基于相干反馈操控的纠缠源的分析*

周瑶瑶 李鹏飞 闫智辉 贾晓军

1) (太原师范学院物理系,晋中 030619)

2) (山西大学光电研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原 030006)

3) (山西大学,极端光学协同创新中心,太原 030006)

基于非测量的量子相干反馈控制系统不会引入额外的噪声,可以用于稳定、操控和改善多种量子系统的性能.利用相干反馈的方法可以操控非简并光学参量放大器,在一定条件下能够增强其输出Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)纠缠态光场的纠缠度.相干反馈控制系统中的核心光学元件是控制耦合镜,其透射率的选取直接影响反馈控制的效果.本文针对控制耦合镜对偏振相互垂直的种子光场透射率不同的情况,从理论上分析了该情况对相干反馈控制效果的影响,得出相干反馈的正作用达到最佳时对控制镜透射率的要求,理论分析与实验结果相吻合.同时分析了相干反馈控制效果随其他物理参量的变化关系,得出系统进一步优化的实验条件.为今后相干反馈控制系统中物理参量的选择提供依据,也为利用相干反馈操控更多的量子系统提供参考.

1 引 言

反馈是控制论中的核心概念,在过去的几十年中,人们逐渐将控制理论的原理引入量子领域,并使之适应量子领域.近年来,量子反馈网络理论发展迅速,其主要目的是研究量子输入输出元件如何连接在一起,从而控制、稳定或者提高其中一个子元件的性能.

连续变量非经典光场,如连续变量压缩态光场和纠缠态光场是进行连续变量量子信息网络以及量子计算研究的重要量子资源[1-3].对非经典光场,比如纠缠态光场进行有效的操控,可以将纠缠水平进一步提高,打破由于光学元件自身性能的不完美而引起的纠缠度无法被进一步提高的限制.一种实现对非经典光场操控的方法是相敏操控法[4-8].2006年,Agarwal[4]进行了利用相敏操控压缩态光场的理论研究.随后,山西大学彭堃墀研究团队[7,8]利用相敏操控在实验上实现了压缩态光场的压缩增强和纠缠态光场的纠缠增强.

另一种实现对非经典光场操控的方法是量子反馈控制方法,该方法已经被广泛应用于各种物理机制中,包括原子系综[9-11]、囚禁离子[12]、光电机械振荡腔[13]、超导[14,15]等[16,17].量子反馈操控主要有两种形式：一种是基于测量的反馈控制[18-20],首先对量子系统的输出结果进行测量,然后再通过调制器将结果反馈给原量子系统的输入端口.本文研究另一种量子反馈控制,这里反馈是相干的,而不是基于测量的,被称为量子相干反馈控制(coherent feedback control,CFC)系统[21,22].CFC系统因为没有必须的测量步骤而不会引入任何额外的噪声,是一种行之有效的操控非经典光场的方法[23-27].2009年,Gough和Wildfeuer[28]提出了利用CFC系统实现压缩态压缩增强的理论.2012年,日本的Furusawa研究组[29]在实验上利用相干反馈操控压缩产生装置,将压缩度从—1.6 dB提高到—2.2 dB,实现了相干反馈控制压缩增强的实验.2013年,Crisafulli等[30]在实验上利用相干反馈的方法实现了对简并光学参量振荡腔输出压缩态光场的操控.除此之外,CFC系统因不引入噪声,更适用于连续变量量子信息的处理.2008年,Mabuchi[24]提出了一种用于测试线性量子随机控制理论的相干反馈控制系统的实验实现方法.2010年,Kerchhoff等[31]提出了基于相干反馈的连续时间量子纠错方案.2015年,肖敏研究团队[32]将连续变量纠缠态光场注入具有六边形金属孔阵列的反馈装置,实验实现了量子关联的显著增强.

