开展数学深度教学 助力学生思维进阶

朱国军 彭 亮

在全面深化教育改革的大背景下，数学教育目标发生了巨大的变化——从“双基”到“四基”再到“核心素养”。数学教学理念也因而不断被刷新升级，使得“核心素养”“深度学习”“深度教学”“高阶思维”成为教育界的热点话题。笔者尝试对数学深度教学和思维进阶进行了一些思考和探索。

一、数学深度教学与思维进阶

“深度”表示认识触及事物本质的程度。美国心理学家布卢姆将认知领域的教学目标由简到繁分为六个层次——记忆、理解、应用、分析、评价、创造。“记忆”“理解”和“应用”没有研究到本质问题，属于浅层学习；“分析”“评价”与“创造”就有了深度学习的味道。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称课标）也对数学学习过程与结果作了不同水平的划分，以了解（认识）、理解、掌握等术语表述学习活动结果的不同水平，以经历、体验、探究形容学习活动过程的不同程度。

深度学习是一种深入学科本质和知识内核，由符号记忆转向逻辑理解和内涵认知的学习。它追求学生对知识的深度认知、深度理解、深度体验。学生深度学习的实现有赖于教师的深度教学。南京大学郑毓信教授对数学深度教学的具体内涵作出如下概括：“数学教学必须超越具体知识和技能，深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升；我们还应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习转向更自觉的学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。”

思维进阶是针对思维水平而言的低阶思维向高阶思维的转变。笔者按照布卢姆的教学目标分类，把学生的数学思维分为六个层次，“记忆”“理解”与“应用”属于低阶思维，“分析”“评价”和“创造”属于高阶思维。教师直接告知、学生记忆结论、重复练习等都属于低阶思维，而学生自己主动去探寻问题、提出问题、创造性地思考问题等都属于高阶思维。低阶思维是高阶思维发展的前提，要更好地推动学生发展高阶思维，就要让学生在原有低阶思维的基础上展开富有批判性、探索性和创造性的深度学习。

深度学习与学生思维进阶有着相辅相成的关系，学生从低阶思维进阶到高阶思维需要以深度教学做媒介，也可以说，深度教学可以推动学生由低阶思维向高阶思维进阶。

二、以数学深度教学推动学生思维进阶的策略

浅层学习体现出不可变通、不成结构、缺少批判性和创新性等低阶思维的特征，而深度学习体现出灵活性、深刻性、敏捷性、创造性、批判性和结构性等高阶思维的特征。笔者在数学教学中发现，学生的思维多处于低阶思维水平的现象比较明显，如认知肤浅，缺少思维支点；知识碎片化，思维不成体系；启发泛滥，缺乏思维空间；思考无序，思维能力有待提高。长此以往，学生将会出现“高分低能”“高分低品”等问题。因此，教师应潜心研究教学，更新教学理念，改进教学方法，以实现数学深度教学，从而提高学生的思维力、学习力，培养学生的高阶思维。

1.追本溯源，让学生的数学思维由表及里。

美国数学家赫斯说：“问题不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学的争议。”教师在教学中应注重深度挖掘教材，引导学生追溯知识的本质和内核，促进他们的数学思维由表及里不断深入。

例如，“3 的倍数的特征”的学习是以原有探究“2、5 的倍数的特征”为基础的。常规教学是先引导学生在给定的数中找出3 的倍数，再让他们观察、猜测这些数的特征，然后举例验证自己的发现是否正确，最终总结出3 的倍数的特征。教师不妨在学生探索出3 的倍数的特征后追问：为什么探究“3 的倍数的特征”要关注各个数位上的数？并借助“小棒图”引导学生分析数的组成，从而使他们发现隐藏在知识背后的道理。当教师试探性地问学生：你知道3 的倍数的特征吗？这属于浅层教学，会使学生的认知处于“记忆”和“理解”水平，从而使他们的数学思维处于低阶层面。教师应在浅层教学的基础上，引导学生通过观察数的组成和摆小棒等发现3 的倍数的特征的本质问题，使他们“知其然，知其所以然”。这才是数学深度教学，能推动学生的数学思维由低阶上升到高阶。

