立足教材 浅谈数学思想方法在复习课中的渗透——以中考复习课《二次函数(一)》的教学设计为例

黄淑芬

(福建省漳州第三中学 363000)

一、问题提出

笔者曾开设一节中考复习课《二次函数(一)》的公开课.在磨课的过程中，笔者用较为传统的复习课模式进行试讲，试图从二次函数的定义(一般式)出发，用配方法将数字系数的二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k(本文中a作为二次项系数，a≠0)的形式，再用五点法画出二次函数的图象，进而以图象的直观辅助研究二次函数的性质，最后再对知识进行巩固和运用.但是学生的课堂反应不如预期，复习效果也较差.

对此现象，分析主要原因有：(1)教师没有深入理解教材，对函数的教学只停留在知识结构层面；(2)教师没有遵循学生的认知规律，没有厘清知识间的关系；(3)教师没有设定好中考复习课的教学功能，对数学思想方法的渗透不够自然.

二、问题分析

回归教材，对于函数的教学，教材设计均是通过对实际问题的分析，建立函数模型，再对函数的图象与性质进行探索，最终解决实际问题.这是研究函数的一般程序.如果在九年级的中考复习课中，仍按照学习函数的一般程序进行复习，那么就会忽略对二次函数的特殊性的理解，知识的构建没有针对性.遇到具体的二次函数问题，学生仍不能较好地分析解决.

在方法上，对于二次函数的图象和性质的研究，教材化复杂为简单，从具体的、特殊的二次函数y=ax2出发，先研究函数的图象，再由图象的特征分析函数的性质.这是研究函数的一般方法.因此，在教学中，教师可以以学生的认知起点出发，从特殊到一般，从“数”到“形”，再从“形”到“数”，引导学生整体把握二次函数表达式与图象之间的联系，抓住图象主要特征(开口方向，对称轴，及顶点坐标)，从而构建二次函数知识网络.

三、教学设计

1.学情分析

学生能识别二次函数并知道二次函数的图象是抛物线；能借助图象的几何直观分析函数的性质；但是由表达式得到图象特征，画二次函数的示意图等方面存在困难；已知二次函数表达式，在解决问题时，借助图形分析性质的主动意识也不强.

2.复习目标

立足教材，从二次函数y=ax2的图象和性质开始构建知识，引导学生抓住图象的主要特征(开口方向，对称轴，顶点)，并依次得到函数的对称性，增减性和最值.通过图象的平移变换，由具体到抽象，让学生理解二次函数表达式y=a(x-h)2+k中a，h，k的意义.最终再一般化得到确定二次函数y=ax2+bx+c的图象特征的方法.在过程中，让学生体会“数” 与“形”的结合在解决函数问题时的便利，同时，为学生夯实基础，降低学习难度，引导抓住图象特征，即得到分析函数性质的关键.

3.教学过程

(1)二次函数的图象和性质

活动：画出二次函数y=2x2的大致图象(再用五点法作图).

学生在作图的过程中会经历分析问题(需要确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标)，解决问题的过程.通过动手作图，再次让学生体会抓住作图的关键在于确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，在描点时，从本质上理解(对称性)图形的对称即为点的对称，对称点的连线段被对称轴垂直平分(对称点到对称轴的距离相等)，对称点具有相同的函数值.

问1：借助图象，说说函数有哪些性质？(对称性、增减性、最值)

问2：一般的，分析二次函数y=ax2的图象特征.

方法提炼：抓住抛物线的图象特征，就可以直观得到函数的性质.

【设计意图】从一个特殊的二次函数(y=2x2)的表达式开始，让学生识辨，经历从“数”到“形”，从“形”到“数”的过程，最终得到二次函数y=ax2的图象特征.

问3：将抛物线y=2x2向上或向下平移，说说在图形的变化过程中，图象特征发生了怎样的变化？一般的，分析二次函数y=ax2+k的图象特征.(上下平移对称轴不变，顶点横坐标不变，纵坐标为k)

问4：将抛物线y=2x2向左或向右平移，说说在图形的变化过程中，图象特征发生了怎样的变化？一般的，分析二次函数y=a(x-h)2的图象特征.(左右平移对称轴发生改变，顶点横坐标改变，纵坐标不变，对称轴为直线x=h)

问5：如何平移抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x+3)2-1？说说平移后的图象特征.

