叶轮疲劳分析评定方法研究

朱昶帆

(上海核工程研究设计院有限公司，上海 200233)

叶轮既是泵的水力部件，也是转动部件，其作用是通过电机的带动，将电能转化为管道内流体的动能，保持管道内流体流动。在压水堆核蒸汽供给系统中，反应堆冷却剂主循环泵(以下简称主泵)是唯一的转动设备，它的可靠性直接影响到反应堆的安全运行。叶轮部件的任何问题都会影响到主泵的试验、运行，乃至影响核电厂的运营，造成经济和时间上的损失。

某型主泵叶轮的设计验证主要是通过工程耐久试验实现的，因此在其安全相关部件报告中，叶轮的分析仅考虑了超速、地震等简单工况，分析的关注点也仅仅是盖板。然而主泵叶轮叶片为了追求较高的水力性能，叶片面积较大，导致叶片结构刚度偏低，如图1所示。在工程耐久试验中，就发现叶轮叶片发生了疲劳断裂。事后分析，发现叶轮受到的载荷引起了叶片的共振，应力集中处的初始缺陷逐渐扩展，就发生了疲劳断裂。事实证明，这样的前期分析是不足的，虽然工程耐久试验能够发现问题，但是却客观上造成了主泵产品交付的延期，拖延了核电厂建造试验进度。

图1 叶轮示意图Fig.1 The illustration of the impeller

决定叶片疲劳寿命的工作应力有两个：稳态应力水平和交变应力水平，任何一个应力水平过高都会导致叶片疲劳寿命降低。对于叶轮疲劳预估，其方法步骤：求解静载荷和动载荷下结构响应，在经过静载荷和动载荷组合基础上，对结构的疲劳寿命进行计算，静载荷为离心力与流体静压，动载荷为流体动压[1,2]。李松涛将叶片表面压力的谐波成分作为压力载荷加载在叶轮上进行频率响应分析，得到应力脉动幅值[3]。李颖和朱红波采用商用软件FeSafe、UG进行疲劳分析[4,5]。Liu根据流场静压分析的结果以及S-N曲线进行寿命预估[6]。

假设根据流场分析已经获得流体压力时程，其中包含了静压与动压部分，通过Welch方法可以得到动压部分的功率谱密度。本文将离心力与流体静压施加于叶轮表面得到平均应力，再考虑流体动压功率谱引起的叶轮应力脉动幅值，根据Goodman图获得等效循环对称应力。通过与S-N曲线得到的无限寿命应力限制比较，就可以从工程上既考虑了动态效应又考虑了保守性，完成了叶轮疲劳强度设计评定。

1 相关理论

1.1 功率谱密度及其估计

叶片表面的压力脉动时程可以被视为一段随机过程的样本。对于确定性信号，可以利用Fourier变换将其转换到频域分析。对于随机过程，也可以利用Fourier变换来分析其频谱结构。不过随机过程的样本一般不满足Fourier变换的绝对可积条件，但是平稳随机过程单个样本的平均功率是有限的。因此，对于随机过程的样本函数而言，可以研究其平均功率Gξ随频率的分布。

(1)

对于随机过程X(t)的样本x(t)，可以任意截取一段，长度为2T，记作xT(t)，对于有限持续时间的xT(t)，存在Fourier变换:

(2)

(3)

此处x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，因此XT(Ω)和xT(t)是随机函数，可以写为XT(Ω,ξ)和xT(t,ξ)。

将公式(3)代入公式(1)，可得某个样本函数的平均功率Gξ为：

(4)

被积函数称为信号的功率谱密度函数，记作PX(Ω,ξ)。

(5)

如果所有样本ξ取平均，得

(6)

式中PX(Ω)是Ω的确定函数，被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数。

功率谱估计的方法大致可分为经典法(线性估计)和现代法(非线性估计)。经典法即用Fourier变换分析方法求功率谱，它又可分为相关估计法和周期图法。为了减小方差，同时考虑到分别率的改善，Welch根据估值理论提出了一种改进的周期图平均法。

周期图法是把随机信号x(n)的N点观测数据xN(n)视为一能量有限信号，对其直接进行Fourier变换，得到XN(ejω)，然后对谱的模进行平方运算求得功率谱，即：

(7)

将ω在单位圆上等间隔取值，得：

(8)

2.2 叶轮流固耦合振动分析

由于叶轮是沉浸于泵壳内冷却剂中的，叶轮与冷却剂之间会发生流固耦合效应。叶轮表面的流体除了会对叶轮产生压力，还会产生质量效应，因此需要在叶轮外围建立了流体模型，如图2所示。

图2 叶轮有限元分析模型Fig.2 The finite element model of the impeller

流体波动的控制方程为：

(9)

式中：c——声速。

流体边界为:

n·

(10)

根据控制方程与边界条件，可以建立积分形式的变分方程:

(11)

(12)

此处:

CP——边界耗散引起的阻尼项。

考虑到结构有限元方程为:

