立足建模 巧用面积 妙解k值

郭源源

摘 要：反比例函数k值和面积问题在近几年的各地中考试题中出现频率较高.本文以中考中的反比例函数问题为例，通过对题型的分类解析，渗透数学思想，并感悟“建模解析法”和“构造面积法”的解题策略.

关键词：反比例函数;k值面积问题;解题策略

近年来，以反比例函数图象为背景的试题，形式多变，结构多样，新颖独特，且蕴藏着丰富的数学思想方法，已然成为了中考的热点问题之一.这类试题主要呈现两个特点：一是“易融性”，双曲线中可以融入各种图形，三角形、平行四边形、矩形、菱形、梯形等无一不在其中，考查双曲线与各种图形的联系，并借助它们的联系求面积或k值;二是“易联性”，以双曲线为主线，关联各种方法，既可用运算较多的建模解析求解，也可用思维灵活的构造面积求解，兼顾到数和形两种思维特点，综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.这类试题不仅可以反映出学生扎实的基本功，还可以体现出创造性的思维品质，是数学核心素养的直接体现.

本文根据自己在教学中的实践发现，反比例函数图象中的面积或k值问题的解决方法通常可分为两大类：一是运用“建模解析”的方法，先设某点的坐标，利用关系表示出其余各点的坐标，再结合条件建立方程模型解决;二是运用“构造面积”的方法，想方设法将已有图形面积划归成与坐标轴围成的矩形面积上，即转化成|k|的几何意义求解.

1 矩形为背景的k值面积问题

例1 （2019年孝感）如图1，双曲线y=9x（x>0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y=kx（x>0）交AB，BC于点E，F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF.若OD∶OB=2∶3，则△BEF的面积为.

分析 本题中矩形和三等分点的条件是关键，矩形意味着点B，F，C纵坐标相同，点B，E，A横坐标相同.三等分点又可推出点B和点D的坐标关系.故理清坐标之间的关系或面积之间的关系是解题的切入口.

解法1 （建模解析）设点B坐标为（a，9a），则点F坐标为（ak9，9a），点E坐标为（a，ka）.

因为OD∶OB=2∶3，所以点D坐标为（2a3，6a）.

将点D坐标代入y=kx中得k=2a3·6a=4.

所以S△BEF=12BE·BF=12（9a-ka）·（a-ak9）=12·5a·5a9=2518.

解法2 （构造面积）如图1，过点D，F分别作x轴的垂线，垂足为点N，M.

因为OD∶OB=2∶3，所以S△DONS△BOA=49.

由|k|的几何意义可知S△BOA=|k|2=92.

所以S△DON=49×92=2.可得k=4.

因为S矩形FCOM=4，S矩形BCOA=9，所以CFCB=49.同理AEAB=49.

所以S△BEF=12BE·BF=12·59AB·59BC=25162S矩形BCOA=25162×9=2518.

例2 （2019年随州）如图2，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=kx（k>0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE.若△ODE的面积为3，则k的值为.

分析 本题的中点和矩形亦是解题的关键.

解法1 （建模解析）设点D坐标为（a，ka），则点B坐标为（2a，ka），点E坐标为（2a，k2a）.

所以S△ODE=S矩形BAOC-S△DAO-S△ECO-S△BDE=2a·ka-k2-k2-12（ka-k2a）（2a-a）=3k4.

可得方程3k4=3，解得k=4.

解法2 （構造面积）如图2，过点D作x轴的垂线，垂足为点F.

由|k|的几何意义知S△DAO=S△ECO=|k|2.

因为ADOC=12，所以ECOA=12，即E为BC中点.

所以S△BEDS矩形BCFD=14，即S梯形ECFDS矩形BCFD=34.

因为S△ODE=S四边形ODEC-S△ECO=S四边形ODEC-S△DOF=S梯形ECFD=3，所以S矩形BCFD=4.

所以S矩形DAOF=S矩形BCFD=4，即k=4.

例3 （2019年眉山）如图3，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC与点D，E.若四边形ODBE的面积是12，则k的值为.

分析 本题中需分析出隐藏条件，即点M为AC，OB的中点.这样可以划归成例1、例2同类型的问题.

解法1 （建模解析）由矩形性质知点M为AC，OB的中点.设点M坐标为（a，ka），则点B坐标为（2a，2ka），点E坐标为（a2，2ka），点D坐标为（2a，k2a）.

所以S四边形ODBE=S矩形OABC-S△ECO-S△DAO=2a·2ka-k2-k2=3k.可得方程3k=12，解得k=4.

解法2 （构造面积）如图3，过点M，E分别作x轴的垂线，垂足为点N，F.

由矩形性质知点M为AC的中点，

所以MNOC=12，ON=AN.

由|k|的几何意义知S△ECO=S△MNO=|k|2.

因为MNOC=12，所以CEON=12，可得CEOA=14.

所以S矩形ECOFS矩形BCOA=14，即S矩形ECOFS矩形BEFA=13.

因为S四边形ODBE=S梯形OABE-S△OAD=S梯形OABE-S△OEF=S矩形BEFA=12，

所以S矩形ECOF=13×12=4，即k=4.

评注 此类题型都属于矩形和双曲线交点中含有一个特殊等分点的问题模型.解题时需紧扣所有点之间的关联，结合反比例函数的图象性质，分析出图形间底和高的比例关系，借助转化，对接到|k|的几何意义上去.

