高中数学教学中数学抽象的理解与实施

陈云明 许姗姗

[摘  要] 核心素养的培育是一个系统工程，数学抽象是这个工程最初的、最重要的一步，没有对数学抽象的深刻理解，是无法以之为基石，从而走向核心素养培育的目标. 对数学抽象的深度理解，可以体现在这样的几个方面：一是认识数学抽象的发展史，二是认识数学抽象促进人的成长的价值，三是认识数学抽象的认知机制. 对深度教学的理解到实施，需要教师超越原有的教学认识，需要对包括数学抽象在内的数学学科核心素养要素进行深度解读.

[关键词] 高中数学;数学抽象;理解;实施

数学学科核心素养理论的提出，使得数学抽象再次进入了数学教学研究的视野，对于数学抽象而言，笔者以为很多时候对其理解既是熟悉的，又是陌生的. 说其熟悉，是因为数学抽象这个概念在高中数学教学研究的领域中，是最为常见的概念之一;说其陌生，是因为很多时候对数学抽象的理解是经验性的，在教学实施的过程中，常常只是遵照最基本的从形象事物到抽象概念的抽象模式. 显然，只满足于这样的理解，对于核心素养背景下的高中数学教学来说，可能是不够的. 核心素养的培育是一个系统工程，数学抽象是这个工程最初的、最重要的一步，没有对数学抽象的深刻理解，是无法以之为基石，从而走向核心素养培育的目标的. 那么，对数学抽象的理解应当如何进行呢？笔者以为，关键在于概念的切入与理解路径的选择，可以肯定的一点是概念的切入非常重要，不满足于经验角度的理解，而从相对专业、学术的角度去建构认识，是认识数学抽象的前提;在具体的教学实践中形成能够满足核心素养培育需要的理解，是数学抽象奠定数学学科核心素养的重要基石. 然后具体到数学抽象的学术理解，一般认为数学抽象是对空间形式和数量关系的抽象. 数学抽象一般会经由“简约阶段”“符号阶段”“普适阶段”等三个基本阶段，在具体的教学实践中，以教学形态出现的数学抽象，遵循数学抽象的一般规律，同时又具有实物抽象、半符号抽象、符号抽象和形式化抽象四种表现形式. 本文就从这个理解出发，谈谈核心素养背景下高中数学教学中数学抽象的理解与实施.

■数学抽象亟须建立深度理解

对一个概念的理解深度，决定了实际教学中理论落地的高度，数学抽象要超越经验性理解，所需要的深度来自对数学教学内容的思考，来自对数学学科及其教学的哲学思考. 从数学的内容与对象这一数学哲学层面上分析，数学具有抽象性特点的主要表现形式有层次性、模型化、理想化、形式化和符号化等，数学抽象的合理性表现在：数学抽象抽取的是事物对象的量的关系和空间形式，同时抽象的结果具有可靠的确定性. 基于这样的阐述，对数学抽象的深度理解，可以体现在这样的几个方面：

一是认识数学抽象的发展史. 诗史可以增智，一部数学发展史就是一部人类发展史，高中数学教学要承担起核心素养培养的任务，就要通过数学史来为学生充实必备品格，同时对于教师建立数学抽象的认知而言，也有着极为重要的作用. 研究表明，数学抽象最早在古希腊时代就被提出来，发现勾股定理的毕达哥拉斯，是数学抽象的始祖之一，古希腊哲学家（数学家）更多地认为“抽象的东西”才是数学研究的对象. 到了当下，著名数学教育家史宁中教授更是在多篇著作、文章中强调数学抽象的认识，其认为抽象包括两种情况，一是经验基础上对事物的抽象，其可以理解为生活中的抽象;二是符号与论证基础上的抽象，其可以理解为数学抽象. 但笔者以为，数学抽象不能完全脱离生活抽象而存在，高中生的数学抽象更多的是两者的结合.

二是认识数学抽象促进人的成长的价值. 数学抽象不只是数学的抽象，数学抽象是“人”运用数学思维进行抽象的过程，在这个过程中人的数学抽象本领也会得到培养，必须认识到的是，人才是数学抽象的主体. 在数学抽象的过程中，只有其发挥对人的成长的促进作用时，数学抽象的价值才最终体现了出来，而数学抽象作为数学学科六大核心素养之一，能够发挥培养学生关键能力的作用.