(13)

联立公式(12)和公式(13)，即可得流固耦合系统有限元控制方程。

2.3 应力疲劳法

由于叶轮、导叶等水力部件是循环对称部件，可以假定叶轮受到的是周期等幅值的交变载荷。在交变应力下，材料对疲劳的抗力一般用S-N曲线与疲劳极限来衡量。在一定应力比R下，一组标准试样在受到幅值为Sa的交变应力可以达到的循环次数N，就是材料在指定应力比R下的S-N曲线，比如ASME B&PVC Ⅲ强制性附录Ⅰ中奥氏体钢、镍-铬-铁合金、镍-铁-铬合金及镍-铜合金的设计疲劳曲线图I-9.2.2以及机械设计手册中给出的一些S-N曲线。S-N曲线需要根据叶轮的材料和评定方法恰当地选取。

由图3可知，随着N的增大，疲劳强度趋于一个定值，在最小应力与最大应力之比R=-1的情况下，这个定值记为S-1，S-1称为疲劳极限。此时的S-N曲线称为基本S-N曲线。如果所评部件的应力幅值不超过S-1，即可说明该部件满足无限寿命设计。

图3 S-N曲线示意图Fig.3 The illustration of the S-N curve

材料的基本S-N曲线是在R=-1(对称循环)情况下得到的，即平均应力Sm为零。由于Sm与R存在关系，讨论应力比的影响，实际上是讨论平均应力的影响。当Sm>0时，S-N曲线下移，表示同样的应力幅作用下的寿命下降，对疲劳有不利影响；当Sm<0时，S-N曲线上移，表示同样的应力幅作用下的寿命增大，对疲劳的影响是有利的。

在规定的破坏循环寿命下，根据不同应力比R的疲劳极限，可以画出等寿命曲线。

(14)

(15)

式中：Su——极限抗拉强度。

Goodman直线偏保守，是工程上常用的。

由于离心力以及流体压力均值的影响，叶轮受到的是非对称循环载荷。根据Goodman方程，可以将非对称循环转化为对称循环。

(16)

(17)

其中有效应力集中系数一般取1.5左右，与理论应力集中系数Kt关系有Peterson公式:

(18)

回火钢的材料常数α等于0.063 5 mm，ρ为缺陷半径。尺寸效应系数具有经验公式[7]：

(19)

表面质量越好，系数β越接近1。在某型主泵的叶轮疲劳分析中，Kf取1.97。需要注意的是，有些S-N曲线在给出的同时已经考虑了尺寸效应和表面质量等因素，比如ASME B&PVC Ⅲ强制性附录Ⅰ中设计疲劳曲线图。

3 计算过程

计算过程的主要流程如图4所示。

图4 叶轮疲劳评定流程图Fig.4 Flow chart of impeller fatigue analysis

首先，求解离心力与流体平均压力作用下叶轮应力水平，如图5所示。

图5 叶轮平均应力求解加载示意图Fig.5 The load of the impeller mean stress solution

图5中示意性地在单个叶片上施加了压力，结果见图6所示。得到叶轮所受的平均应力之后就可以根据公式(16)修正等效循环对称疲劳强度，并除以折减系数获得最终的许用疲劳强度。

图6 叶轮平均应力等效应力云图Fig.6 Contour plot of the impeller mean equivalent stress

求解叶轮受到的循环应力幅值，可以通过ANSYS的功率谱密度(PSD)分析方法。

在叶片的节点上施加根据流场分析得到的压力脉动功率谱密度函数。假设功率密度函数输入如图7所示。

图7 压力脉动功率谱密度Fig.7 Power spectral density of the pressure

结构在随机载荷的作用下其响应也是随机的，PSD分析输出的结果为结果量(位移、应力)的标准差，如果结果量符合正态分布，则这就是结果量的1σ值，即：结果量位于-1σ～1σ的概率为68.3%，位于-2σ～2σ的概率为96.4%，位于-3σ～3σ的概率为99.7%。

图8 叶轮1σ等效应力云图Fig.8 Contour plot of the impeller 1σ equivalent stress

这样实际应力不超过两倍应力结果量置信度则为96.4%，评定所用应力可以取两倍的应力结果值。即使偶尔存在超过两倍应力结果值的应力产生，也不会影响疲劳的评定结果。将实际应力结果与许用疲劳强度相比，就能得到最终的疲劳评定结果。

4 结论

根据本文提出的疲劳分析方法，在已知流场压力时程的前提，考虑到叶轮受到的流固耦合效应以及动态效应，工程上是适用的且保守的，能够用以判断叶轮是否满足无限寿命设计。

此外根据疲劳分析理论可知，可以提高疲劳寿命的方法包括以下几点。

(1)在实践中用滚压、喷丸、挤压和预应变等方法，在高应力细节处引入残余压应力。

(2)叶轮设计时，避免高应力集中。

(3)不同加工方式产生的表面效应各不相同，增加精磨、抛光步骤，降低表面粗糙度。