利用非简并的光学参量放大器(nondegenerate optical parametric amplifier,NOPA)可以获得最基本的量子资源—Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)纠缠态光场.2015年,本实验组搭建了相干反馈操控非简并光学参量放大器(nondegenerate optical parametric amplifier with coherent feedback control,CFC-NOPA)的实验装置,在一定条件下,优化了NOPA的工作性能,比如,实现了NOPA输出纠缠态光场的纠缠增强,并且降低了NOPA的抽运光功率阈值[33].在相干反馈控制系统中,控制耦合镜是核心光学元件,其透射率的选取直接影响反馈控制的效果.由于技术原因,一般认为CFC-NOPA系统中的控制耦合镜对偏振相互垂直的种子光场的透射率是相等的,本文则考虑控制耦合镜对偏振相互垂直的种子光场透射率不同的情况,分析了该情况对相干反馈操控效果的影响,找到反馈控制达到理想效果时,控制镜透射率的选取,理论分析与实验结果相吻合.同时理论分析了CFC-NOPA系统输出光场量子关联噪声随其他物理参量的曲线依赖关系,得出进一步优化实验系统的物理条件,为利用相干反馈系统操控纠缠源获得更好的量子资源提供了有力的理论和实验依据.

2 相干反馈控制系统的理论模型

通常情况下,相干反馈控制系统由两部分组成,一部分是产生纠缠态光场的光学腔,另一部分是对其有操控作用的反馈控制光学腔.图1所示为相干反馈控制系统的基本原理图,包含产生EPR纠缠态光场的NOPA和由三个光学镜片M,M0以及控制耦合镜(control beam splitter,CBS)构成的反馈控制光学腔.NOPA的注入种子光场(频率为 ω)和注入抽运光场(频率为2 ω)在光学腔内与Ⅱ类非线性晶体发生相互作用实现频率下转换,输出偏振相互垂直的两组份纠缠态光场(频率为 ω),下角标s,i,p分别表示信号光场、闲置光场和抽运光场.反馈控制光学腔中的分别表示整个CFC-NOPA系统的输入输出光场.CFC-NOPA系统的工作过程是这样的：NOPA腔输出的纠缠态光场并没有被测量而是通过反馈环路的控制被分成两部分,一部分为透过CBS的光场,与CBS对光场的反射场一起成为整个CFC-NOPA系统的输出光场另一部分为被CBS反射的光场,与CBS对光场的透射场一起作为NOPA的输入光场这样反馈控制环路可以无限次地将NOPA输出的部分纠缠态光场重新注入纠缠产生系统,实现对NOPA运转的控制.图1中的表示NOPA因为内腔损耗而引入的真空光场,表示反馈控制环路因为内腔损耗而引入的真空光场,将该内腔损耗看作反射镜M对真空光场有一定的透射率表示图中所示光线的光场.

CFC-NOPA系统中的控制耦合镜CBS是整个控制系统的核心部分,其透射率的选取直接影响反馈控制的效果,考虑CBS对信号光场和闲置光场透射率不同的情况,这里设CBS对NOPA输出光场中的信号光场的透射率为T1,对闲置光场的透射率为T2.根据以上分析的CFC-NOPA系统的工作过程,得到该系统的输出信号光场和闲置光场均包含两部分,表示为

图1 相干反馈操控NOPA的基本原理图Fig.1.Schematic diagram of the NOPA cavity with coherent feedback control.

2000 年,段路明等[34]和Simon[35]提出连续变量两组份纠缠态光场的不可分判据——和分别表示两组份纠缠态光场的正交振幅分量算符和正交位相分量算符,4表示相应的量子噪声极限值(quantum noise limit,QNL).要讨论反馈控制环路对EPR纠缠态光场的控制效果,需要计算CFC-NOPA系统输出光场正交分量之间的量子关联噪声是否满足两组份纠缠态光场的不可分判据.根据产生算符和湮灭算符的定义：