三是认识数学抽象的认知机制. 数学抽象的过程，从经验的角度来看，是从形象的生活对象走向抽象的数学对象的过程，因此一般认为只要能够从形象走向抽象，那数学抽象就完成了. 但学生的学习过程是一个认知发展的过程，在这个过程中，心理这方面的变化值得教师研究. 有人从认知心理的角度，提出数学抽象的不同阶段，包括知觉抽象、图形抽象、数量抽象、类别概念的抽象等. 显然这对应着不同的认知阶段，作为解释高中生数学学习过程很重要的理论，认知视角下的数学抽象理解，显然也具有不可替代的价值.

■基于深度理解的数学抽象教学

基于上面的理解，在高中数学教学的过程中，对前面两个理解进行了初步渗透，而对认知理解下的数学抽象进行了更多的实践探究. 进一步的研究表明，数学抽象的心理学过程分为“认识——内化——应用”等三个阶段. 教师在教学过程中可以与之对应地从概念、总结、类比能力以及数学应用能力等途径实现培养目标. 而在教学模式上，也可以采用翻转课堂、项目学习和开展数学实验等形式使学生在深度学习中形成对数学抽象能力的培养. 这样的分析有着显著的系统论视角，下面来看一个例子.

在“函数”的教学中，第一任务是帮学生建立起函数的概念. 从数学的角度来看，集合与对应法则是数学抽象的两个关键词，教师的着力点也就在这两个关键词上. 实际上，函数是高中数学知识体系中的一个非常重要的概念，其应当引导学生通过抽象的方式建立，那么这个过程应该如何设计呢？笔者从这三个环节进行了设计：

环节一，引导学生思考生活中存在函数关系的两个事物. 由于学生已经初步学习了函数概念，因此这个问题是合适的，但寻找例子的过程中，学生的思路却可以拓宽. 例如，生活中看似没有决定关系的两个事物之间，常常是存在函数关系的，如传染性疾病的患病人数与时间之间的关系. 在不少学生看来，患病是由病毒或细菌导致的，其与时间没有关系，但作为流行病学的研究对象，传染病的传染人数与时间之间却有着密切的关系，认识这种关系，实际上就可以建立符合高中数学知识体系的函数概念认识.

环节二，进行数学抽象，建立函数概念. 这里分两步：一是从学生熟悉的事例入手，如自由落体中的高度与时间的关系，这个函数关系明确，学生比较熟悉;二是上面的例子，可以给学生提供一些实例（如图1），学生可以直观地看到感染确诊人数与时间的关系，而从图像的形状，学生往往也可以有对应某种图像的心理倾向，如猜想是不是二次函数等.

环节三，建立函数概念，引导学生反思. 函数概念的建立过程就是用数学语言描述函数概念的过程，对应着传统的定义教学，这里不再赘述. 而从学习反思的角度来看，上述两个教学环节需要引导学生反省过程，从而形成面向认知的默会知识. 如高中数学对函数的界定，更多的是从集合与对应法则的角度去描述的;而从认知的角度来看，情境素材能刺激学生的知觉，然后学生的知觉会对与函数相关的知识进行选择性加工. 经过这个信息输入的通道，学生的思维实际上就完成了基于函数概念建构需要的对应，如学生很快认识到上面例子中，“感染人数”与“时间”之间就是一对函数关系，于是学生也就认识到，在实际生活中函数可以用来描述两个事物之间的关系，理念上都可以演变成函数，这其中涉及知觉抽象、图形抽象、数量抽象等，而这个案例也可以视作是认知视角下数学抽象的实践案例.

■深度教学从理解走向实施

虽然说从认知视角认识数学抽象，对于一线教师来说存在不小的困难，但对于核心素养来说，这样的努力又是非常有必要的. 在人们探究核心素养的培育途径时，人们寻找到了深度学习这一途径，而深度学习对应着教师的角色，其实就变成了深度教学. 对深度教学的理解到实施，需要教师超越原有的教学认识，需要对包括数学抽象在内的数学学科核心素养进行深度解读. 在对数学抽象的深度研究中，有研究者认为，对数学教学研究很多时候就是对教学模式的研究，也正因为如此，“模式建构形式化”这一原则就可以看成关于数学抽象的最基本准则. 这是一个非常有意思的判断，对数学抽象教学进行模式建构的形式化理解，实际上确实可以让学生在理解数学抽象的过程中，有效地反省过程，形成认知理解，進而以一种模式化的思路提升自身的数学抽象水平.

以上是笔者对数学抽象的理解从经验走向深度的一点总结，文中的浅显观点，希望得到同行们的有价值的指正！