一题多解，殊途同归

江苏省如皋市江安镇江安实验学校 高 飞

新课程标准指出，教师应激发学生的兴趣，通过问题的牵引，促使学生思考，使每个学生都能得个性化发展.一题多解面向全体学生，对学生个性化发展具有重要作用，特别是几何问题，有相当一部分学生喜欢数学，就在于几何图形的变换无穷.对多解的追求，使他们津津乐道，激发了他们思维的灵活性，下面，让我们一起见证一题多解给我们带来的快乐.

问题1：如图1，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，且已知BC=2，CD=3，试求AB、AD的长度.

图1

图2

类型1：构造特殊直角三角形

解法1：如图2，延长AD、BC交于点E.

因为∠B=90°，∠A=60°，根据三角形内角和为180°，得∠E=30°.

因为∠ADC=∠CDE=90°，CD=3，根据在直角三角形中，30°的锐角所对直角边等于斜边的一半，得Rt△CED中，CE=2CD=6，根据勾股定理，得

BE=BC+CE=8.

在Rt△AEB中，根据直角三角形中，30°的锐角所对直角边等于斜边的一半，得AE=2AB.根据勾股定理，得AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，则3AB2=64，解得.所以AE=2AB=，所以AD=AE-DE=

解法2：如图3，延长AB、CD交于点E.

∠A=60°，∠ABC=90°，∠D=90°，根据三角形内角和为180°，得∠E=30°，∠CBE=90°.

在Rt△BCE中，BC=2，根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得CE=4.

所以DE=3+4=7.

根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得AE=2AD=

图3

图4

类型2：将图形分割为矩形与直角三角形

解法3：如图4，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，垂足分别是点E、F.

因为DE⊥AB，CF⊥DE，∠B=90°，所以四边形BCFE是矩形，所以EF=BC=2，BE=FC.

在Rt△AED中，∠A=60°，根据三角形内角和定理，得∠ADE=30°.根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得AE=

∠CDF=90°-30°=60°，根据三角形内角和定理，得∠DCF=30°.

在Rt△DCF中，DC=3，根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得根据勾股定理，得，所以

类型3：构造直角三角形和等边三角形

解法4：如图5，过点D作DF⊥AB于点F，作∠BCD的平分线CE交AB于点E，FD与CE相交于点O.

因为∠A=60°，∠B=90°，∠ADC=90°，根据四边形内角和等于360°，得∠BCD=120°，根据三角形内角和定理，得∠ADF=30°，所以∠FDC=60°.

因为∠BCD的平分线CE交AB于点E，所以∠OCD=∠ECB=60°，所以三角形OCD是等边三角形.又因为CD=3，所以OD=OC=CD=3.

在Rt△BCE中，根据三角形内角和定理，得∠BEC=30°，根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得EC=2BC=4，所以EO=4-3=1，根据勾股定理，得

在Rt△OEF中，∠BEC=30°，根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得根据勾股定理，得

图5

图6

问题2：如图6，平行四边形ABCD中，AD=2AB，点F、B、A、E在同一直线上，已知FB=AE=AB，试说明DF⊥CE.

类型1：利用等腰三角形的性质与判定

解法1：如图6，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

因为AD=2AB，FB=AE=AB，所以AD=AF，BC=BE，所以三角形AFD、三角形CBE都是等腰三角形.

根据等边对等角，得∠1=∠F，∠2=∠E.

根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠F，∠4=∠E，所以∠1=∠3，∠2=∠4.

根据两直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以2∠3+2∠4=180°，所以∠3+∠4=90°.

根据三角形内角和定理，得∠COD=90°，所以DF⊥CE.

类型2：利用平行四边形的性质与判定

解法2：如图7，连接MN、CF、BD、AC、DE.

四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

因为AD=2AB，FB=AE=AB，所以CD=FB，CD=AE.

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形CDBF是平行四边形，四边形CDEA是平行四边形.

根据平行四边形对角线互相平分，得CN=BN，DM=AM.

因为AD=2AB，所以CN=CD=DM.

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形CNMD是平行四边形.

根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形CNMD是菱形.

根据菱形的对角线互相垂直平分，得DF⊥CE.

图7

图8

类型3：利用三角形中位线定理

解法3：如图8，连接BM、AN.

四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

根据两直线平行，内错角相等，得∠CDN=∠BFN，∠NBF=∠NCD.

因为AD=2AB，FB=AE=AB，所以CN=NB=AB=FB，则点A、F、N在以AF为直径的同一个圆上，所以∠ANF=90°.

因为AB=AE，所以AN是△BCE的中位线.根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得AN∥CE，所以DF⊥CE.

类型4：利用直角三角形的判定

解法4：如图9，过点D作DG∥CE交BE的延长线于点G.

图9

四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形CDGE是平行四边形，所以CD=EG.

因为AD=2AB，FB=AE=AB，所以AD=AF=AG，所以点F、G、D在以FG为直径的同一个圆上，所以∠FDG=90°.又因为DG∥CE，所以DF⊥CE.

总之，教师的教学应该建立在学生自身经验、兴趣与动机的基础上，教师一味地讲，学生只是被动接受，学生学到的是死知识.教师应让学生自己发现问题，并有效探索问题，而一题多解为学生提供了一个交流互动的平台，让学生在做中学，在学中做，让学生真正体会到了学习数学的乐趣.F