可以得到两个厄米算符——正交振幅算符和正交位相算符的表达式：

由Langevin方程组,工作在参量反放大状态的NOPA中种子光场的运动方程可以表示为：

其中,k 为NOPA的非线性转换效率.将(6)式进行Fourier变换,可以得到NOPA中种子光场在频域空间的运动方程：

NOPA的输入与输出光场之间的关系表示为

将(3),(4),(7),(8)式结合起来,便可以得到工作在参量反放大状态的NOPA输出光场正交分量之间的量子关联噪声：

将(1),(2)式写成其噪声场正交分量的表达形式,并结合(9)式,可以用数学软件计算得到整个CFC-NOPA系统输出光场正交振幅和和正交位相差的量子关联噪声的表达式,由于表达式比较复杂,通过数值分析来研究系统输出光场的量子关联噪声与不同物理参量之间的曲线依赖关系.

3 相干反馈控制效果与不同物理参量的曲线依赖关系

首先分析在CFC-NOPA系统中,当T1确定时,T2的选取对输出光场量子关联噪声的影响.结合实际的实验参数,即当NOPA输出耦合镜对种子光场的透射率T′为0.05,非线性转换效率k 为 0.01,频谱分析仪的分析频率为2 MHz,CFCNOPA系统的控制镜片CBS对信号光场的透射率T1分别为0.3,0.5,0.7时,根据第二部分的理论计算可以得到CFC-NOPA系统输出光场正交分量之间的量子关联噪声与CBS对闲置光场的透射率T2之间的曲线依赖关系(图2).其中曲线1表示相应的量子噪声极限；曲线2表示没有反馈控制腔的作用,NOPA单独运转时,输出纠缠态光场的关联噪声大小；曲线3,4,5分别表示当T1取0.3,0.5,0.7时,T2的取值对CFC-NOPA系统输出光场量子关联噪声的影响.以曲线3为例来进行分析,即当T1的取值为0.3时,T2的取值从0到1逐渐增大对相干反馈控制系统最终输出光场关联噪声的影响.当T2为0时,NOPA的输出信号光场经过CBS后被分成透射部分和反射部分,而闲置光场则被全部反射,此时CFC-NOPA系统的输出光场为热光场,量子关联噪声大于4,曲线在量子噪声极限以上.当 0.007＜T2≤1 时,量子关联噪声减小到QNL以下,输出两束光场之间是相互纠缠的,在T2从0.007增加到1的过程中,发现整条曲线呈现先减小后增大的趋势,并与曲线2有两个交点,说明反馈控制腔的纠缠增强效果与T2的取值密切相关,只有在0.37 ＜ T2＜ 0.66的取值范围内,反馈控制光学腔才正作用于NOPA的运转,增强其输出光场的纠缠度,并且在T2= 0.52时(红色虚线),相干反馈的正作用达到最强.曲线4对应T1= 0.5的情况,当0.27 ＜ T2＜ 0.98时,相干反馈起纠缠增强的作用,在T2= 0.61时(绿色虚线),相干反馈的正作用达到最强.曲线5对应T1= 0.7的情况,当 0.32＜T2≤1 时,相干反馈起纠缠增强的作用,在T2= 0.72时(蓝色虚线),相干反馈的正作用达到最强.

图2 CFC-NOPA系统输出光场正交分量之间的量子关联噪声与CBS对闲置光场的透射率之间的曲线关系,虚线分别表示各个曲线的关联噪声值最小时T2的取值大小Fig.2.Quantum correlation noises of two quadrature components for two output beams from CFC-NOPA system versus the transmissivity of CBS for idle optical field.Each dashed curve represents the value of T2 when the quantum correlation noises of each curve is the minimum.

接下来分析CFC-NOPA系统输出光场的量子关联噪声随分析频率 ω的变化曲线(图3).图3(a),(b),(c)分别对应透射率T1取0.3,0.5以及0.7的情况.其中曲线1表示量子噪声极限；曲线2表示当T2= T1时,输出光场的量子关联噪声随 ω的曲线依赖关系；曲线3表示在T1一定的情况下,T2在不同的分析频率处取最佳透射率(使量子关联噪声最小的T2取值)时,输出光场的量子关联噪声随 ω的曲线依赖关系；曲线4表示NOPA单独运转,不受反馈光学腔控制时,NOPA输出光场关联噪声随 ω的曲线依赖关系.

