情境视角下220011999年高考数学试题评析及教学建议*

□熊 露 赵思林 程雪莲

（内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江 641110）

情境是高考数学命题的三大要素（立意、情境、设问）之一，在高考数学命题中占有重要地位.教育部考试中心命题专家认为，2019年高考数学试卷设置的情境真实，贴近生活，富有深厚的文化底蕴，体现了数学在解决问题中的文化价值、教育价值和应用价值[1].

一、情境的教育意义

情境对于数学教学具有重要意义.从教学角度看，一个好的情境至少有三大功能：第一，情境是问题之源，有了问题，数学就有了心脏；第二，情境是激发学生学习兴趣的基本方法；第三，以新颖情境为载体可以检测或考查学生是否能迁移数学知识解决问题.情境是数学教学的起点，是发现新问题、提炼新知识、迁移应用、积累经验的共同基础.数学教学中的情境一般具有新颖性、现实性、生动性、直观性、趣味性、挑战性、多样性等特点.

情境是设计高考数学试题的核心要素，对测试学生数学素养、信息提取能力、理解迁移能力、引导数学教学等具有重要价值.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）把情境分为数学情境、科学情境、现实情境等类型.合适的问题情境是考查数学核心素养的重要载体.设计高考试题一般是先立意，然后设计情境（即选择试题的背景、素材等），最后是设计问题.本文以2019年高考数学试题为例，对一些情境新颖的试题作分析与评价.

二、情境视角下2019年高考数学试题评析

（一）数学情境

数学情境主要是指数学问题情境.数学情境是基于数学内部的矛盾（问题）运动、数学故事、数学审美旨趣等而产生的新颖情境.数学情境分为数学问题情境、数学史情境以及数学审美情境等类型.高质量的数学情境能激发学生主动学习、探究的兴趣，从而使学生分析问题和解决问题的能力得以提高.

1.数学问题情境

数学问题情境主要以纯粹数学（知识、模型、思想和方法等）为载体，是考查学生“四基”的一种情境.

例1（2019年全国Ⅰ卷理科第11题）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|，有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间单调递增；③f（x）在[-π,π]有4个零点；④f（x）的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ）.

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

评析：本题属于准多选题.题目中两个绝对值让考生耳目一新，这正是本题情境的新颖之处，初看有似曾相识的感觉，细看却无从下手.当考生面对“两个绝对值”的情境时，应把去掉绝对值作为化归的方向和目标，这就需要考生具备运用化归与转化思想、数形结合思想解决问题的能力.再看问题的四个结论，涉及函数的奇偶性、单调性、零点、最值，这些都属于三角函数的性质.首先确定奇偶性，得到f(x)是偶函数，函数的研究区间可以减少一半，比如只考虑[0,π]的情况，两个绝对值立即可去掉得到f(x)=2sinx，不难得到选项①④，故选C.

2.数学史情境

数学史是数学文化的重要内容.《新课标》指出，数学承载思想和文化，是人类文明的重要组成部分.让学生了解中国古代数学成就，能够增强学生的民族自豪感与民族自信心，激发爱国情感，真正落实立德树人的根本任务.

例2（2019年浙江卷第4题）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）.

A.158 B.162

C.182 D.32

评析：祖暅原理是我国古代最优秀的数学理论之一，具有重大的理论价值和实践应用价值，它是推导体积公式、计算体积的通性通法，在立体几何中占有重要地位.可惜现行教材把祖暅原理作为非必修的阅读材料.本题的立意可能有以下几点：一是体现“立德树人”的教育根本任务；二是通过介绍“祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家”，对考生进行数学文化教育和爱国主义教育；三是让考生学习祖暅的探究精神和高超的数学智慧，增强民族自信心；四是学习柱体体积公式，并应用该公式解决实际问题；五是通过三视图还原立体图形的思维过程，考查学生识图、想图、画图、用图等空间想象能力；六是弥补教材（新课标）之不足，给考生提供一次学习祖暅原理的机会，是一道不可多得的好题.本题以“我国南北朝时期的伟大科学家祖暅提出的祖暅原理”为情境，考查空间几何体的三视图及体积.先将三视图还原为立体图形，然后根据柱体体积公式进行计算，即可得到答案B.

