唐巧莉
[摘要]线段和最值问题是中考常见的问题类型.其中“a+k·b”型属于较为复杂的一种,由于系数的存在,解析时需要对其适度变形,转化为一般的线段最值问题,然后按照常规方法来突破.
[关键词]线段;最值;模型
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058(2020)02-0018-02
中考题中经常会出现一些线段最值问题,包含单线段最值和多线段最值问题.有的还涉及系数的线段和最值.问题的类型不同,在探究分析时使用的问题模型、方法和策略也不相同.下面笔者对其中的一类问题加以探究.
一、问题呈现,思路突破
[题目](2019年江苏南通市中考数学卷第18题)如图1所示,在ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,点P是边CD上的一个动点,试求的最小值.
分析:此题以平行四边形为背景,求线段和的最小值.主要考查平行四边形的性质和线段最值的转化,属于涉及系数的线段和最值问题,即“a+k·b”型的线段最小值问题.求解时需要对其中的进行转化,然后利用共线原理确定动点位置,从而完成求解.
解:对进行转化.依托边PD构造直角,延长边AD,过点P作AD边上的垂线,垂足为点Q,如图2所示.分析可知∠QDP=60°,所以.因此可以将问题转化为求解PB+PD的最小值.显然当点B、P、Q三点共线时,可以取得最小值,此时线段BQ⊥AD,则最小值为,即的最小值为.
二、问题溯源,模型提炼
1.问题溯源
实际上,上述考题源自于苏教版教材八年级下册中的“胡不归”问题:从前有一个在A地当学徒的小伙子,得知家乡B地年老的父亲病危的消息后,便向掌柜请假启程赶回家.如图3所示,AC是一条驿道,而驿道靠近目的地B的一侧是沙砾地带,由于急切回家,小伙选择了全是沙砾的直线路径AB.由于他认为走近路必然可以省时间,当他赶回家时,父亲刚刚过世.邻居告诉他,他的老父亲在弥留之际,不断喃喃叨念:“胡不归?胡不归?……”邻居用很可惜的语气问道:“你为什么不先沿驿道走一段呢?”这就是“胡不归”问题.
针对上述问题,有如下思考:应该怎么选择才可以更快到家?由该问题可以生成如下数学问题:设他在驿道上行走的速度为?1,在沙砾上行走的速度为?2,且两者之间有?1=2?2关系.如图4所示.设由点A到点B用时为t1,由点A到点C再到点B用时为t2,则,则问题转化为比较t1和t2的大小,对于后者需要分析的最小值,当取得最小值时,t2必然取得最小值.
的最小值求解,涉及A、B、C三点,需要对其中的进行转化.可以联想直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,作∠DAD'=30°,然后构造直角三角形ACE,如图所示,则,问题转化为求CE+BC其中点C是AD上的一个动点.显然当E,C,B三点共线,且BE垂直于AD'时,CE+BC取得最小值.
2.模型提炼
从上述问题突破的策略中可以形成如下“胡不归问题”数学模型.如图5所示,点P是线段AD上的一个动点,点B是直线外的一个定点,试求PB+k·PA的最小值(0 三、问题拓展,深度探究 1.“胡不归”问题 “胡不归”问题出现的形式是多样的,除了上述的纯几何形式外,还常结合函数出现. [例1]在如图6所示的直角坐标系中,抛物线的解析式为,与x轴相交于B和C,与y轴相交于点A.已知点N(-2,)是抛物线上的一点.试分析在x轴上是否存在一点Q,使得可以取得最小值.若存在,请求出点Q的坐标以及最小值. 解析:在y轴上取一点F,使得∠OCF=30°,然后过点N作CF的垂线,垂足为点H,如图7所示,则.则当点N、Q、H三点共线,且NH⊥CF时,可取最小值.利用点坐标可求出直线CF和NH的解析式,联立可求得交点,且NH=3,即当点Q的坐标为(-1,0)时,可取得最小值3. 2.“阿氏圆”问题 形如“a+k·b”型的线段最小值问题,在初中数学中较为常见.除了上述所提到的“胡不归”问题外,还有“阿氏圆”问题.该问题的突破需要利用阿氏圆定理,其中动点P的运动轨迹为圆或圆弧. [例2]如图8-1所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,与线段BC相切,已知点P是圆上的一个动点,现连接PB、PC,试求的最小值. 解析:点P的轨迹为圆,需要对其中的进行转化.分析可知,的半径为,在AB上取一点Q,如图8-2,从而构造△APQ?△ABP,根据相似性质可得,进一步可得出AQ=1,可定位点Q的位置.连接CQ,与的交点就为取得最小值时的点,设为P',在Rt△AQP'中,AQ=1,AC=2,所以,即的最小值为. 总结:上述是“阿氏圆”问题的解析过程,对于该类问题的求解可以按照如下步骤进行.求图8-3中“PC+k·PD”的最小值,首先确定动点的运动轨迹,连接线段两 个端点与圆心,即图中的OP和OD,并计算两者的长度,以及线段比,然后在OD上取一点M使得,从而完成线段的长度转化.连接CM,则与圆O的交点就为取得最小值时点P的位置.从整个转化过程来看,利用到了三角形相似的性质. 四、解后反思 上述是以一道“胡不归”问题为例,对涉及系数的线段和最小值问题進行探究,并对两种问题模型进行了总结归纳,其解析思路具有一定的参考价值. 1.问题溯源,重视数学教材 “胡不归”问题属于几何最值综合题,从其设计思路以及突破方法来看,严格遵循教材的考查要求和思想.即以教材内容为基础,开展例题的变式拓展,注重基础知识和综合应用能力的考查.新课标特别强调在教学中引导学生进行知识应用和变式探究.因此开展考题探究,应首先追溯问题本源,结合教材例题来提炼问题模型及解法思路,从而使学生对考题的图形结构、数学原理有一个充分的了解.另外,以教材习题为基础开展考题探究,可以充分发挥教材的核心价值,完善学生的知识结构. 2.类型变式,提升数学思维 开展考题探究的意义是为了实现“解一题,通一类即通过对典型考题的结构分析、模型提炼、思路总结,提升学生的理解能力,让学生掌握类型考题的解法,并促进其思维的发展.因此,在实际教学中,教师要进一步引导学生总结该类型考题的解题思想、方法步骤,实现问题的模式化、系统化,从而帮助学生建立直达问题本质的思维通道,提升学生的解题能力. 3.渗透思想,提高数学素养 上述开展线段和最值问题的探究中使用到了线段等长转化的方法,实际上其突破过程还利用了众多的数学思想,如化归转化、数形结合和模型思想.正是在数学思想的指导下完成了分析、求解.因此,在平时的教学中,教师要有意识地渗透数学的思想方法,让学生感悟数学思想的内涵和价值,逐步掌握数学思想方法,促进学生数学素养的提升. [参考文献] [1]卢燕.解读模型原理,感悟线段最值[J].数学教学通讯,2019(11):81-82. [2]周丽芳.建立数学模型思想,提升问题解决能力:以初中数学线段和的最值问题为例[J].中学数学,2018(16):88-90. [3]张娟飞.把握结构特征探究本源解法:初探线段与k倍线段的和的最小值问题[J].中学数学教学参考,2017(18):33-35.