图3 CFC-NOPA系统输出光场正交分量之间的量子关联噪声随分析频率的变化曲线 (a) 透射率T1= 0.3；(b) 透射率T1=0.5；(c) 透射率T1= 0.7；(d)透射率T1= 0.7,0.8,0.9Fig.3.Dependences of the quantum correlation noises of two quadrature components for two output beams from CFC-NOPA system on analysis frequency：(a) Transmissivity T1= 0.3；(b) transmissivity T1= 0.5；(c) transmissivity T1= 0.7；(d) transmissivity T1= 0.7,0.8,0.9.

观察图3(a),(b),(c)中的曲线2和3,发现不同的曲线分别与曲线4相交于不同的频率临界点,当分析频率小于该临界频率时,相干反馈正作用于NOPA,对其输出光场起纠缠增强的作用；相反,当分析频率大于临界频率时,相干反馈反作用于NOPA,降低了原本NOPA输出纠缠态光场的纠缠度.这是由反馈控制环路的位相延迟引起的,频率越高,反馈控制效果越容易受到影响.并且三个图中,曲线3所示的关联噪声(T1≠ T2)总是低于曲线2所示的关联噪声(T1= T2),且频率越高,两条曲线在同频处所对应的关联噪声相差越大.但在图3(c)中,当分析频率较低时(0—3 MHz),曲线2和3接近重合,也就是说,当T1取0.7时,可以近似认为在较低频率处,使得相干反馈操控EPR光场纠缠增强效果最佳的T2取值也是0.7.

以上的理论分析均表明,CBS的透射率较大时,输出光场的关联噪声值较小.下面就来分析当CBS对信号光场的透射率取较大值时,相干反馈的控制效果.图3(d)为当CBS对信号光场的透射率T1取0.7,0.8,0.9,而T2取最佳透射率时,关联噪声随分析频率的变化曲线.其中曲线1表示无反馈控制腔时的关联噪声,曲线2,3,4分别对应T1取0.7,0.8,0.9的情况,根据曲线2,3,4与曲线1的位置关系,能够找到相干反馈正作用于NOPA的分析频率范围.对比曲线2,3,4发现,分析频率较低时,曲线2对应的关联噪声低于曲线3,曲线3对应的关联噪声低于曲线4；而分析频率较高时,曲线4对应的关联噪声低于曲线3,曲线3对应的关联噪声低于曲线2.实验中为了避免低频处激光噪声对输出光场关联噪声的影响,通常选择低频分析频率为2 MHz附近来制备纠缠态光场,显然选用透射率为0.7的控制耦合镜来实现相干反馈操控纠缠源的实验能够获得更好的纠缠态光场.图3中标记的五角星分别表示当CBS的透射率T1= T2= 0.7时,在1.5,2.0,2.5 MHz的分析频率处,实验测量到的CFC-NOPA系统输出光场正交分量之间的量子关联噪声.