3.数学审美情境

德智体美劳是学生发展的根本目标.我国长期的应试教育对美育比较淡化甚至缺位，严重影响了人的全面发展.美育常常起到“润物无声”的奇效，美育就是让学生逐步学会感受美、欣赏美、发现美和创造美，以美怡情，以美修身，以美促思，以美成事.数学中充满了美，甚至可以说，数学是美的王国.数学以图形的对称美、符号的简单美、理论的统一美、逻辑的和谐美、思维的奇异美，激发无数学子对数学美的浓厚兴趣.2019年全国高考数学试题中的“维纳斯”“一朵云”（“云朵”）“心形线”等受到社会热捧与盛赞，对国民是一次很好的审美教育.这对引导教师今后将美育融入数学课堂具有积极意义.

例3（2019年全国Ⅰ卷第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）.

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

评析：本题成了公众热议的明星题目，褒贬不一，可谓见仁见智.由于题干较长，阅读量较大，致使不少考生费时较多，且难解题意.破解本题的关键是，从烦琐的文字叙述中提取关键的信息.本题以古希腊时期著名的“断臂维纳斯”为背景，考查学生估算思想、数学阅读能力、信息提取能力、数学应用能力以及数学抽象和逻辑推理等核心素养.本题源自人教版小学六年级（上册）数学教材，看似简单实则不易.从问题“其身高可能是”中的“可能”可知，本题并不需要求出身高的精确值，事实上也求不出来.解答本题的思维有三个层次：“硬算”“估算”“不算”.最低层次是“硬算”，即先推算出此人身高的准确范围，然后做选择；第二层次是“估算”；最高层次是凭借生活经验（“欧美人平均身高比亚洲人高”；“模特的身高不低于170 cm”）而“不算”，可直接选B.

此外，2019年全国Ⅲ卷第22题以一朵美丽的“云”为情境精心设计问题，新颖有趣，广获好评.本题以“云朵”为情境，体现“数学源于生活”“数学用于生活”的理念，由此启发学生善于从生活中发现数学、善于用数学解释（解决）实际生活中的问题.这片“云朵”虽然很美，但也刺痛了一些考生的心.其原因是平时训练的题目一般只有一个半圆，现在的题目是三个半圆，这显然不在考生的“题型范围”和“解题经验”之内，这就必须要考生能够“具体问题具体分析”了，这恰好是多数考生的“软肋”.

（二）科学情境

自然科学的发展或进步依赖于数学.而数学的发展又推动自然科学的发展，数学的发展也有赖于自然科学给数学提出的新问题和新挑战.数学可以为自然科学提供通用的概念、符号、模型与算法.数学已经渗透到各门学科，如物理、化学、生物学、经济学、考古学、信息学等学科.因此，数学具有广泛的科学情境背景.创设恰当的学科科学情境，有利于加强各学科之间的联系，提升学生的核心素养.

1.物理情境

如果说物理是科学的皇冠，那么数学就是科学的皇后.在学界常有“数理不分家”“要当物理学家必须先当数学家”的说法.这都说明，数学和物理学有密切的关系.其实，不少数学知识直接依赖（源）于解决物理学中计算的困难，如导数的发明是基于对瞬时速度的研究，定积分的一个背景是变力做功，三重积分的物理背景是寻找不均匀物体的重心，向量的产生直接源于力的合成与分解等.例如，2019年全国Ⅱ卷理科第4题以“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术为情境，考查数学运算素养和近似估算的能力.本题以物理学科知识为背景，运用数学知识求解，让考生认识数学与物理之间的紧密联系.试题反映了我国航天事业取得的成就，激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.

2.生物情境

2019年全国Ⅱ卷文科第4题以“兔子试验”为情境，考查古典概型知识.本题创设生物实验情境，将数学与生物学联系起来，具有启发学生思考和联系数学知识在生物中的广泛应用的作用.本题难度不大，容易得到答案选B.

3.天文学情境

2019年北京卷理科第6题以天文学中如何刻画天体的明暗程度为背景，考查学生的数学阅读能力、信息提取能力以及对数的运算.依据“太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45”的真实情境，假设太阳、天狼星的星等和亮度分别记为m1,m2,E1,E2，再利用两颗星的星等与亮度满足的关系，就不难得到答案选A.

（三）现实情境

数学源于现实世界，现实世界包括人们生活的物理世界、社会经济现状、工业生产实践、商品物流运输、人员互动交往、真实生活情况等方方面面.数学是源于对现实世界的抽象而得到的数量关系和空间形式.“现实→数学”实质上就是水平数学化，也是建立数学模型的基本路径；“数学→现实”体现数学的应用功能.

