线性斜积半流非一致指数膨胀性的Datko-Pazy型定理

岳田 宋晓秋

摘要：主要目的是基于Lyapunov范数研究Banach空间中线性斜积半流的非一致指数膨胀性.借助Datko-Pazy方法，得到了线性斜积半流满足非一致指数膨胀的若干连续与离散形式的充要条件.所得结果推广和完善了指数稳定性与指数二分性理论中的一些已有结果（如Datko、Pazy、Preda等）.作为应用，运用所得到的主要结果研究了线性斜积半流的非一致指数二分性.

关键词：线性斜积半流;非一致指数膨胀性;非一致指数二分性;Datko-Pazy型定理

中图分类号：O175.24

文献标志码：A

文章编号：1000-5641（2020）06-0030-08

0引言

眾所周知，近年来关于微分系统定性理论的研究取得了突破性的进展，尤其是在指数渐近行为方面（指数稳定、指数膨胀、指数二分、指数三分），自Datko与Pazy建立了Datko-Pazy型定理后，大量公开问题的解决使得相关理论被不断拓展和完善.区别于指数稳定性与指数二分性，关于发展方程的指数膨胀性问题获得了极大的关注，已经成为微分动力系统渐近行为分析的一个重要分支.2010年，Barreira与Valls通过定义合适的范数（又称Lyapunov范数），讨论了演化过程非一致指数稳定性与容许性之间的联系.此后，通过Lyapunov范数来获取非一致指数渐近行为成为一种有力的技术手段，如文献[8]针对具有非一致指数增长的演化族，研究了其非一致指数稳定性与函数空间对（L^p（X），L^q）的容许性之间的联系，获得了刻画非一致指数稳定的Perron型结论.

在无限维空间中讨论由自治微分方程所生成的动力系统的不变流形的线性化问题时，会经常使用（半）流上的上闭链这个概念，如经典的Navier-Stokes、Taylor-Couette、Bubnov-Galerkin方程都可用半流上的上闭链作为渐近化模型.故作为单参数算子半群、演化族（演化算子）、演化过程的推广，由半流和上闭链构成的线性斜积（半）流，是动力系统渐近行为分析方面的一类重要工具，如文献[9]借助稳定性理论中的Datko-Pazy型方法，讨论了斜积半流一致指数稳定的特征，建立了其一致指数稳定的若干充要条件;文献[10]基于Lyapunov范数通过选取合适的测试函数，得到了线性斜积半流非一致指数二分性的容许性刻画.值得一提的是，文献[11]与文献[12]基于Lyapunov范数将Datko-Pazy相关经典结论扩展到了线性斜积半流，并分别给出了其非一致指数稳定与非一致指数二分的Datko型条件的连续型刻画.下面给出本文所需使用的一些符号、概念以及注记.