2.前后串联，让学生的数学思维由点到面。

美国教育家杜威认为：一次完整的思维包含着两种运动，一种是用于发现的归纳性运动，一种是用于检验的演绎性运动，归纳与演绎的双向互动实现了学生思维“点—线—面”的辐射式发展。瑞士儿童心理学家皮亚杰认为：随着学习者学的知识越来越多，就应该让他们认清所学知识之间的联系，主动构建认知图式。教师要认真研究教材，把握编者的设计意图，关注前后知识之间的关联，并引导学生去比较、去分析、去归纳。

例如，教学“梯形的面积”，当学生通过割补探究出梯形的面积计算公式后，教师追问：我们已经学过哪些平面图形呢？它们的面积计算公式是什么？这些平面图形的面积计算公式之间有什么联系呢？接着引导学生发现长方形可以看成上底与下底相等的梯形，长方形的面积计算公式可以根据梯形的面积计算公式推导出来。学生随即联想到正方形、平行四边形、三角形的面积计算公式都可以借助梯形的面积计算公式推导出来。教师接着提问：圆的面积计算公式是否也可以借助梯形的面积计算公式推导出来呢？把知识延伸到未知的领域，给予学生遐想的空间。然后，教师抛出直追知识本质的问题：为什么梯形的面积计算公式可以与其他几个平面图形通用呢？并借助几何画板动态演示梯形的变化，让学生发现原来这些平面图形之间都是有联系的。最后追问：既然梯形的面积计算公式是通用的，为什么其他图形的面积不都用这个公式来计算呢？引导学生深入理解数学知识的共性与个性、复杂性与简捷性。上例中，让学生探究梯形的面积计算公式并且灵活运用只是浅层的学习，实现的是思维的“点”状提升；接着要求学生研究各个平面图形的面积计算公式之间的关系，引导学生发现梯形的面积计算公式与其他几个平面图形通用，使他们的学习逐步走向深入，达到了思维的“线”上串通；最后延伸到圆的面积计算公式，并追问梯形的面积计算公式为什么可以通用，这是思维的“面”上延展。整个过程从基础知识的“点”走向基于知识脉络的“线”和“面”，学生从“理解”“运用”到“分析”“评价”，经历了深度学习，增强了数学思维的深刻性，他们的数学学习也呈现出生长态势。

3.质疑问难，让学生的数学思维由浅入深。

亚里士多德曾说过：“思维是从疑问和惊奇开始的。”在教学中，教师应注重引导学生对情境中的数学信息进行充分的观察、提取、概括，并联系已有知识经验进行联想、加工，从而使他们产生疑惑，进而发现和提出问题。质疑问难可以是生生互相质疑，也可以是师生互相质疑。

例如，教学“小数的近似数”，在学生汇报预习所得环节，教师发现大部分学生只是机械地把整数求近似数的原理迁移到小数中来，从而只能浅层次地汇报求小数近似数的方法，对于近似数知识中的道理则表现出一脸茫然。此时，教师鼓励学生抛出自己还不明白的问题，有学生提出他在学习整数近似数时就搞不清楚为什么要与“5”比，现在精确到十分位，就更不明白为什么要与十分位的“5”比了。于是，教师借助数轴让学生明晰了为什么要精确到十分位以及怎么来精确到十分位，并让他们探究怎么精确到百分位。学生的问题接踵而来：1.50 和1.5 相等，1.50 的0 可以去掉吗？为什么一个精确到十分位，一个精确到百分位，它们的数值却一样呢？教师继续让学生借助数轴自己去解决。学生从数轴上发现：近似数1.50 和近似数1.5 的取值范围不同，也就是说它们的精确度不同。学生在上述不断发现、提出、分析和解决问题的过程中，数学学习不断走向深入，数学思维也逐渐走向深刻。