2 菱形为背景的k值面积问题

例4 （2017年齐齐哈尔）如图4，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数y=kx的图象经过点C，与AB交于点D.若△COD的面积为20，则k的值为.

分析 本题的背景是定角度的菱形，菱形四个顶点的关系容易得到.而坐标系中的△COD的位置不好，故三角形面积需转化分析.

解法1 （建模解析） 由同底等高可得S菱形OABC=2S△COD=2×20=40.

因为tan∠AOC=43，所以可设点C坐标为（-3a，4a），则点A坐标为（-5a，0），点B坐标为（-8a，4a）.

所以S菱形OABC=AO·CE=5a·4a=20a2.

可得方程20a2=40，解得a=2 （-2舍去）.

所以点C坐标为（-3 2，4 2）.

代入y=kx中可得k=-24.

解法2 （构造面积）如图4，过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接AC.

由AB//OC可得S△COD=S△COA=20.

因为菱形OABC，tan∠AOC=43，所以OEOC=35.

所以OEOA=35.所以S△COES△COA=35.

所以S△COE=35×20=12.

由|k|的几何意义知S△COE=|k|2.

所以|k|=2×12=24，即k=-24.

例5 （2019年本溪）如图5，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD=3，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过点B，则k的值为.

分析 本题的难点仍然在于△ABD面积的处理，间接法表示面积或转化面积是关键.

解法1 （建模解析）如图5，过点O，D分别作DE，OE的垂线，垂足为点N，M.

由等边△OAB和菱形OCDE的性质，可设点B坐标为（a，3a），则点A坐标为（2a，0）;设点E坐标为（-b，0），则点D坐标为（-b2，3b2），ON=3b2.

所以S△ABD=S△ABO+S梯形DEOB-S△ADE=12·2a·3a+b+2a2·3b2-12·（b+2a）·3b2=3a2.

可得方程3a2=3，解得a=1 （-1舍去）.

所以点B坐标为（1，3）.代入y=kx中可得k=3.

解法2 （构造面积）如图5，连接OD.

由等边△OAB和菱形OCDE的性质，易得OD//AB.

所以S△ABD=S△ABO=3.

因为等边△OAB的面积可恰好划归成点B与坐标轴围成矩形的面积，所以由|k|的几何意义得k=3.

评注 此类题型以菱形为载体，嵌入一个三条边都倾斜的三角形，面积无法直接底乘高处理，解题时需抓住图形之间的联系，间接处理面积，分析出平行和同底等高，或割补、或转化， 灵活运用“数形”两条线解析.

3 三角形为背景的k值面积问题

例6 （2019年宁波）如图6，过原点的直线与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为点E，连接DE.若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为.

分析 本题分析的重点在于三角形背景下条件之间的组合联想.直角三角形结合斜边中点易联想到斜边中线，得等腰三角形后结合角平分线可以得到平行线，这样△ADE的面积就很好处理了.

解法1 （建模解析）过点A，D分别作x轴的垂線，垂足为点F，G.连接OE.

因为由AE⊥BE，OA=OB，所以OA=OB=OE.

所以∠OAE=∠OEA.

又因为∠OAE=∠DAE，所以∠OEA=∠DAE.

所以OE//AC.

又AC=3DC，

所以S△ACO=32S△ADE=32×8=12.

设点D坐标为（a，ka），则点A坐标为（a3，3ka），FG=2a3，CG=12FG=a3，故点C坐标为（4a3，0）.

所以S△ACO=12·OC·AF=12·4a3·3ka=2k.

可得方程2k=12，解得k=6.

解法2 （构造面积）同解法1得S△ACO=12.

AC=3DC，由相似比可得DGAF=13，CGFG=12.

由|k|的几何意义知S△DGO=S△AFO=|k|2.

因为DGAF=13，所以OFOG=13.可得OFOC=14.

所以S△AFO=14S△ACO=14×12=3.可得k=6.

评注 三角形为背景的题，可以融入更多的几何知识，隐藏的信息也可以更深.解题时注重条件的重合和联想，挖掘题目背后的隐藏信息，从而达到转化面积的作用.

综上，反比例函数的k值和面积问题，涉及的知识面广、跨度大、联系紧、综合性强，试题结构新颖且多变，解题方法灵活且多样，要求学生有扎实的数学基本功，能灵活运用所学知识，会多角度思考分析问题[1].此外，这类问题的解法过程蕴藏着丰富的数学思想方法，如本文所述的两种解法，是“数、形”两种思维的代表，解法过程中涉及到数形结合、划归转化、方程建模等重要的数学思想，对提升学生思维有很大的帮助，具有一定的数学价值.

一个好的解题方法，应以学生的理解为基础，以解题的高效为动力，以帮助学生全面地、系统地研究问题为根本，达到“练一题，学一法，会一类，通一片”的目标[2].同时笔者认为，解题方法的研究，需先类化问题，看透一类问题的本质，抛开琐碎的小技巧，着眼于整体的问题框架，探究出解决问题的的通性通法.只有注重通性通法，知识才能越学越成体系，方法才能越学越能连贯，数学也才能越学越有味道.

参考文献：

[1]沈岳夫.中考反比例函数与面积类试题归类解析 [J].中国数学教育，2013（Z3）：76-82.

[2]左效平，张新华.面积法——解反比例函数面积问题的重要工具[J].中国数学教育，2019（07）：54-59.

（收稿日期：2019-08-03）