二维太赫兹光子晶体能带结构研究

刘荣青

摘  要：文章应用平面波法和时域有限差分法研究了二维太赫兹光子晶体TM模能带结构。研究发现，当晶格常数a=100×10-6m，介质柱半径R=0.3a时，可以得到TM模式下THz波段的最佳能带结构。此研究结果对高速率、超宽带THz通信系统的发展具有重要的指导意义，为太赫兹波器件的开发提供重要理论依据。

关键词：太赫兹;二维光子晶体;平面波法;时域有限差分法;禁带

中图分类号：O734         文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）07-0009-03

Abstract： In this paper， plane wave method and finite-difference time-domain method are used to study the band structure of TM mode of 2D terahertz photonic crystal. The study found that when the lattice constant is 100×10-6m and the dielectric column radius is 0.3a， the best band structure of THz band in TM mode can be obtained. This research result has important guiding significance for the development of high-speed， ultra-wideband THz communication systems， and provides an important theoretical basis for the development of terahertz wave devices.

Keywords： terahertz; two-dimensional photonic crystal; PWM; FDTD; band gap

引言

太赫兹（THz）指的是辐射区域处在波谱中微波波段与红外波段之间，频率从0.1-10THz的电磁波[1]。THz波拥有频谱范围宽、容量大、穿透性好、传输速度快等优点[2]，人们预言它在物理、医学、生物、材料乃至军事等方向上存在潜在的研究价值。THz波的高带宽性能使其在快速进步和发展的无线通信方面也具有非常广阔的发展前景[3]。因为THz波在自由空间中传播时的能量损耗较大，所以如何研究出便于操控THz波传输并且有利于各个器件之间连接和耦合的波导型功能器件非常关键。在探索无线通信发展的过程中，波导型功能器件也展示出了举足轻重的作用。光子晶体[4]作为一种由不同介电常数的介质在空间中周期性排布而构成的新型人造材料，形成了一定的光学禁带和通带。光子晶体发生布拉格散射形成了禁带，禁带频率范围内的光波无法在此结构中传输。假如破坏晶体的结构，形成了缺陷态，就可以很好地局域某些频率的电磁波。另外，在微波和紅外光之间，THz波段的光子晶体较红外波段的光子晶体更容易制作，较微波波段的光子晶体更便于集成[5]。

本文结合“光子晶体”与“太赫兹”两大光学研讨热门领域，运用平面波方法[6]和时域有限差分方法，通过模拟软件对光子能带结构进行模拟计算，为实际制作二维太赫兹光子晶体的波导结构提供了模型参照。

1 能带计算理论分析

1.1 平面波法

在光子晶体能带结构计算的理论研究中，平面波法（PWM）不仅是最广泛应用的，而且还是最早使用的计算方法。其主要思想是首先把光子晶体中传播的电磁波展开为一系列平面波叠加的形式，同时按照相同的方式也把光子晶体的介电常数进行处理，然后代入Maxwell方程组，把它转换为本征方程，求解出来以后就可以获得本征频率和本征模态，从而确定光子晶体的禁带大小。PWM法的缺点是收敛速率不够快，在求解含有缺陷的光子晶体禁带时，通常会因为计算能力受到局限而很难得到高效准确的禁带范围。

1.2 时域有限差分法

时域有限差分法（FDTD）在1966年由Kane S.Yee提出，近些年，随着计算机计算能力的快速提升，FDTD法被逐渐普遍应用在电磁场的数值计算中。它的主要原理是在时间和空间上将电磁场的E、H分量采用交替抽样的离散方式，把Maxwell方程在Yee氏网络空间中直接换算为差分方程，随着时间的推移逐步求取时间轴上空间各个网格点的电磁场。时域有限差分方法计算得到空间格点的势场等量，经过傅里叶变换后就可以得到布里渊区边界上的特征频率，这些频率的集合就是能带结构。由于在差分方程中被模拟空间电磁性质的参数是按照空间网格确定的，因此，只要在相应空间网格点设置合适的参数即可高精度且高效模拟非均匀性和非线性介质结构。FDTD方法的优势在于简单、直观，并且易于编程，使用这种方法能够减少计算机的计算量和内存。此外，FDTD法不仅可以研究完整均匀的光子晶体，而且可以研究缺陷态，这是它和PWM法最大的不同之处。

