Unity3D中的最短旋转研究

李俊龙 郭仁春 姜檬 王志淳

摘   要：首先，文章介绍了刚体最短旋转的概念，刚体从一个方位旋转到另一个方位的过程中，可以有无限种方式，在这些方式中存在一种方式，绕某一轴旋转一次就能到达指定方位，并且该角在﹣180°～180°之间，称这样的旋转方式为最短旋转。其次，给出最短旋转的数学表达式，即两个方位角的四元数之比。在Unity 3D中，表示刚体方位的参数分别是欧拉角和四元数。文章采用具体实例验证最短旋转与四元数的关系，给出了寻找最短旋转的解决方案。

关键词：Unity 3D;最短旋转;四元数

在Unity 3D中，实现物体旋转有多种方式，如旋转矩阵、欧拉角和四元数等[1]。旋转需要两个基本参量轴和角，物体从一个方位旋转到另一个方位可以采用多次改變轴和角的方式，依次旋转。其中，有一种旋转方式是只绕一个轴旋转一次就能达到指定方位，且旋转角度在﹣180°～180°之间，称这样的旋转方式为最短旋转。这个定义由于没有其他文献支持，因此本文为便于理解，采用最短旋转的说法。

任意指定两个方位，要找出其中的最短旋转并不是一件容易的事。本文将给出最短旋转的数学描述以及在Unity 3D中实现最短旋转的方法。

1    最短旋转的数学描述

刚体的运动包括平动和转动。描述刚体的空间位置，用三维空间坐标点（x，y，z）表示，在Unity 3D中有3个基本坐标系，分别是世界坐标系、惯性坐标系与本地坐标系。相应的，描述刚体的旋转状态，即方位，是本地坐标系与惯性坐标系所形成的角度变化，采用欧拉角（α，β，γ）来描述。由于本文不涉及平移，因此为方便讨论，将惯性坐标系和世界坐标系重合。

众所周知，“两点之间线段最短”，同样两个方位之间也存在类似的关系，即最短旋转，两点之间的距离用两点位置之差来描述。相应的，两个方位之间的最短旋转用两个方位的四元数之比来描述。

如果方位a的四元数为q1，方位b的四元数为q2，刚体从方位a旋转到方位b的最短旋转的四元数为q，则q=q2÷q1，一般写成q= q2×q1-1

设四元数q的4个分量分别是（x，y，z，w），该四元数隐含了旋转轴向量n和旋转角θ，设轴向量n的3个分量为（nx，ny，nz）。一般将轴n和角θ写成“轴角对”的形式，即（n， θ）=（ nx， ny， nz， θ）。四元数q=（x， y， z， w） 与轴角对（n， θ）=（ nx， ny， nz， θ）之间的关系为：

在Unity 3D中，改变欧拉角和改变四元数是两种基本的旋转方式，Unity 3D提供了Lerp和Slerp两种插值函数，在两个方位之间进行采样插值。对欧拉角的Lerp插值，很难实现最短旋转，而四元数Slerp函数插值则非常容易实现最短旋转，下面通过例子来进行验证。

2    在Unity3D中改变欧拉角实现旋转

在Unity 3D中，制作一个空物体，命名为a，该物体位于世界坐标系的原点位置，在其下面放置一个立方体Cube和一个小球Sphere，调整立方体和小球的大小和位置，如图1所示，让小球位于立方体的一个角点。

将该段代码拖拽到物体x上，将场景中的物体a和b拖放到代码的公共变量卡槽a和b上，代码中的Vector3.Lerp是系统提供的插值函数，包括3个参数：起始向量a的欧拉角、结束向量b的欧拉角、插值t在0～1的取值，运行结果如图4所示。

从图4可以看到，物体x上的小球画出了一条奇怪的轨迹，说明用欧拉角插值不能实现最短旋转。

3    在Unity3D中改变四元数实现最短旋转

代码中q1和q2分别是a， b的四元数，Slerp是在两个四元数之间进行插值，再次运行，结果如图5所示。通过观察可以看出，物体x绕某一固定轴一次旋转到了指定位置，实现了最短旋转。

在图5中可以清楚地看出刚体绕轴n旋转了θ角。这个旋转过程用语言可以描述为：一个刚体从初始方位为a，其欧拉角为（-20，-30，9），旋转到末方位b，欧拉角为（15，80，60），找到轴角对（n， θ）实现最短旋转。方位a和b的四元数q1，q2可以通过各自的欧拉角求出，计算公式可参考苏超凡等[2]的研究，手工计算结果如下：

4    结语

仿照最短距离，本文给出了最短旋转的概念并给出了最短旋转的数学描述，即两个方位的四元数的比值。在Unity 3D中，通过修改四元数很容易实现最短旋转，并能够直观地给出旋转轴和角，对理解四元数在Unity 3D中的应用具有重要作用。

[参考文献]

[1]戈洪瑶，郭仁春.基于Unity 3D的欧拉角实现对物体旋转的应用[J].湖北农机化，2019（13）：119-121.

[2]苏超凡，郭仁春.Unity 3D中欧拉角与四元数关系的研究[J].计算机科学与应用，2019（5）：890-895.