图4所示为CBS对偏振相互垂直的两束光场的透射率均约为0.7,分析频率为2 MHz,非线性转换效率k 取不同值时,CFC-NOPA系统输出光场的量子关联噪声随NOPA输出镜的透射率 T′的变化曲线.其中曲线4表示量子噪声极限,曲线1,2,3分别对应NOPA的非线性转换效率k 的取值为0.01,0.02和0.03的情况.随着NOPA输出镜透射率的增加,三条曲线都呈现出先减小后增大的趋势.曲线1中k 的取值为实际的实验参数,当T′=0.05时,最终输出光场的量子关联噪声值最低,对应纠缠态光场的纠缠度为6.5 dB.如果将k 的取值增大到0.02,如曲线2所示,T′在0.06至 0.14的范围内,都会使得CFC-NOPA输出纠缠态光场的纠缠度大于6.5 dB(曲线1的最佳值),并在T′=0.14时得到输出光场关联噪声的最小值,对应纠缠态光场的纠缠度为10.8 dB.同理,在曲线3所示的情况下,T′在0.16至0.21的范围内,都使 得CFC-NOPA输出纠缠态光场的纠缠度大于10.8 dB(曲线2的最佳值),在 T′=0.21 时得到输出光场关联噪声的最小值,对应的纠缠度为12.0 dB.以上分析表明,可以通过提高NOPA的非线性转换效率k 以及输出镜的透射率T′来进一步优化该 相干反馈控制系统,得到更高纠缠度的纠缠态光场.但是由于NOPA输出镜的透射率越高,光学腔对应的抽运光功率阈值就越高,所以在具体实验过程中,T′的取值不能太大.

图4 CFC-NOPA系统输出光场正交分量之间的量子关联噪声随NOPA输出镜透射率的变化曲线 红色虚线表示曲线1取最小值时 T′的大小；蓝色虚线表示曲线2的取值小于曲线1的最小值时 T′的临界值大小；绿色虚线表示曲线3的取值小于曲线2的最小值时 T′的临界值Fig.4.Quantum correlation noises of two quadrature components for two output beams from CFC-NOPA system versus transmissivity of output coupler of NOPA.The red dashed curve represents the value of T′ when curve 1 takes the minimum.The blue dashed curves represent the critical value of T′ when the value of curve 2 is less than the minimum value of curve 1.The green dashed curves represent the critical value of T′ when the value of curve 3 is less than the minimum value of curve 2.

4 相干反馈操控纠缠源的实验研究

图5为实验装置示意图,主要包含三部分：激光源、相干反馈控制系统以及最后的测量系统.激光器选用的是由宇光公司生产的双波长全固态激光器,可以输出波长为540 nm的绿色激光和波长为1080 nm的红外激光.绿光为CFC-NOPA系统提供抽运光场,红外光一部分为CFC-NOPA系统提供种子光场,另一部分为测量系统提供本地振荡光场.相干反馈控制系统的最终输出光场通过偏振分光棱镜分开后,分别用平衡零拍探测器进行测量.接下来详细介绍相干反馈控制系统.

图5 实验装置示意图 DBS：双色分束镜；HWP1-2：Λ/2 波片；PBS1-3：偏振分光棱镜；BHD1-2：平衡零拍探测器；SA：频谱分析仪Fig.5.Schematic diagram of experimental setup.DBS：dichroic beam splitter；HWP1-2：Λ/2 waveplate；PBS1-3：polarizing beam splitter；BHD1-2：balanced homodyne detectors；SA：spectrum analyzer.

图6为实验设计的CFC-NOPA系统,包括两部分：1)用于产生EPR纠缠态光场的NOPA—由镜片M1,M2,M3,M4构成的四镜环形腔；2)起反馈控制作用的反馈控制光学腔-由镜片M1,M5,M6,M7构成的四镜环形腔.镜片M3,M4,M5,M6为曲率半径为100 mm的平凹镜,镀膜均对基频光高反,对倍频光高透.抽运光场由镜片M3注入,平面镜M2镀膜对基频光高反,对倍频光高透,平面镜M1为NOPA的输入输出耦合镜,对基频光场的透射率为 T′=0.05 ,对倍频光场高透.平面镜M7是整个CFC-NOPA系统的输入输出镜,即理论分析中的控制耦合镜CBS.为了使NOPA输出纠缠态光场,将大小为3 mm×3 mm×10 mm的KTP晶体放在两个平凹镜M3和M4中间,并用温度控制仪将其精密控温在63 ℃左右来满足晶体的Ⅱ类非临界位相匹配条件.压电陶瓷PZT1被固定在平凹镜M4上,用来控制NOPA的腔长,PZT2被固定在平凹镜M6上,用来控制反馈控制腔的腔长,使得反馈控制腔的正作用达到最佳.

