的概念，以及回归分析的基本思想与应用有了认识与了解，为“独立性检验的基本思想及其初步应用”教学奠定了基础，但“独立性检验”对学生来说还是全新的知识，这就需要教师选用合适的教学方式，为学生起到引导作用，使学生逐渐深入，主动发现问题、分析问题并解决问题。

完成“独立性检验的基本思想及其初步应用”教学之后，有以下几点需要反思：第一在讲授新课阶段，通过创设问题情境的方式，开展学生小组合作学习，有利于激发学生的探究欲，吸引学生注意力，提高学生合作意识，便于学生尽快将思绪拉回课堂，但在具体教学过程中，学生不能完整地表达自己的想法，之所以会出现这种问题，主要是因为在开展小组合作时，学生没有积极参与，导致小组合作流于形式，教师自身也没有起到很好的引导作用，导致学生无法主动融入课堂，为此，在今后教学中，教师一定要充分发挥自己引导者的作用，不管是学生自主学习还是小组合作探究，教师都要及时为学生提供指导，使学生的思绪能与课堂教学内容相一致；第二，列2×2联表是本节课学生需要掌握的知识点，但关于变量的类别学生存在一定的疑点，不能对其进行正确的表述，在独立性检验结论表达方面也存在不完整的现象，需要教师加强对学生的训练，拓展延伸是一种有效的锻炼方式，教师可以多为学生列举关于独立性检验的试题，让学生不断运用新知识解决问题，使学生的表达更加完整；第三，“独立性检验”会涉及数字计算方面的内容，为了让学生易于理解与掌握，在问题设置上，选择的数据都是比较简单的，有利于减少学生计算量，但有部分学生依然还会出错，在今后的数学教学中，教师要针对学生计算能力弱这一问题要加强训练，可以为学生创设关于数字计算方面的小游戏或小活动，让学生在寓教于乐中提高自己的计算能力[1]。

二、独立性检验的基本思想及其初步应用反思策略

（一）导入新课，创设情境

首先，教师通过多媒体向学生出示关于“分类变量”的定义——对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，它们的取值一般是离散的，且不同的取值仅表示个体所属的类别。并以性别为例向学生解释何为分类变量，例如，性别主要分为男跟女两类，这便是性别变量，而取值则是男和女两种，随后以表示男、女符号图片的形式向学生展示，使学生更加具体地了解分类变量的定义。其次，提出问题“吸烟与患肺癌有关系吗？如何通过数学知识进行说明”，并根据这一问题列联表。某医疗机构为了研究吸烟与患肺癌是否有关系这一问题进行了随机抽查，抽查对象为9965人，其中不吸烟也没有患肺癌的为7775人，不吸烟患肺癌的有42人，吸烟但没有患肺癌的有2099人，吸烟患肺癌的有49人。根据以上调查结果列2×2联表，如表1。最后，引导学生对以下问题进行思考与分析：根据图表，是否可以判断吸烟与患肺癌的关系，吸烟与不吸烟患肺癌的可能性大小是否存在差异？总结：通过图表可以直观看出：吸烟与不吸烟的群体患肺癌的可能性存在差异，吸烟群体患肺癌的可能性比较大。

表1

（二）小组合作，谈论交流

根据以上图进行讨论：吸烟与患肺癌有直接的关系，但是这种判断是否可靠？如何对这种结果进行检验？让学生以小组合作的方式针对以上问题进行谈论与交流，在此过程中，教师要发挥自身引导者的作用，及时为学生解疑答惑。

假设H0：吸烟与患肺癌之间没有关系。A表示不吸烟，B表示没有患肺癌，则吸烟与患肺癌没有关系，说明吸烟与患肺癌是独立的个体，即假设H0等价于P(AB)=P(A)·P(B)，以列联表的方式得出表2。

表2

即(a+b+c+d)·a≈(a+b)·(c+a)

ad≈bc

探究问题1：｜ad-bc｜的大小说明了什么？

分析得出：｜ad-bc｜越小，吸烟与患肺癌的关系越弱；越小，吸烟与患肺癌的关系越大。为了确保不同样本容量的数据有统一的判断标准，根据以上得出的结果构造随机变量。其中n=a+b+c+d为样本容量。

探究问题2：K2的大小说明了什么？

结果：倘若H0成立，则说明吸烟与患肺癌之间没有关系，得出：K2应该很小。

根据表1中的数据，利用公式（1）对K2的观测值进行计算，得出：

在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)≈0.01 （2）

根据（2）可以得出：在H0成立的情况下，K2的观测值超过6.635的概率比较小，近似为0.01，属于小概率事件。

公式（1）得出K2的观测值K≈56.632，大于6.635，所以，H0不成立，由此可以得出：吸烟与患肺癌有关系。

（三）形成概念，重点精讲

当学生对独立性检验的相关知识有了初步认识与了解之后，则需要以此为基础，使学生形成具体的概念，并对重点知识进行精讲。

以上用到的方法为反证法，要想对两个分类变量之间的关系进行判断，其步骤为：首先，采用假设结果不成立的方式来解决问题，H0：两个分类变量没有关系（这种假设背景下的k应该很小）；其次，根据观测数据计算K2的观测值k，倘若k的值很大，则说明H0不成立，即两个分类变量之间有关系；最后，以k的值来对两个分类变量是否成立进行判断。临界值表，表3。

表3

倘若k＞2.706，则说明有把握证明“X与Y有关系”；

倘若k＜2.706，则说明没有充分的证据显示“X与Y有关系”。

利用公式（1）对K2的观测值进行计算，得出：

总结：利用随机变量K2来对两个分类变量有关系进行判断的方法称之为独立性检验。

（四）运用新知，扩展延伸

学生在对独立性检验的方法与步骤了解与掌握之后，教师可以引导学生学以致用，让学生利用独立性检验解决实际问题，既可以起到巩固知识的目的，又能够提高学生对所学知识的应用能力。

例题：某社区为了调查老年人是否需要志愿者提供帮助，用随机抽样的方法对本社区500位老年人进行了调查，调查结果如下图所示。

?

能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该社区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关系吗？

根据列联表中的数据，得出K2的观测值为：

三、结束语

总而言之，高中阶段的学生具有较强的学习目的性，思维独立和自觉性都比较高，为此，选择与学生身心发展相适应的教学方式是促进学生自主探究能力与思维能力发展的关键点，并通过课例分析与反思的方式不断改进教学水平与教学方式，以此提高教学质量。