4.求异创新，让学生的数学思维由窄变宽。

创新是我国人才培养的重要标准。课标提到的十个核心概念中就有“创新意识”。布卢姆将“创造”作为人认知的最高水平。小学阶段是培养学生创新思维能力的重要时期。教师在数学教学中应该有意识地培养学生的创新意识，鼓励学生运用多种方法解决问题。

例如，教学“奇妙的割补”（苏教版五上“你知道吗？”中的以盈补虚相关内容）时，教师首先引导学生复习平行四边形的面积计算方法及其推导过程，并鼓励学生说说是否还有其他方法。学生发现可以把平行四边形分割成直角梯形再组合成长方形；还可以沿着平行四边形左右两边的中点画垂直线段，然后沿着这个垂直线段剪下来旋转一下拼成长方形。接着，教师打破常规，让学生用同样的割补方法来研究三角形的面积计算方法，学生发现可以把三角形转化成长方形或平行四边形。最后，教师鼓励学生大胆想象：梯形要怎样转化呢？此时，平行四边形、三角形的多种转化方法为学生提供了广阔的思维空间，使他们找到了多种割补方法来求梯形的面积。“创新来源于求异，创造来源于想象”。我们可以看到，在上述教学中，学生一开始研究平行四边形和三角形的面积计算方法时思维比较缓慢，找到的三角形的割补方法也只局限于两三种；研究到梯形时，他们的思路全部打开了，找到了更多种不一样的割补方法。教师不仅让学生发现了方法的多样化，还使他们顺利实现了从思维多样化向本质统一性的过渡。

5.理性分析，让学生的数学思维由低升高。

批判性思维是高阶思维之一。发展学生的批判性思维能力，培养学生的批判性思维品质，是引导学生进行数学深度学习的手段和目的。教师要精心设计教学，根据学生生成的问题进行有深度的提问和课堂推进，引导学生独立进行多角度的思考，鼓励他们发出真实的声音，做出理性的判断。

例如，教学“三角形的内角和”，课前教师调查发现，几乎所有学生都知道三角形的内角和是180°。于是，课始，教师直接要求学生想办法验证三角形的内角和是不是180°。学生首选“量”的方法，当学生量出三个角的度数并把它们相加之后发现不是180°时，有部分学生迅速涂改数据，还有的学生一脸茫然。教师抛出问题：难道三角形的内角和不是180°？进而引导学生发现测量都会有误差，并引导学生想出更多验证方法，如撕拼、折拼等，但学生尝试后发现它们都有误差，教师继而告诉学生：动手操作都会有误差。最后，有学生想到可以通过推理来验证——利用两个一模一样的直角三角形拼成长方形，因为长方形的四个角都是直角，内角和是360°，所以这个三角形的内角和是360°的一半，90°×4÷2=180°；还有学生想出把三角形分割成两个直角三角形，180°×2-90°×2=180°。其实，每次教学这个内容，都会有学生为了凑成180°而涂改测量所得的数据。上例，教师没有漠视学生测量的数据，而是引导学生理性分析，进而从量拼引出撕拼、折拼，当学生学会了理性分析，直接指出撕拼、折拼也有误差时，教师抓住时机点拨，水到渠成地过渡到计算推理，进而引导学生了解初中要学的知识——逻辑推理。研究一步步走向深入，学生的数学思维也得到了很好的进阶。

综上所述，“数学是思维的体操”，数学深度教学呼应发展学生高阶思维的诉求，高阶思维又是学生数学核心素养的重要标识。教师要找准学生的认知起点，探寻学生数学思维的生长点，引领学生的数学思维在深度学习中由表及里、由点到面、由浅入深、由窄变宽、由低升高，从而有效地发展学生的数学核心素养。