问6：一般的，试分析二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征.

【设计意图】：加强学生对函数图象的直观感知.图象的平移过程中，抓住对称轴的变化规律，帮助获得对称轴以及顶点坐标的确定方法，从本质上理解a，h，k的意义.

问7：说说二次函数y=-2(x-2)2+3的图象特征.二次函数y=-2x2+8x-5的图象特征呢？

问8：一般地，说说二次函数y=ax2+bx+c的图象特征.

从顶点式到一般式，让学生通过对比，快速确定解决方案：①运用公式求对称轴，利用顶点的定义即对称轴与抛物线的交点，求出顶点坐标；②对一般式进行配方，把一般式转化成顶点式，直接求出对称轴和顶点坐标.

【设计意图】：学生经历二次函数从y=ax2的特殊形式逐步到y=ax2+bx+c的一般化的过程，对知识体系产生整体性的再认识.同时，获得了研究函数的一般方法，体验了化归与转化的思想方法.

(2)技能固化

练习(1)二次函数y= -3(x+1)2+3 的开口方向是____，顶点坐标____，对称轴是____，说说此函数的性质.

练习(2)二次函数y=x2-2x+c，的开口方向是____，顶点坐标____，对称轴是____，说说此函数的增减性.

【设计意图】：练(1)和练(2)对于顶点式和一般式的分析，获得图象特征，由“数”得“形”，再借“形”得“数”.

练习(3)已知y是x的二次函数，图象过(-1，0)，(0，3)，(2，3)，则该抛物线与x轴的交点的坐标是____.

【设计意图】：学生可以由坐标特征，通过描点分析图象的特征，从而得到抛物线与x轴的交点的坐标；学生也可以从“数”的角度，分析数据特征，得出对称轴，进而再根据对称性求解.

练习(4)已知二次函数y=-(x-h)2+2(h为常数)，求函数的最大值.

变式：当2≤x≤4时，y的最大值为-2，求h的取值.

【设计意图】：这是含参数的顶点式，由表达式确定图象的特征，借助大致图象，分析增减性求最值，渗透数形结合和分类讨论思想.

四、问题思考

1.教材在中考复习中的作用

通过教材的学习，学生在获得新知识的同时，也培养了学习的能力.而在实际的中考复习中，教材的作用已经渐渐的被复习材料替代了.在教学中，教师会建议学生利用课后时间对复习课中相应的知识点，结合教材进行复习巩固，但现实是，学生会因为时间不够，作业量大或不重视等因素而将书本“束之高阁”.如何发挥教材在中考复习中的作用？在本文中《二次函数(一)》的复习便是立足教材，有效帮助学生理清知识间的关系.这种处理方式，让学生在熟悉的情景下，较为容易地对接课堂，夯实基础，为后续“链接中考”作铺垫.在本节课的课堂上，学生的参与度高，学生能在解决问题中，不断获得信心.试想在以后复习课的教学中能否通过合理利用教材，巧妙搭建再学习的平台，让学生在复习课中，发挥课堂的主体作用.

2.数学思想方法的渗透在中考复习中的意义

传统的复习课重在知识的构建和知识的运用，构建的方式一般是思维导图或让学生课前梳理.而方法的提炼主要在例题和练习题的讲解过程中体现.如果教师不进行精心设计，对例题和习题只注重知识点的应用而不注重方法的概括，单纯的依赖复习材料，则很容易“满堂灌”，学生也容易出现“听得懂”，却“不会解”的现象.因此，在中考复习中，数学思想方法的渗透也是教学的重任.在授之于鱼的同时，授之于“渔”.在本文中《二次函数(一)》的复习，教师让学生重新体验探究二次函数图象和性质的过程，着力渗透“数”与“形”结合的思想方法.在练习题的解决过程中，教师发现学生能很好地运用数形结合的方法，化抽象为直观，以帮助解决问题.此外，学生又可以从中习得，在解决一般的数学问题时，可以从特殊出发，从具体出发，化复杂为简单.