相干反馈的控制效果受控于耦合镜M7透射率的选取.首先选用透射率为1的M7,此时仅有NOPA单独运转,调节NOPA的腔长,并将其锁定在最佳长度,锁定输入抽运光场和种子光场的相对位相于 π ,锁定平衡零拍探测系统中纠缠光场和local光场的相对位相于0或者 π/2 ,分别对输出光场正交振幅分量以及正交位相分量的量子噪声功率进行测量,测到量子关联噪声低于散粒噪声基准3.5 dB的EPR纠缠态光场.然后将M7换为透射率约为0.7的耦合镜,调节CFC-NOPA系统,使其运转在最佳状态,并锁定NOPA和反馈控制腔的腔长,用同样的方法分别对输出光场正交振幅分量以及正交位相分量的量子噪声功率进行测量.测量结果如图7所示,其中图7(a)表示输出光场正交振幅和的量子噪声功率,图7(b)表示输出光场正交位相差的量子噪声功率.曲线1表示归一化的量子噪声极限值；曲线2表示无反馈控制腔作用时,NOPA输出光场的量子噪声功率,低于散粒噪声极限3.5 dB；曲线3表示CBS对偏振相互垂直的基频光场透射率均约为0.7时,CFC-NOPA系统输出光场的噪声功率；曲线4表示当T1取0.7,T2在对应分析频率处取最佳透射率时的理论计算结果.对比曲线3和4,当分析频率较低时,T1和T2的取值相等和不等的情况对反馈腔的最终控制效果基本一样,但是当分析频率较高时,明显T1≠ T2的情况使得反馈控制的效果达到最佳.

图6 CFC-NOPA系统的实验结构图Fig.6.Experimental structure of the CFC-NOPA system.

图7 实验测量结果图,SA：RBW 10 kHz；VBW 100 Hz (a)正交振幅分量和的量子噪声功率；(b)正交位相分量差的量子噪声功率Fig.7.Diagram of experimental measurement results：(a) The measured amplitude-sum correlation variances noise powers of the output beams；(b) the measured phase-difference correlation variances noise powers of the output beams.The measurement parameters of SA：RBW 10 kHz；VBW 100 Hz.

该实验表明,利用相干反馈的方法可以操控NOPA,选择合适的实验参数,NOPA原本输出的低于散粒噪声极限3.5 dB的纠缠态光场的纠缠度得到了提高.根据第三部分的理论分析,如果将NOPA的非线性转换效率和它的输出镜透射率再进一步提高,可获得更高质量的连续变量纠缠源.

5 结 论

利用量子相干反馈可以操控纠缠产生系统,包括稳定、改善甚至恶化纠缠产生系统的运转,只有选择正确的实验参数,才能最大限度地发挥相干反馈的正作用.相干反馈控制系统中的控制耦合镜很大程度地影响着相干反馈操控纠缠源的最终效果.本文考虑控制镜对信号光场和闲置光场透射率不同的情况,首先分析了控制镜对信号光场的透射率固定时,它对闲置光场的透射率对于相干反馈操控效果的影响,得出当CBS的透射率较低时,它对两种偏振光场的透射率不同的情况使得反馈控制的效果达到最佳,当CBS的透射率较高时,使得反馈控制的效果达到最佳的控制镜的透射率对两种偏振光场是接近相等的.然后理论分析了相干反馈控制系统输出光场的量子关联噪声与其他物理参量的变化曲线,结合实际的实验条件,得出相干反馈操控纠缠源达到理想效果时,控制镜透射率的取值以及分析频率的取值范围,理论计算和实验结果相吻合,为今后实验实现相干反馈系统中物理参量的选取提供了有力的依据.理论分析还得出如果能进一步提高光学腔的输入输出耦合效率以及非线性转换效率,优化相干反馈操控纠缠源的实验系统,可以获得更高质量的连续变量纠缠源,为连续变量量子信息的研究提供了更好的量子资源.