直觉模糊β-覆盖信息系统及其之间的同态

张利娟, 杨海龙

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710119)

粗糙集理论[1]是一种处理模糊性和不确定性知识的数学工具, 在人工智能、 知识发现、 模式识别与分类、 故障检测、 决策分析等领域应用广泛.目前, Pawlak粗糙集模型已有许多拓展模型, 如把传统的基于等价关系的粗糙集模型拓展到非等价关系[2-4]、 邻域系统[5]、 覆盖[6-7]等.基于模糊集理论[8], Wang等[9-10]研究了基于模糊信息系统间的同态; Ma[11]研究了基于模糊覆盖的粗糙集及其在模糊格上的推广; 在文献[11]的基础上, 文献[12-14]提出了基于模糊覆盖的新型粗糙集模型, 并研究了基于模糊覆盖的模糊信息系统间的通信.

为了更精确地处理信息的不确定性, Atanassov[15]把模糊集推广到了直觉模糊集；Huang等[16]基于直觉模糊β-覆盖提出了直觉模糊β-覆盖粗糙集, 并研究了相关性质; Zhang等[17]研究了基于覆盖的3种直觉模糊粗糙集以及它们在多属性决策中的应用.本文研究直觉模糊β-覆盖在直觉模糊映射下的不变性, 并讨论直觉模糊β-覆盖信息系统间同态的性质.

1 预备知识

定义1[8]设U是一个非空有限论域,U上的直觉模糊集定义为A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈U}, 其中μA:U→[0,1]和νA:U→[0,1]分别表示A的隶属函数和非隶属函数, 且∀x∈U, 0≤μA(x)+νA(x)≤1.

用IF(U)表示U上所有直觉模糊集的全体.β=〈β1,β2〉称为直觉模糊数[18], 其中0≤β1,β2≤1且0≤β1+β2≤1.∀A∈IF(U)及∀x∈U,A(x)=(μA(x),νA(x))为一个直觉模糊数.令α=〈α1,α2〉和β=〈β1,β2〉为两个直觉模糊数, 则α∨β=〈max{α1,β1},min{α2,β2}〉;α∧β=〈min{α1,β1},max{α2,β2}〉.

设A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈U},B={〈x,μB(x),νB(x)〉|x∈U}, 则直觉模糊集的包含关系以及并、 交运算分别定义[8]如下:

U上所有直觉模糊β-覆盖的全体记为IFCβ(U).

2 直觉模糊β-覆盖在映射下的不变性

设f:U→V是一个从U到V的映射, 根据Zadeh扩张原理[19],f可诱导一个从F(U)到F(V)的模糊映射, 其中F(U)到F(V)分别表示U和V上模糊集的全体.下面先将其进行推广, 给出从IF(U)到IF(V)1, 然后讨论直觉模糊β-覆盖在该映射下的性质.

下面举例说明: 若f不是满射, 则定理1的结论不一定成立.

即

证明: 由定理1可知只需证必要性.

(1)

根据定理3和定理4可得以下推论：

下面举例说明：若f不是满射, 则定理4的结论不一定成立.

定义41)设U,V为两个非空有限论域,f是一个从U到V的映射,A∈IF(U), [x]f={y∈U:f(y)=f(x)}, 若∀x∈U,u,v∈[x]f,A(u)=A(v), 则称f关于A相容.

证明: 若f关于直觉模糊集A1和A2都相容, 则∀x∈U,u,v∈[x]f,f(x)=f(u)=f(v), 有A1(u)=A1(v),A2(u)=A2(v), 根据定义3, ∀x∈U, 有

由定义4可知, [x1]f=[x2]f={x1,x2}, 且A1(x1)≠A1(x2),A2(x1)≠A2(x2), 即f关于A1和A2都不相容.由定义3可知,

定理7设U,V为两个非空有限论域,f是一个从U到V的映射, 若f关于A1和A2都相容, 则: 1)f关于A1∩A2相容; 2)f关于A1∪A2相容.

证明: 1)若f关于A1和A2都相容, 则∀x∈U,u,v∈[x]f,A1(u)=A1(v),A2(u)=A2(v), 故

(A1∩A2)(u)=A1(u)∩A2(u)=A1(v)∩A2(v)=(A1∩A2)(v),

从而f关于A1∩A2相容.

2)若f关于A1和A2都相容, 则∀x∈U,u,v∈[x]f,A1(u)=A1(v),A2(u)=A2(v), 故

(A1∪A2)(u)=A1(u)∪A2(u)=A1(v)∪A2(v)=(A1∪A2)(v),

从而f关于A1∪A2相容.

由推论2和定理7可得如下推论:

证明: 1)若f关于每个直觉模糊集Ai相容, 则∀x∈U,u,v∈[x]f,f(x)=f(u)=f(v), 有Ai(u)=Ai(v),i=1,2,…,m.

2)∀x∈U,

证明: 由定义4和定理8中1)可知.

3 直觉模糊β-覆盖信息系统间同态的性质

证明: 根据定理8, 有

由定理10可得如下推论:

由定理11可得如下推论:

由定理12可得如下推论：