2019年全国Ⅲ卷文理科第16题以“3D打印技术”“到工厂劳动实践”为情境，真实可信，展现数学与高新技术的完美结合，充分体现立德树人的教育理念.“到工厂劳动实践”意在培养考生的劳动意识和劳动态度，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动、学会劳动，树立劳动光荣的思想，这属于“立德”；应用“3D打印技术”意在让考生重视高新技术的学习和研究，鼓励学生学技术、爱技术、用技术，这可归结为“树人”（培养人才）.“立德”“树人”一起放在填空题中的压轴题位置来考查，意在引起社会关注，因为压轴题是最容易被社会所关注的.此题考查了立体几何基础知识、空间想象能力和数学运算等核心素养.答案为118.8.

（四）其他情境

2019年全国高考试卷中涉及的其他情境包括趣味逻辑型、中国古代文学名著和易经八卦等.

例4（2019年全国Ⅱ卷文科第5题）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）.

A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙

评析：“趣味逻辑”情境的创设有利于激发学生的创新意识，提高学习兴趣.本题设计具有新颖性、趣味性，命题思路新颖别致.本题的基本特点是不需要“算”，只需“思”，体现多想少算的思想[2].根据乙和丙同学的预测中都有丙的成绩比乙的成绩高，可以推出丙的成绩比乙的成绩低，即丙和乙预测错误，所以甲预测正确，故选A.此外，本题以“一带一路”知识测验为情境，将高考与党的政策巧妙结合，引导学生关心国家大事，关注社会经济发展，积极践行社会主义核心价值观，使学生树立正确的人生观、价值观，体现对学生德育的渗透.本题是一道考查数学核心素养的好题.

2019年全国Ⅲ卷理科第3题以学生阅读中国古典文学“四大名著”的调查数据为背景，巧妙地考查韦恩图和统计等知识.试题展现我国古代文学名著的魅力，鼓励大家读名著、思名著，吸取名著的文化精髓，引导学生正确对待名著中的故事、人物、事物，让学生逐步形成正确的“三观”即人生观、世界观与价值观.通过画韦恩图易知，选C.

例5（2019年全国Ⅰ卷理科第6题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）.

评析：《周易》被视为中国古代典籍之首，富含哲学观点和辩证思维.《周易》曾被视为封建迷信，在2017年两会国家将易经、风水等传统文化列为国家的文化遗产.有人研究发现，《周易》（八卦）蕴涵丰富的、深刻的现代数学思想，可谓数学思想的宝库.据说莱布尼兹发明的“二进制”就是受到八卦的启发而得到的.但《周易》（八卦）中的“占卜”“算命”等属于糟粕，应予以批判.本题以《周易》（八卦）为情境，将计数原理、古典概型等知识与描述万物的变化的“卦”巧妙结合起来，意在考查学生的阅读理解能力和逻辑推理等数学核心素养.由题意知，重卦（基本事件）总数为26，重卦恰有3个阳爻为C36，根据古典概型可得答案.如果熟悉周易六十四卦，那么不需要计算就可以直接选A.

三、备考与教学的建议

2019年高考数学试题的情境的设计，具有素材选择面宽、背景公平新颖、时代气息浓郁、叙述简洁准确、导向意图明显、社会反响热烈等特点，表现出高超的命题智慧，全面体现《新课标》对“情境设计”与“情境考查”的要求，受到社会广泛好评.但从考生答题情况来看，许多考生面对情境新颖的试题，阅读理解、信息提取、抽象思维、模型建构等能力较弱，导致答题效果不佳.其原因主要在于“情境教学”的力度不够，具体表现在以下几个方面：一是大部分教师对情境学不熟悉、不重视；二是学生对“数学式阅读”的锻炼较少；三是学生平时学习缺乏对新颖情境问题的训练，导致学生应试经验不足；四是学生面对新颖情境，容易被“情境”的现象所迷惑，难以从现象中提炼出数学本质（如数学模型）.对此，我们提出以下几个建议：一是教师应熟悉《新课标》对“情境”教学与测试的相关要求；二是教师应加大数学“情境”教学的理论学习与教学实践；三是教会学生“数学式阅读”，提高对有效信息的提取能力；四是例题、习题、考题的选择与编拟应注意体现“情境的新颖性”，让学生积累解决情境新颖性问题的经验 .