2 仿真结果及讨论

2.1 完整二维光子晶体仿真模型

正方形晶格排列的完整二维光子晶体仿真模型如图1所示，TM模式，采用19×19的介质柱分布在真空中，实际仿真参数设置如下：介质柱半径用R来表示，晶格常数a=100×10-6m，即100μm。介质柱材料选用与半导体集成工艺兼容性良好的高阻硅。这是由于高阻硅在微波与红外之间的太赫兹波段几乎是透明的，具备较高的介电常数（11.7）和较低的吸收系数（大约为0.04cm-1）。选用高阻硅作为二维光子晶体的材料还有一个重要原因是由于硅技术是现阶段相对来说比较先进和成熟的半导体技术[7]，实际制作起来相对于其它材料稍微容易一些。

2.2 完整二维光子晶体能带计算

运用PMW法，使用matlab软件，求解完整二维光子晶体的能带。从实际的角度来讲，计算得到的光子晶体的禁带频率范围越宽，光子晶体的结构性能就越优胜。其它结构参数保持不变，将介质柱半径R增大或者减小的时候，禁带宽度会随着占空比的变化有所改变，如图2所示。图2（a）为R=0.2a时TM波的能带图，图2（b）为R=0.3a时TM波的能带图，图2（c）为R=0.4a时TM波的能带图，归一化频率的表达式为ωa/c。从图2（a）、2（b）、2（c）中可以很清楚地看出不同R的光子晶体能带结构中均含有三条禁带，其中中间那条禁带最宽，上面那条禁带最窄，研究光子晶体传输特性一般选择最宽的禁带来进行讨论。R=0.2a时最宽禁带的归一化频率范围约为0.4532-0.5258，R=0.3a时最宽禁带的归一化频率范围约为0.4245-0.5076，R=0.4a时最宽禁带的归一化频率范围约为0.4028-0.4744。通过比较得知，R=0.3a时TM波禁带宽度最宽，能带图是最佳的，其禁带范围分别为0.7102-0.9062THz、1.2735-1.5228THz、1.9662-2.0544THz。

由于使用PWM法难以精确求解含有缺陷的二维光子晶体的能带，接下来采用FDTD方法研究两种缺陷态。利用FDTD Solutions软件建模仿真，分析研究缺陷态光子晶体的能带结构。首先计算了R=0.3a时完整二维光子晶体TM波的能带结构，如图3所示。从图3中可以看出，完整二维光子晶体TM波禁带范围大约为0.7139-0.8572THz、1.2705-1.5119THz、1.9872-2.0318THz，和采用PWM法得到的结果接近，从而验证了采用FDTD法计算二维赫兹光子晶体能带结构的可行性。

3 结束语

本文将平面波法与时域有限差分法应用于二维光子晶体能带结构计算，材料选用19×19二维正方晶格硅介质柱分布在空气中，晶格常数a=100×10-6m，当介质柱半径R=0.3a时，可以得到TM模式下THz波段的最佳能带结构。此研究为制作太赫兹光子晶体器件提供重要理论依据，对高速率、超宽带THz 通信系统的发展具有非常重要的参考价值[8]。

参考文献：

[1]徐景周，张希成.太赫兹科学技术和应用[M].北京：北京大学出版社，2006.

[2]Greenland P T. Principles of Terahertz Science and Technology[M]. 2009.

[3]Federici J， Moeller L. Review of terahertz and subterahertz wireless communications[J]. Journal of Applied Physics， 2010， 107（11）：6-323.

[4]Joannopoulos J D，Johnson S G，Winn J N， et al. Photonic Crystals： Molding the Flow of Light[M].Princeton：Princeton University Press，2011：30-90.

[5]Lin S Y， Fleming J G， Hetherington D L， et al. A three-dimensional photonic crystal operating at infrared wavelengths[J]. Nature， 1998， 394（6690）： págs. 251-253.

[6]Guo S P， Albin S. Simple plane wave implementation for photonic crystal calculations[J]. Optics Express， 2003， 119（2）： 167-175.

[7]張伟，王智勇，王文超，等.基于光子晶体耦合波导的宽带慢光研究[J].光学学报，2012，32（2）：162-166.

[8]Ho-Jin Song， Nagatsuma T. Present and Future of Terahertz Communications[J]. IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology， 2011， 1（1）：256-263.